相似三角形的相关习题和知识点

1、类型一：相似三角形的判定方法I（一） 三角形中的平行线 定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例； 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。 定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条 直线平行于三角形的第三边。【经典例题1】如图，已知 DE / BC , EF / AB，则下列比例式错误的是： A.ADAbAEACB.CECFEAFB小 DE ADEF CFC.D.-BC BDAB CB【搭配练习1】将三角形ABC纸片的一面沿 DE向下翻折，使点 A落在BC边上，且DE平行 于BC ,则下列结论中不成立是（）

2、A、角 AED=角 CC、DE=1/2BCB、AD/DB=DE/BCD、三角形ADB是等腰三角形【搭配练习2】如图在 ABCD中P, Q三等分AC , DP的延 长线交BC于E, EQ的延长线交AD于F,已知BC=18,求 AF的长。（二）两角对应相等，三角形相似【经典例题1】如图，在等边厶ABC 中,一点，且/ APD=60 ,P为BC上一点，D为AC上PBP =1, CD ,求AABC的边长。3【搭配习题】如图，在矩形 ABCD中，AB=12cm , AD=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B 以2cm/秒的速度移动，点 Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果 P、Q同 时

3、出发，用t （秒）表示运动时间（OW t W6那么当t为何值时， APQ与厶ABD相似？说明 理由.（三）两边对应成比例，夹角相等，三角形相似【典型例题1】已知，如图，D ABC内一点连结ED、AD，以BC为边在 ABC外 作/ CBE= / ABD，/ BCE= / BAD求证： DBE ABCd【典型例题2】如图， ABC中，若a : b : c=4 : 5 : 6, 求证：/ ACB=2 / A【搭配练习1】 如图， ABC中，D是AB上一点，且 AB=3AD / B=75,Z CDB=60，求证: AB3A CBD【搭配练习2】如图，RtA AB C 是由RtA ABC绕点A顺时针旋转

4、得到的，连结CC 交斜边于点E，CC 的延长线交 BB 于点F.(1)证明： ACE s fbe ;(2)设/ ABC ,Z CAC 工一：，试探索：、一：满足什么关系时， ACE与厶FBE 是全等三角形，并说明理由.B(四)三边对应成比例，三角形相似I1II(D )【经典例题1】 下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是()(A ).(B).【搭配练习1】一个铁质三角形框架三边长分别为24cm,30cm,36cm，要估做一个与它相似的铁质三角形框架，现有长为27cm,45cm,的两根铁材，要求以其中的一根为边，从另一根上截下两段(允许有余料)作为另外两边，截法有()A,0B,1C,2D,3【

5、搭配练习2】如图：四边形 ABEG GEFH HFCD都是边长为a 的正方形，(1)求证： AEFA CEA(2)求证：/ AFB+Z ACB=45。【搭配练习3】如图，方格纸中每个小正方形的边长为， ABC和厶DEF的顶点都在方格纸的格点上.判断 ABC和厶DEF是否相似，并说明理由；(2) P1, P2, P3, P4, P5, D , F是厶DEF边上的7个格点，请在这 7个格点中选取 3个 点作为三角形的顶点，使构成的三角形与 ABC相似(要求写出2个符合条件的三角形， 并在图中连结相应线段，不必说明理由BDF贝y AM : AN=,BN : NC=类型二：相似三角形的性质（一）相似证

6、线段成比例【典型例题 1 】如图，EF/ BC,若 AE : EB=2 : 1,EM=1,MF=2,【典型例题2】已知在 ABC中，AD平分/ BAC,EM是2AD的中垂线，交 BC延长线于E.求证：DE =BE-CE.【搭配练习1】如图四边形ABCD的对角线交于 0,过O作直线0G / AB交BC于E,交AD于F,交CD的延长线于 G,求证：0G2=GEGF.【搭配练习 于点E,求证：(1)2】已知：如图，在厶ABC中，/ BAC=90, M是BC的中点，DM丄BC交BA的延长线于点 D。2MA =MD *ME ；2AE _ MEAD2 MDMC(二)相似证角相等eb af 1【经典例题1】

7、已知：如图E、F分别是正方形 ABCD的边AB和AD上的点，且 =AB AD 3求证：/ AEF= / FBD【搭配练习1】如图一，等边三角形ABC中,D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边三角 形EDC,连结AE.(1) 求证:AE/BC;(2) 如图二，将(1)中等边三角形 ABC的形状改成以BC为底边的等腰三角形，所作三角形EDC该 成相似于三角形 ABC.请问:是否仍有AE/BC?证明你的结论。(三)相似证线段相等【经典例题1】直角三角形 ABC中，/ ACB=90 , BCDE是正方形，AE交BC于F, FG / AC 交AB于G,求证：FC=FG【搭配练习1】如图，Rt AB

8、C中，/ ACB=90 , AD平分/ CAB交BC于点D,过点C作CE! AD于E, CE的延长线交 AB于点F,过点E作EG/ BC交AB于点 G, AE - AD=16 AB=4 .5。(1)求证：CE=EF (2)求EG的长。【搭配练习2】已知：如图，梯形 ABCD中, AD/ BC, AC BD交于点O, EF经过点0且和两底 平行，交 AB于E,交CD于F。求证：0E=0F(四)相似得到两线平行【经典例题】 已知A、C、E和B、F、D分别是/ 0的两边上的点，且 AB / ED, BC / FE，求 证：AF / CD【搭配练习】 如图， ABC中，P是中线AD上的任意一点, 与A

9、C，AB相交于E，F,求证：EF/ BCBP, CP的延长线分别（四）相似中的面积与周长比【经典例题1】已知平行四边形 求厶AEF与厶CDF的周长比，ABCD 中,AE : EB=1 如果 SaAEF=6cm求 S【搭配练习1】如图， ABC中，AD / BC，连结 CD 交 AB 于 E，且 AE : EB=1 : 3,过 E 作EF / BC，交AC于F ，Saade =2cm2，求 Sa bce， Saaef.【搭配练习2】如图，在梯形 AGHB中，AB / CD/ EF / GH,且面积S1=S2=S3 求证：ab2+gh2=cd2+ef2类型三：相似中常见的图形(1)(2)若 DE/

10、 BC（ A型和X型）则厶AD0AABC射影定理 若CD为Rt ABC斜边上的高（双直角图形）贝U Rt ABC Rt ACS Rt CBD 且 AC=ADAB , CD=ADBD , BC=BDAB ;（3）或 AD- AB=AC- AE寸， ADEA ACB. AB满足 1、ACf=AD Ab 2、/ ACDM B, 3、/ ACBM ADC 都可判定厶 ADSAACB 当俎AC【搭配练习】1、女口图 1,Z ADC= / ACB=9Q0,Z 1 = / B,AC=5,AB=6,则 AD=2如图2,AD / EF/ BC,则图的相似三角形共有.对.D3如图3,正方形ABCD中,E是AD的中

11、点,BM丄CE,AB=6,CE= 35，则BM= 4. ABC勺三边长为2 , 10 ,2, A ABC的两边为1和、5 ,若厶AB3 ABC则 ABC的笫三边长为5两个相似三角形的面积之比为1 : 5,小三角形的周长为4,则另一个三角形的周长为 .6如图4,Rt A AB中，/C=9Q0,D为AB的中点，DE丄AB,AB=2Q,AC=12,则四边形ADEC的面积为7如图 5,Rt A AB中，/ ACB=9Q ,CD 丄AB,AC=8,BC=6,则AD=,CD=Q）8如图6,矩形ABCD中,AB=8,AD=6,EF垂直平分BD,则EF=.9如图 7, AB（中，/A= / DBC,BC=bc

12、d ： Saabc=2 : 3,则CD=.10. 如图8,梯形ABCD中,AD / BC,两腰BA与CD的延长线相交于 P,PF丄BC,AD=3.6,BC=6,EF=3,则PF=.11. 如图 9, A AB（中 ,DE / BC,AD : DB=2 : 3,贝Saade ： SaabE=12. 如图10,正方形ABCD内接于等腰A PQRZ P=90,则PA : AQ=.13. 如图 11, A AB（中 ,DE / FG / BC,AD : DF : FB=1 : 2 : 3,贝U S四边形dfge : S四边形fbcg=.14. 如图12, A AB（中冲线BD与CE相交于O点,Saad

13、e=1,则d边形bcde=,15. 已知:如图， AB中,CE 丄 AB,BF 丄 AC.求证： AEEb ACB.16. 已知:如图, AB(中，/ ABC=2 / C,BD平分/ ABC. 求证:AB -BC=AC CD.17. 已知：如图,CE是Rt ABC的斜边AB上的高,BG丄AP。2求证：(1)CE=AEEB ;(2) AE EB=ED- EP18. 已知，如图，在 ABC中，D为BC的中点，且 AD=AC , DE丄BC, DE与AB相交于点 E,?EC与AD相交于点F.(1) 求证： ABC FCD ;(2) 若 Sfcd=5, BC=10，求 DE 的长。类型五：相似中常用的

14、辅助线作法nrBCBTlfrl址唱1,运加平平行44基本罔射.fltlH标电均“栄，型例L已ftb如囲，iiAABC的18点C低柞一辜直线.与边冉B及中线AL分别交于点F和 E.求 id ;AE EE2A卜啓.分析：蚯IF轡応比例，而耐没仃Yf毎件故无沱证 明,断以掘到引祁练构建墓水图形“AJ “層豐证昴.过R作RMCF交AD的延氏线于乂 AF AE El DI _FB EN DN Hl）V BIXD A2ED=2nN=KNTAK 4:竺二上土 . aE ED=2AF;FB-FB 2ED注意匕引平ffSSW注直以下几点I）选点匕一#Mi已知 （或求证中线段的比的前加 或后顶）在同- Fl线的线

15、段的箱点作为引平行线的点： 引平tf&时 便较多已殖段来求证域段舷比钩* （3） Uffi的変肥址构iFV型皋木图形杵上側屮过每个巳啊点均可引平存线枸进勿成优也进巾便帖论徐证.故本題有冬种讪法，（Xil E .就右【屮种力法*郁能沖明给认正确，有兴嚏的彼2* nut*件，柚址敝三*幣的墓本国JE. 创 X 在ARC 中，ZA. ZR.ZT所对曲辿分别用旅h、及示.(I )如I札S：ZiABC中I引U)ZA-2ZB IL ZA=60n* 求证片 a =b (b*c)；(2)如果一个三角个内角尊于另f 内角的2倍，am称达样的 伽刃广恪角 九 降m中的三角形是一林殊的倍角三角形，那么对于任意的倍角

16、三角常ABC其中ZA=2/氐 关条式(b+c)是否仍然戚立？井址明儒附结论.#flf (I) (hZA=2ZBt IlZAshO*1，站石.CMKT.所以礼RtAABC It三辿a ,h,c之軻的关S为tKith3=/5b-所以 a 3b b (h+t) *3b * 则 flb (b+c J 2)娶ilE a7=b i h+c)-则丿:构i令芙瓠 h 与匚h-nc)lYj相似的三角形*11曲为公共边.对照基本国睢有类似的图迄昨找冊扯；BA和4 低AO=hr WZ=ZAC). ZRAOZD-ZACT,所以人?UjriJZR=ZD，DOBC (jU图).于是构造山了有Xi鎳h与(比)的二角形扇证

17、BCDZiCAD相愎于是 褂刃 a =b (h+c).【能力提升部分】1如图，已知一个三角形纸片 ABC , BC边的长为8, BC边上的高为6 , - B和.C都为锐 角，M为AB 一动点(点 M与点A B不重合)，过点M作MN / BC，交AC于点N，在 AMN中，设MN的长为x, MN上的高为h .(1 )请你用含x的代数式表示h .(2)将厶AMN沿MN折叠，使 AMN落在四边形BCNM所在平面，设点 A落在平面的 点为A , AMN与四边形BCNM重叠部分的面积为 y，当x为何值时，y最大，最大值为 多少？2 82.如图，已知直线 h：y x 与直线l2:y=-2x16相交于点C, h、l2分别交x轴于 3312A B两点矩形DEFG的顶点D、E分别在直线I?上，顶点F、G都在X轴上，且点G 与点B重合.(1)求 ABC的面积；(2) 求矩形DEFG的边DE与EF的长；(3) 若矩形DEFG从原点出发，沿 x轴的反方向以每秒 1个单位长度的速度平移，设移