拉普拉斯变换与Z变换及信号系统的复频域分析

1、大连理工大学1 第第3章章 拉普拉斯变换与拉普拉斯变换与z变换及信变换及信 号系统的复频域分析号系统的复频域分析 大连理工大学硕士研究生校管课程大连理工大学硕士研究生校管课程 信号处理与数据分析信号处理与数据分析 电子信息与电气工程学部电子信息与电气工程学部 邱天爽邱天爽 2015年年10月月 内容概要内容概要 3.1 3.1 引言引言 3.2 3.2 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 3.3 3.3 连续时间信号与系统的复频域分析连续时间信号与系统的复频域分析 3.4 z3.4 z变换变换 3.5 3.5 离散离散时间时间信号与系统的复频域分析信号与系统的复频域分析 大连理工大学2 大连理工大学3

2、3.1 引言引言 2021-7-12大连理工大学4 上上一章系统介绍了傅里叶理论，对应的信号与系一章系统介绍了傅里叶理论，对应的信号与系 统分析称为统分析称为频域分析频域分析； 本章系统介绍拉普拉斯变换和本章系统介绍拉普拉斯变换和z变换，对应的信号变换，对应的信号 与系统分析称为与系统分析称为复频域分析复频域分析。 复频域的概念：复频域的概念： 对于连续对于连续时间时间信号与系统，经由拉普拉斯变换，有信号与系统，经由拉普拉斯变换，有 对于对于离散离散时间信号与系统，经由时间信号与系统，经由z变换，有变换，有 js j ezr 大连理工大学4 2021-7-12大连理工大学5 我们将会我们将会看

3、到：看到： 拉普拉斯变换拉普拉斯变换和和z变换都有很多有用的性质，变换都有很多有用的性质，它们它们 提供提供了许多不能应用傅里叶变换的分析方法了许多不能应用傅里叶变换的分析方法。 例如例如，在傅里叶变换中，若信号在所关注的区间是无界，在傅里叶变换中，若信号在所关注的区间是无界 的，则其傅里叶变换是不收敛或不存在的的，则其傅里叶变换是不收敛或不存在的。 但是但是，对于拉普拉斯变换来说，可以通过适当选择收敛，对于拉普拉斯变换来说，可以通过适当选择收敛 区域而使在频域傅里叶变换不收敛的信号在区域而使在频域傅里叶变换不收敛的信号在s域收敛，域收敛， 以便进行进一步的分析处理以便进行进一步的分析处理。

4、因此因此在某种意义上来说，信号与系统的在某种意义上来说，信号与系统的复频域分析是一复频域分析是一 种比傅里叶分析范围更为广泛的有用工具种比傅里叶分析范围更为广泛的有用工具。 大连理工大学5 大连理工大学6 3.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 3.2.1 3.2.1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义 概述概述 拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换， 又称为拉氏变换又称为拉氏变换。 拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种线性变换，在电子信息技术领是一种线性变换，在电子信息技术领 域，拉普拉斯变换的作用是将连续时间信号与系统域，拉普拉斯变换的作用是将连续时

5、间信号与系统 由时间域变换到以由时间域变换到以 为为自变量的复频域，从而实自变量的复频域，从而实 现对信号与系统的分析与简化现对信号与系统的分析与简化处理。处理。 s 大连理工大学7 2021-7-12大连理工大学8 （1）拉普拉斯变换的定义）拉普拉斯变换的定义 定义：定义： 其中：其中： 为复变量。为复变量。 记为：记为： 讨论：讨论： 即拉普拉斯变换退化为傅里叶变换。即拉普拉斯变换退化为傅里叶变换。 ( )( )ed 1 ( )( )e d 2j st j st j X sx tt x tX ss js ( )( ),( )( )x tX sx tX s或L j 0,j ,( )(j)(

6、)ed t sX sXx tt 若即则 ( )(j ) (j ) ( ) X sX XX s 是的推广； 是 的特例。 大连理工大学8 2021-7-12大连理工大学9 （2）根据定义的计算）根据定义的计算 【例例3.1】 已知：已知： 【解解】 ( )e( ),0,(j )( ) at x tu taXX s 求和 jj 0 1 (j )e( )edeed,0 j attatt Xu ttta a 0 ()j 0 ( )e( )edeed ee,(j ) atstatst att X su ttt dts 11 0,( ) 0,( ) j aX saX s as a 若则；若则不存在 大连理

7、工大学9 Re sa 2021-7-12大连理工大学10 【例例3.2】 已知：已知： 【解解】 ( )e(),0,( ) at x tutaX s 求 0 0 () ( )e()edeed ed ,(j ) atstatst a s t X suttt ts 1 0 (Re ),( ) 0,( ) asaX s s a aX s 若则； 若则不存在 大连理工大学10 Re sa 2021-7-12大连理工大学11 （3）拉普拉斯变换的收敛域）拉普拉斯变换的收敛域 收敛域（收敛域（ROCROC）：）：是能够使拉普拉斯变换收敛的是能够使拉普拉斯变换收敛的s s的取值的取值 范围。范围。 ROC：

8、Re s a ROC：Re s a 大连理工大学11 3.2.2 3.2.2 拉普拉斯变换收敛域的性质拉普拉斯变换收敛域的性质 性质性质3.13.1： 的的ROC由由s平面上平行于平面上平行于 轴轴的带状区域组的带状区域组 成成。 性质性质3.23.2：对有理对有理Laplace变换来说，变换来说，ROC内不包括极点。内不包括极点。 性质性质3.33.3：若若 是是有限时宽的，且绝对可积，则有限时宽的，且绝对可积，则ROC为整为整 个个s平面。平面。 性质性质3.43.4：有理有理拉普拉斯变换的拉普拉斯变换的ROC由极点界定，或延伸到由极点界定，或延伸到 无穷。无穷。 性质性质3.53.5：有

9、理右边信号的有理右边信号的ROC位于最右边极点的右边，有位于最右边极点的右边，有 理左边信号的理左边信号的ROC位于最左边极点的左边。位于最左边极点的左边。 ( )X s j ( )x t 大连理工大学12 收敛域性质补充收敛域性质补充 性质性质A1A1：若若 为为右边信号，且若右边信号，且若 位于位于ROC内内 ，则，则 的的全部全部s值一定在值一定在ROC内。内。 性质性质A2A2：若若 为为左边信号，且若左边信号，且若 位于位于ROC内内 ，则，则 的全部的全部s值一定在值一定在ROC内。内。 ( )x t 0 Re s 0 Re s ( )x t 0 Re s 0 Re s 大连理工大

10、学13 2021-7-12大连理工大学14 拉普拉斯变换计算举例拉普拉斯变换计算举例 【例例3.3】 大连理工大学14 3.2.3 3.2.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换 拉普拉斯逆变换式拉普拉斯逆变换式 j j 1 ( )( )e d 2 j st x tX ss 大连理工大学15 2021-7-12大连理工大学16 （1）拉普拉斯逆变换）拉普拉斯逆变换的部分分式法的部分分式法 适用适用范围：范围：有理分式拉普拉斯变换式有理分式拉普拉斯变换式 基本方法：基本方法：将拉普拉斯变换式进行部分分式展开：将拉普拉斯变换式进行部分分式展开： 上式中的每一项均为一阶系统，每一项均有上式中的每一项均为一

11、阶系统，每一项均有两种可能两种可能： 若若ROC位于极点位于极点 的右边，则：的右边，则： 若若ROC位于极点位于极点 的左边，则：的左边，则： 11 ( )( ) mm i i ii i A X sX s sa i sa ( )e( ) i a t ii x tAu t ( )e() i a t ii x tAut i sa 1 ( )( ) m i i x tx t 大连理工大学16 2021-7-12大连理工大学17 计算举例计算举例 【例例3.4】 已知：已知： ，求，求 。 【解解】 部分分式分解：部分分式分解： 求出求出 由于收敛域在极点右边，故为右边信号：由于收敛域在极点右边，故

12、为右边信号： 1 ( ),Re1 (1)(2) X ss ss ( )x t 1 ( ) (1)(2)12 AB X s ssss 1,1AB 11 ( ), Re1 12 X ss ss 2 ( )e( )e( ) tt x tu tu t 大连理工大学17 2021-7-12大连理工大学18 【例例3.4-1】 已知：已知： 【解解】 部分分式分解：部分分式分解： 因因ROCROC在极点左边，故为左边信号。反变换得：在极点左边，故为左边信号。反变换得： 1 ( ),Re2 (1)(2) X ss ss 11 ( ),Re 2 12 X ss ss 2 ( )ee() tt x tut 大连

13、理工大学18 2021-7-12大连理工大学19 【例例3.4-2】 已知：已知： 【解解】 部分分式分解：部分分式分解： 因因ROCROC在第一项极点的左边在第一项极点的左边，故该项为左边信号。，故该项为左边信号。 因因ROCROC在第二项极点的右边在第二项极点的右边，故该项为右边信号。，故该项为右边信号。 11 ( ),2Re 1 12 X ss ss 1 ( ),2Re1 (1)(2) X ss ss 2 ( )e()e( ) tt x tutu t 大连理工大学19 2021-7-12大连理工大学20 【例例3.5】 大连理工大学20 2021-7-12大连理工大学21 （2）拉普拉斯

14、逆变换）拉普拉斯逆变换的留数法的留数法 对于因果信号，由复变函数中的留数定理，有对于因果信号，由复变函数中的留数定理，有 上式左边上式左边的曲线积分是在的曲线积分是在s平面内沿一不通过平面内沿一不通过 极点的闭极点的闭 合曲线（称为围线）合曲线（称为围线） 上进行的上进行的。 右边表示围线中右边表示围线中 各各极点上留数之和极点上留数之和。 要要利用留数定理来计算拉普拉斯逆变换利用留数定理来计算拉普拉斯逆变换， 需要在上式的需要在上式的积分线上补充一条积分线上补充一条积分路径积分路径 以以构成一条封闭曲线。构成一条封闭曲线。 1 ( )e dRes 2 j st i C i X ss ( )X

15、 s 大连理工大学21 2021-7-12大连理工大学22 留数法的应用留数法的应用 设设 为有理函数，则：为有理函数，则： 一一阶极点阶极点 的留数为：的留数为： k阶极点阶极点的留数为：的留数为： 留数法除了可以处理有理拉普拉斯变换式之外，还可以留数法除了可以处理有理拉普拉斯变换式之外，还可以 处理无理拉普拉斯变换式，因此适用范围更广。处理无理拉普拉斯变换式，因此适用范围更广。 ( )X s i sp Res()( )e i st iis p sp X s 1 1 1d Res()( )e (1)! d i k kst ii k s p spX s ks 大连理工大学22 2021-7-1

16、2大连理工大学23 【例例3.63.6】 大连理工大学23 k 2021-7-12大连理工大学24 【线性性质线性性质】 若：若： 则：则： 【时移性质时移性质】 若：若： 则：则： 111222 ( )( ), ROC:; ( )( ), ROC: x tX sRx tXsR 121212 ( )( )( )( ),ROC:ax tbx taX sbXsRR包括 ( )( )ROC:x tX sR， 0 0 ()e( )ROC: st x ttX sR ， 3.2.4 3.2.4 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质 大连理工大学24 2021-7-12大连理工大学25 【频移性质频移性质】

17、 若：若： 则：则： 【时域尺度变换时域尺度变换】 若：若： 则：则： 0 010 e( )() ROC:Re s t x tX ssRRs， 1 1 ()ROC: sR x atXR aaa ， ( )( )ROC:x tX sR， ( )( )ROC:x tX sR， 大连理工大学25 2021-7-12大连理工大学26 【共轭性质共轭性质】 若：若： 则：则： 若：若： ，则，则 【卷积性质卷积性质】 若：若： 则：则： *( )*ROC:xtXsR， 111222 ( )( ), ROC:; ( )( ), ROC: x tX sRx tXsR 121212 ( )*( )( )( )

18、ROC:x tx tXs XsRR，包括 ( )*( )x txt( )*( *)X sXs ( )( )ROC:x tX sR， 大连理工大学26 2021-7-12大连理工大学27 【时域微分性质时域微分性质】 若：若： 则：则： 【频域微分性质频域微分性质】 若：若： 则：则： d ( ) ( )ROC: d x t sX sR t ，包括 d ( ) ( )ROC: d X s tx tR s ， ( )( )ROC:x tX sR， ( )( )ROC:x tX sR， 大连理工大学27 2021-7-12大连理工大学28 【时域积分性质时域积分性质】 若：若： 则：则： 【初值定理

19、与终值定理初值定理与终值定理】 对于因果信号对于因果信号 ，若：，若： 则初值定理：则初值定理： 终值定理：终值定理： 1 ( )d( ),ROC:Re 0 t xX sRs s 包括 ( )x t ( )( )ROC:x tX sR， ( )( )ROC:x tX sR， (0 )lim( ) s xsX s 0 lim ( )lim( ) ts x tsX s 大连理工大学28 2021-7-12大连理工大学29 计算举例计算举例 【例例5.6】 已知：已知： 【解解】 解得：解得： 利用初值定理检验求解是否有误。由初值定理：利用初值定理检验求解是否有误。由初值定理： 另一方面，另一方面，

20、 二者相同，未发现错误。二者相同，未发现错误。 2 ( )e( )(cos3 ) ( ) tt x tu tet u t 2 32 2512 ( ) 41420 ss X s sss 2 32 2512 (0 )lim( )lim2 41420 ss sss xsX s sss 0 ( )=1+1=2 t x t 大连理工大学29 2021-7-12大连理工大学30 拉普拉斯变换性质清单拉普拉斯变换性质清单 大连理工大学30 2021-7-12大连理工大学31 常用拉普拉斯变换对常用拉普拉斯变换对 大连理工大学31 2021-7-12大连理工大学32 常用拉普拉斯变换对（续）常用拉普拉斯变换对

21、（续） 大连理工大学32 2021-7-12大连理工大学33 3.3 连续连续时间信号与系统的复时间信号与系统的复 频域分析频域分析 大连理工大学33 2021-7-12大连理工大学34 拉普拉斯变换与傅里叶变换的比较拉普拉斯变换与傅里叶变换的比较 拉普拉斯变换拉普拉斯变换是傅里叶变换的推广，或者说傅里叶变是傅里叶变换的推广，或者说傅里叶变 换是拉普拉斯变换当换是拉普拉斯变换当 的特例的特例； 傅里叶变换傅里叶变换比较适合分析信号与系统的比较适合分析信号与系统的频率特性；频率特性； 拉普拉斯变换拉普拉斯变换除了可以用于分析信号与系统频率方面除了可以用于分析信号与系统频率方面 的问题外，更多的是

22、用于求解线性系统时域微分方程，的问题外，更多的是用于求解线性系统时域微分方程， 对系统进行对系统进行因果性和稳定性分析因果性和稳定性分析，并且更方便地将信，并且更方便地将信 号与号与系统用方框图或信号流图系统用方框图或信号流图的方式表示出来的方式表示出来。 本本节重点介绍拉普拉斯变换用于节重点介绍拉普拉斯变换用于LTILTI系统的分析问题，系统的分析问题， 同时简单介绍单边拉普拉斯变换（同时简单介绍单边拉普拉斯变换（unilateral unilateral Laplace transformLaplace transform）及其应用。）及其应用。 0 大连理工大学34 3.3.1 3.3.

23、1 微分方程的拉氏变换与系统函数微分方程的拉氏变换与系统函数 LTILTI系统用线性常系数微分方程来表示：系统用线性常系数微分方程来表示： 系统函数定义为：系统函数定义为： 00 d( )d( ) dd kkNM kk kk kk y tx t ab tt 00 ( )( ) NM kk kk kk a sY sb sX s 0 0 ( ) ( ) ( ) M k k k N k k k b s Y s H s X s a s 大连理工大学35 2021-7-12大连理工大学36 系统函数的含义系统函数的含义 一个由线性常系数微分方程所表示的系统，其系统函一个由线性常系数微分方程所表示的系统，

24、其系统函 数总是有理的数总是有理的。此外：此外： 第一第一，系统的零点和极点可以分别通过令上式的分子系统的零点和极点可以分别通过令上式的分子 为为0 0和分母为和分母为0 0而得到而得到。由。由系统的零点和极点以及系统系统的零点和极点以及系统 的的ROCROC，可以进一步分析系统的因果性、稳定性等性质，可以进一步分析系统的因果性、稳定性等性质。 第二第二，上式反映了上式反映了LTILTI系统输入信号、输出信号与系统系统输入信号、输出信号与系统 函数的关系。由上式，可以函数的关系。由上式，可以得到：得到： 第三，第三，如果在如果在 中中令令 （或令（或令 ），），则可则可 以得到系统的频率响应（

25、或称为以得到系统的频率响应（或称为传递函数传递函数 ），）， 并可以由此进一步分析系统的频率特性。并可以由此进一步分析系统的频率特性。 大连理工大学36 ( )( )( )Y sH s X s 0 0 ( ) ( ) ( ) M k k k N k k k b s Y s H s X s a s ( )H s0js (j)H 2021-7-12大连理工大学37 【例例3.83.8】 大连理工大学37 3.3.2 LTI3.3.2 LTI系统的因果性和稳定性分析系统的因果性和稳定性分析 （1 1）LTILTI系统的因果性判定系统的因果性判定 性质性质3.6 3.6 （必要条件）（必要条件）一个因

26、果系统的系统一个因果系统的系统函数函数 的的ROCROC是某个右半是某个右半s s平面。平面。 需要注意的是，性质需要注意的是，性质3.63.6的相反结论是不一定成立的。即位的相反结论是不一定成立的。即位 于最右边极点右边的于最右边极点右边的ROCROC并不能充分保证系统的因果性。并不能充分保证系统的因果性。 性质性质3.7 3.7 （充分必要条件）（充分必要条件）若系统函数若系统函数 是是有理有理 的，则系统的因果性等效于的，则系统的因果性等效于ROCROC位于最右边极点的右位于最右边极点的右 边的右半边的右半s s平面。平面。 大连理工大学38 ( )H s ( )H s 2021-7-1

27、2大连理工大学39 【例例3.93.9】 大连理工大学39 2021-7-12大连理工大学40 （2 2）系统稳定性判定）系统稳定性判定 性质性质3.8 3.8 当且仅当系统函数当且仅当系统函数 的的ROCROC包含包含 轴轴时，时， 则该则该LTILTI系统是稳定的系统是稳定的。 性质性质3.9 3.9 当且仅当当且仅当 的的全部极点都位于左半全部极点都位于左半s s平面平面 时，则有理因果系统时，则有理因果系统 是是稳定的。稳定的。 大连理工大学40 ( )H s j ( )H s ( )H s 2021-7-12大连理工大学41 【例例3.103.10】 大连理工大学41 3.3.3 3

28、.3.3 单边拉普拉斯变换及其应用单边拉普拉斯变换及其应用 定义定义 式中，式中， 表示单边拉普拉斯变换；表示单边拉普拉斯变换； 积分下限积分下限 表示在积分区间中包括位于表示在积分区间中包括位于 时刻的时刻的 任何冲激信号或高阶奇异信号。任何冲激信号或高阶奇异信号。 由于单边拉普拉斯变换总是对由于单边拉普拉斯变换总是对 的区间进行信号的区间进行信号 积分，因此其积分，因此其ROC总是对应于某个右半总是对应于某个右半s平面。平面。 大连理工大学42 u 0 ( )( )ed st Xsx tt u( ) Xs 0 0t 0t 2021-7-12大连理工大学43 【例例3.113.11】 大连理

29、工大学43 2021-7-12大连理工大学44 单边单边拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质 单边拉普拉斯变换的主要性质与双边拉普拉斯变换的单边拉普拉斯变换的主要性质与双边拉普拉斯变换的 基本相同，例如线性性质、基本相同，例如线性性质、s域平移性质、时域尺度域平移性质、时域尺度 变换性质、共轭和变换性质、共轭和s域微分等，初值定理域终值定理域微分等，初值定理域终值定理 也成立。也成立。但时域但时域微分和时域积分等性质是不同微分和时域积分等性质是不同的。的。 大连理工大学44 大连理工大学45 3.4 z-变换变换 2021-7-12大连理工大学46 z z变换的概念变换的概念 z z变换（变换

30、（z-transformz-transform）是对离散时间）是对离散时间信号或系统进行信号或系统进行 的一种数学变换的一种数学变换。 它它在离散时间信号与系统中的地位，如同拉普拉斯变在离散时间信号与系统中的地位，如同拉普拉斯变 换在连续时间信号与系统中的地位换在连续时间信号与系统中的地位。 z z变换是分析线性时不变系统的重要工具，在数字信变换是分析线性时不变系统的重要工具，在数字信 号处理、计算机控制系统等领域有广泛的应用。号处理、计算机控制系统等领域有广泛的应用。 大连理工大学46 2021-7-12大连理工大学47 定义：定义： 即即z z变换是变换是DTFTDTFT的推广；的推广；

31、DTFTDTFT是单位圆上的是单位圆上的z z变换：变换： jj j ( )( e ) e e n n nn n X zX rx nr x n r 大连理工大学47 3.4.1 z3.4.1 z变换的定义变换的定义 j ( )( ),e ;( )( ) n n X zx n zzrx nX z 记为 jjj 1 e , (1),( )(e )( )e n z n zrX zXx n 若则 1 1 ( )( )d 2 j n x nX z zz 2021-7-12大连理工大学48 z 变换的收敛域问题变换的收敛域问题 存在一个存在一个 z 的取值范围，在此范围内，的取值范围，在此范围内，z 变换

32、收敛。称变换收敛。称 此范围为收敛域（此范围为收敛域（ROC） 。 若若ROC内包含单位圆，则内包含单位圆，则DTFT也收敛（存在）。也收敛（存在）。 大连理工大学48 2021-7-12大连理工大学49 计算举例计算举例 【例例3.143.14】 已知：已知： ，求其，求其 z z 变换。变换。 【解解】 由定义，有：由定义，有： 为使为使 收敛，要求：收敛，要求： 这样：这样： 0 1 ( )( ) n nn nn X za u n za z ( )X z 1 1 0 1 ( ), () 1 n n z X zazza azza 11 0 ROC n n azazza ：或 ( )( )

33、n x na u n 大连理工大学49 2021-7-12大连理工大学50 讨论讨论 上页结果可以用零极点表示为：上页结果可以用零极点表示为： （1）若）若 ，则，则 （2）若）若 ，则其零极图为：，则其零极图为： （3）若）若 ，则，则ROC不包含单位圆。不包含单位圆。 这样，这样， 的的DTFT不收敛（不收敛（ROC 不含单位圆）。不含单位圆）。 1a 1 1 ( )( )( ),1 1 x nu nX zz z 0 ( ), z z X z zaza 零点： 极点： 01a 1a ( )( ) n x na u n 大连理工大学50 2021-7-12大连理工大学51 【例例3.153.

34、15】 已知：已知： ，求其，求其 z z 变换。变换。 【解解】 由定义，有：由定义，有： 若若 ，则：，则： 比较比较【例例3.14】和和【例例3.15】，两者，两者 z 变换的表达变换的表达 式相同，但式相同，但ROC不同。不同。z z 变换表达式必须写明变换表达式必须写明ROCROC。 ( )(1) n x na un 1 1 10 ( )(1) 1 nn n mn n nnmm nmn X zanz a zaza z za 11 11 ( )1, 11 X zza a zaz 大连理工大学51 2021-7-12大连理工大学52 【例例3.15A3.15A】 已知：已知： ，求其，求

35、其 z z 变换。变换。 【解解】 由定义，有：由定义，有： 收敛域：收敛域： 11 ( )7( )6( ) 32 nn x nu nu n 00 1 11 11 1111 ( )7( )6( )7( )6( ) 3232 11 76 32 3 3 1 762 2 = 1111 1111 3232 nnnn nnn nnn nn nn nn X zu nu nzu n zu n z zz z z z zzzz 11 32 zz 1 ROC: 2 z 大连理工大学52 2021-7-12大连理工大学53 上例上例【例例3.15A】的收敛域图形的收敛域图形 大连理工大学53 2021-7-12大连

36、理工大学54 【例例3.15B3.15B】 已知：已知： 求其求其 z z 变换。变换。 【解解】由定义，有：由定义，有： 收敛域：收敛域：1 ROC: 3 z jj 44 11111 ( )(sin) ( )e( )e( ) 342j 32j 3 nn n x nn u nu nu n jj 44 jj 44 jj jj 11 44 44 1111 ( )e e 2j 32j 3 1111 e( )e( ) 2j32j3 1 1111 3 2 2j2j1111 1e1eee 3333 nn n n nn nn nn X zu nu nz u n zu n z z zzzz 大连理工大学54

37、2021-7-12大连理工大学55 ROCROC是在是在z z平面内的原点为中心的环。平面内的原点为中心的环。 ROCROC内不包含任何极点内不包含任何极点 。 若若 是有限长的，则是有限长的，则ROCROC为整个为整个z z平面。平面。 若若 为右边序列，且若为右边序列，且若 位于位于ROCROC内，则内，则 的全部有限的全部有限z z值一定在值一定在ROCROC内。内。 若若 为左边序列，且若为左边序列，且若 位于位于ROCROC内，则内，则 的全部有限的全部有限z z值一定在值一定在ROCROC内。内。 若若 为双边序列，且若为双边序列，且若 位于位于ROCROC内，则该内，则该ROCR

38、OC一定一定 由包括由包括 的圆环组成。的圆环组成。 有理有理z z变换：若左边序列，变换：若左边序列，ROCROC位于最里边极点的里边，若右位于最里边极点的里边，若右 边序列，边序列，ROCROC位于最外边极点的外边。位于最外边极点的外边。 ( )x n 0 zr 0 zr 0 zr 0 zr 0 zr 0 zr 大连理工大学55 3.4.2 z3.4.2 z变换收敛域的性质变换收敛域的性质 ( )x n ( )x n ( )x n 2021-7-12大连理工大学56 【例例3.163.16】 大连理工大学56 2021-7-12大连理工大学57 定义：定义： 式中：式中： 表示半径为表示半

39、径为r，以原点为中心的封闭圈上沿，以原点为中心的封闭圈上沿 逆时针方向环绕一周的积分。逆时针方向环绕一周的积分。 上式求解上式求解需要利用复平面上的围需要利用复平面上的围线积分线积分，一般一般并不采并不采 用由定义直接计算的用由定义直接计算的方式。方式。 1 1 ( )d 2 j n x nX z zz 大连理工大学57 3.4.3 z3.4.3 z逆变换逆变换 2021-7-12大连理工大学58 （1 1）z z逆变换的部分分式法求解逆变换的部分分式法求解 设离散时间信号设离散时间信号 的的z z变换变换 可以可以表示为一组一阶项表示为一组一阶项 的线性组合的形式，的线性组合的形式，如下所如

40、下所示示： 对于对于上式中的每个一阶项的上式中的每个一阶项的z z逆变换，逆变换，都有都有两种可能两种可能： 若若 的的ROCROC位于极点位于极点 所所对应的圆的对应的圆的外面外面，则：，则： 若若 的的ROCROC位于极点位于极点 所对应的圆所对应的圆的的里面里面，则：，则： 大连理工大学58 ( )x n( )X z 1 11 ( )( ) 1 mm i i ii i A X zXz a z ( )X z i za 1 1 ( )( ) 1 n i iii i A XzAa u n a z Z ( )X z i za 1 1 ( )(1) 1 n i iii i A XzAa un a

41、z Z 2021-7-12大连理工大学59 计算举例计算举例 【例例3.17】 已知：已知： ，求，求 。 【解解】 部分分式展开，部分分式展开， 这样：这样： 1 11 5 3 1 6 ( ), 113 11 43 z X zz zz ( )x n 11 12 ( ) 11 11 43 X z zz 1122 11 111111 ( ),( )( );( ),( )( ) 11 4433 11 43 nn x nzx nu nx nzx nu n zz 11 ( )( )2( ) 43 nn x nu nu n 大连理工大学59 2021-7-12大连理工大学60 【例例3.18A】 已知：

42、已知： ，求，求 。 【解解】 部分分式展开，部分分式展开， 这样：这样： 1 11 5 3 1 6 ( ), 114 11 43 z X zz zz ( )x n 11 12 ( ) 11 11 43 X z zz 11 ( )(1)2(1) 43 nn x nunun 11 1 22 1 111 ( ),( )(1) 1 44 1 4 111 ( ),( )(1) 1 33 1 3 n n x nzx nun z x nzx nun z 大连理工大学60 2021-7-12大连理工大学61 【例例3.18B】 已知：已知： ，求，求 。 【解解】 部分分式展开，部分分式展开， 这样：这样：

43、 1 11 5 3 11 6 ( ), 1143 11 43 z X zz zz ( )x n 11 12 ( ) 11 11 43 X z zz 11 1 22 1 111 ( ),( )( ) 1 44 1 4 111 ( ),( )(1) 1 33 1 3 n n xnzxnu n z xnzxnun z 11 ( )( )2(1) 43 nn x nu nun 大连理工大学61 2021-7-12大连理工大学62 小结小结 对于每一项对于每一项 ： 若若ROC在极点外，则：在极点外，则： 若若ROC在极点内在极点内，则：则： 1 1 i i A a z n iii x nAa u n

44、1 n iii x nAa un 大连理工大学62 2021-7-12大连理工大学63 （2 2）z z逆变换的留数法求解逆变换的留数法求解 借助于留数定理，借助于留数定理，z z逆变换可以表示为各极点留数之和：逆变换可以表示为各极点留数之和： 式中，式中，ResRes表示极点的留数，表示极点的留数， 为为 的的极点。极点。 若若 在在 有一阶极点，则：有一阶极点，则： 若若 在在 有有k k阶阶极点，则：极点，则： 大连理工大学63 11 1 ( )( )dRes ( ) 2 j m nn z z m x nX z zzX z z m z 1 ( ) n X z z 1 ( ) n X z

45、z m zz 11 Res( )()( ) mm nn z zmz z X z zzzX z z m zz 1 ( ) n X z z 1 11 1 1d Res( )()( ) (1)! d mm k nkn z zmz z k X z zzzX z z kz 2021-7-12大连理工大学64 【例例3.193.19】试求试求 的的z z逆变换逆变换。 解：解： 有有2 2个一阶个一阶极点，这样：极点，这样： 由此：由此： 大连理工大学64 11 1 ( ),| 1 1 (1)(1) 2 X zz zz ( )X z 1 11 11 1 1 Res( )(0.5)2 1 (1)(1) 2

46、nn z z z X z zzz zz 2 11 11 0.5 11 Res( )(0.5) 1 2 (1)(1) 2 n nn z z z X z zzz zz 1 ( )2( ) 2 n x nu n 2021-7-12大连理工大学65 （3 3）z z逆变换的幂级数展开法求解逆变换的幂级数展开法求解 基本原理：基本原理：由于由于 的的z z变换变换 定义定义为为 的幂级数，因此只要在给定的的幂级数，因此只要在给定的ROCROC内将内将 展开展开成幂成幂 级数，其系数就是要求级数，其系数就是要求的时间序列的时间序列 。 方法：方法：利用长除法计算利用长除法计算 。 大连理工大学65 ( )

47、X z ( )x n ( )( ) n n X zx n z 1 z ( )x n ( ) ( ) ( ) N z X z D z 2021-7-12大连理工大学66 【例例3.203.20】试利用长除法求试利用长除法求 的的z z逆逆 变换。变换。 解：解：利用长除法，有：利用长除法，有： 可以写为：可以写为： 该该级数收敛级数收敛。与。与z z变换的定义变换的定义式比较式比较，可得，可得： 则：则： 大连理工大学66 1 1 ( ),| | 1 X zza az 122 1 1 1 122 22 1 11 1 aza z az az az aza z a z 122 1 1 ( )1 1

48、X zaza z az ( )0,0 x nn若 2 (0)1,(1),(2),xxa xa且 ( )( ) n x na u n 2021-7-12大连理工大学67 【例例3.20-1】 已知：已知： ，求，求 。 【解解】 待定系数法。根据待定系数法。根据z z变换的定义：变换的定义： 比较系数，有：比较系数，有： 即：即： ( )x n 21 ( )423, 0X zzzz ( )( ) n n X zx n z ( 2)4,(0)2,(1)3,( )0 xxxx n其余 ( )4 (2)2 ( )3 (1)x nnnn 大连理工大学67 2021-7-12大连理工大学68 【线性性质线

49、性性质】 若：若： 则：则： 【时移性质时移性质】 若：若： 则：则： 111222 ( ), ROC:; ( ), ROC: x nXzRx nXzR 121212 ( )( ),ROC:ax nbx naXzbXzRR包括 ( )ROC:x nX zR， 0 0 e( )ROC: n x nnX zR ， 大连理工大学68 3.4.4 z3.4.4 z变换的性质变换的性质 2021-7-12大连理工大学69 【z域尺度变换域尺度变换】 若：若： 则：则： 【时域反转时域反转】 若：若： 则：则： ( )ROC:x nX zR， 00 0 (),ROC: n z z x nXz R z (

50、)ROC:x nX zR， 11 , ROC:xnX zR 大连理工大学69 2021-7-12大连理工大学70 【共轭性质共轭性质】 若：若： 则：则： 若：若： ，则，则 【卷积性质卷积性质】 若：若： 则：则： 111222 ( ), ROC:; ( ), ROC: x nXzRx nXzR 121212 * ( )( )ROC:x nx nXz XzRR，包括 * x nxn( )*( *)X zXz ( )ROC:x nX zR， * *( *),ROC:x nXzR 大连理工大学70 2021-7-12大连理工大学71 【时域扩展性质时域扩展性质】 若：若： 则：则： 其中：其中：

51、 【z 域微分性质域微分性质】 若：若： 则：则： d ( ) ROC: d X z nx nzR z ， ( )ROC:x nX zR， 1/ ( ) ()ROC: kk k xnX zR， ( )ROC:x nX zR， ( ) , 0, k n xnk xnk nk 是 的整数倍 不是 的整数倍 大连理工大学71 2021-7-12大连理工大学72 【初值定理初值定理】 对于因果信号对于因果信号 则初值定理：则初值定理： 0,0 x nn 0lim( ) z xX z 大连理工大学72 2021-7-12大连理工大学73 z变换性质列表变换性质列表 大连理工大学73 2021-7-12大

52、连理工大学74 z变换性质列表（续）变换性质列表（续） 大连理工大学74 2021-7-12大连理工大学75 【例例3.21】 【例例3.22】 大连理工大学75 2021-7-12大连理工大学76 【例例3.22】 大连理工大学76 2021-7-12大连理工大学77 常用常用z变换对变换对 大连理工大学77 2021-7-12大连理工大学78 常用常用z变换对（续）变换对（续） 大连理工大学78 2021-7-12大连理工大学79 3.5 离散时间离散时间信号与系统的复信号与系统的复 频域分析频域分析 大连理工大学79 2021-7-12大连理工大学80 离散时间离散时间LTILTI系统的

53、差分方程一般形式：系统的差分方程一般形式： 式中，式中， 分别分别表示输入项和输出项的阶数，表示输入项和输出项的阶数， 分别分别 表示输入项和输出项的加权系数。对上式两边做表示输入项和输出项的加权系数。对上式两边做z z变换，变换， 得到：得到： 由此定义系统函数：由此定义系统函数： 大连理工大学80 3.5.1 3.5.1 差分方程的差分方程的z z变换与系统函数变换与系统函数 00 ()() NM kk kk a y nkb x nk ,MN, kk ba 00 ( )( ) NM kk kk kk a z Y zb zX z 0 0 ( ) ( ) ( ) M k k k N k k k

54、 b z Y z H z X z a z 2021-7-12大连理工大学81 系统函数所表示的信息系统函数所表示的信息 第一，系统的零点和极点可以分别第一，系统的零点和极点可以分别令上式的令上式的分子为分子为0 0 和分母为和分母为0 0而得到。由系统的零点和极点以及系统的而得到。由系统的零点和极点以及系统的 ROCROC，可以进一步分析系统的因果性、稳定性等方面，可以进一步分析系统的因果性、稳定性等方面 的问题的问题。 第二第二，上式反映，上式反映了了LTILTI系统输入信号、输出信号与系系统输入信号、输出信号与系 统函数之间的关系统函数之间的关系。即：。即： 第三，如果第三，如果在在 中中

55、令令 ，则可以得到离散时则可以得到离散时 间系统的频率响应（或称为传递函数间系统的频率响应（或称为传递函数） ，并可并可 以由此进一步分析系统的频率特性。以由此进一步分析系统的频率特性。 大连理工大学81 ( )( )( )( )( )( )Y zH z X zh nx ny n ( )H z| | 1z j (e)H 2021-7-12大连理工大学82 【例例3.23】 大连理工大学82 2021-7-12大连理工大学83 【例例3.23续续】 大连理工大学83 2021-7-12大连理工大学84 （1 1）离散）离散时间时间LTILTI系统的因果性系统的因果性判定判定 性质性质3.163.

56、16： 一离散时间一离散时间LTILTI系统当且仅当其系统函数系统当且仅当其系统函数 的的ROCROC位于位于z z平面某一圆的外面，且包含无穷远点，则平面某一圆的外面，且包含无穷远点，则 该系统是因果的。该系统是因果的。 性质性质3.173.17： 一个具有有理系统一个具有有理系统函数函数 的离散时间的离散时间LTILTI 系统是因果的，系统是因果的，当且仅当：当且仅当： （a a）其）其ROCROC位于最外层极点外面某一圆的外面位于最外层极点外面某一圆的外面； 且且（b b）若）若 表示表示为为 的的多项式之比，则其分子的多项式之比，则其分子的 阶次不能高于分母的阶次。阶次不能高于分母的阶

57、次。 大连理工大学84 3.5.2 LTI3.5.2 LTI系统的因果性与稳定性分析系统的因果性与稳定性分析 ( )H z ( )H z z( )H z 2021-7-12大连理工大学85 【例例3.243.24】 已知：已知： ，试判断系统的因果性。，试判断系统的因果性。 解：解：因分子阶数高于分母阶数，故系统非因果因分子阶数高于分母阶数，故系统非因果。 【例例3.253.25】已知已知 ，试判定系统试判定系统 的因果性的因果性。 解解：该该系统有系统有2 2个极点，个极点，即即 ，由于系统的，由于系统的ROCROC 在最外面极点的外面，且在最外面极点的外面，且 分子分子的阶次不高于分母的阶次不高于分母 阶次，故该系统是因果的。阶次，故该系统是因果的。 32 2 2 ( ) 11 48 zzz H z zz 大连理工大学85 2 2 5 2 2 ( ),| 2 5 1 2 zz H zz zz 12 1 ,2 2 zz ( )H z 2021-7-12大连理工大学86 （2）离散时间离散时间LTI系统系统的的稳定稳定性性判定判定 1 1一一LTILTI系统当且仅当其系统当且仅当其 的的ROCROC包含单位圆时，包含单位圆时， 该系统是稳定的。该系统是稳定的。 2 2一个具有有理系统函数一个具有有理系统函数