chap3 随机过程

1、1 通信原理 2 通信原理 第第3章章 随机过程随机过程 第第3章章 随机过程随机过程 l 通信系统中的通信系统中的信号信号和和噪声噪声都是都是随机随机的的 l定义：定义：这类事物变化的过程不可能用一个这类事物变化的过程不可能用一个 或几个时间或几个时间t的的确定函数确定函数来描述，这类过程来描述，这类过程 称为随机过程。称为随机过程。 3 复习 4 随机变量的统计特性 u随机变量：随机变量：表示随机实验结果的一个变量，叫随表示随机实验结果的一个变量，叫随 机变量。机变量。 l 用大写字母用大写字母X X、Y Y、等表示随机变量，用小写等表示随机变量，用小写 字母字母x x、y y、等，表示随

2、机变量的取值。等，表示随机变量的取值。 连续型随机变量：连续型随机变量：X X的可能取值为整个区间的任的可能取值为整个区间的任 意值。如接收机输出电压噪声。意值。如接收机输出电压噪声。 离散型随机变量离散型随机变量： X X的可能取值为有限值。如的可能取值为有限值。如 掷殺子。掷殺子。 随机变量 在实际问题中，往往研究在实际问题中，往往研究XxiXxi的概率比研究的概率比研究x=xix=xi的概率更有意义。的概率更有意义。 u随机变量随机变量X X的取值不超过的取值不超过x x的的概率概率P(X x)P(X x)为为X X的（概率）分布函数的（概率）分布函数。记。记 为为F(x)= P(X x

3、)F(x)= P(X x)。 设设离散随机变量离散随机变量X X可能取值有可能取值有6 6个个,x,x1 1x x6 6 , ,且且x x1 1x x6 6 , ,概率表：概率表： X x1x2x3x4x5x6 P(xi) 1/1 2 1/1 2 1/6 1/3 1/6 1/6 分布函数 l如取如取x=x3 ,即即F(x3)= P(X x3)= P(x1)+P(x2)+P(x3)=1/12+1/12+1/6=1/3 lx x1时，时， F(x) =P(X x x1)=0。 l x1 x x2 时，时， F(x) =P(X x)= P(x1)=1/12 l x2 x x3 时时， F(x) =P

4、(X x)= P(x1)+ P(x2) =1/12+ 1/12=1/6 lx3 x x4 时时， F(x) =P(X x)= P(x1)+ P(x2)+ P(x3) = =1/12+ 1/12+ 1/6 =1/3 l x4 x x5 时时， F(x) =P(X x)= P(x1)+ P(x2)+ P(x3)+ P(x4) = 1/12+ 1/12+ 1/6 + 1/3 =2/3 l x5 x x6 时，时， F(x) =P(X x)= P(x1)+ + P(x5) = 2/3 + 1/12 =5/6。 lx6 x时，时， F(x) =P(X x)= P(x1)+ + P(x6) = 5/6 +

5、1/6 =1。 分布函数：F(x)= P(X x)。F(x)是关于x的函数。 F(x)波形：离散随机变量 F(x)性质： 0 F(x) 1 F(-)=0， F()=1 F(x)单调增，即：若x1 x2，则F(x1) F(x2) F(x)右连续。 连续随机变量的分布函数 l若若F(x)F(x)是连续的，一阶导数存在，则定义是连续的，一阶导数存在，则定义 l为随机变量为随机变量x x的概率密度函数的概率密度函数f(x)f(x)。概率密度函数的积分就是分布函数概率密度函数的积分就是分布函数 )( dx dF(x) xf x df)( 1)()( Fdxxf 2 1 )( x x dxxf 概率密度函

6、数f(x) f(x)的性质： 非负，即 f(x) 0 F(x)=P(Xx)= (因为f(x)为F(x)的导数) P(x1x x2)= P(x x2) P(xx1)= 对于离散型的随机变量，我们通过大量的统计测量其取某一值的概率， 对于连续型的随机变量，我们往往通过统计知道其服从某一种分布即概率密度函数 （如高斯分布、均匀分布、瑞利分布等），积分得到分布函数 l二维分布函数：二维分布函数：两个随机变量两个随机变量X X、Y Y，其可能取值为，其可能取值为 x x、y y，将两个事件，将两个事件(X x)(X x)和和(Y y)(Y y)同时出现的概同时出现的概 率定义为二维随机变量率定义为二维随

7、机变量X X、Y Y的二维（联合概率）分的二维（联合概率）分 布函数，布函数，F( X,Y)F( X,Y)。即。即F( X,Y)=P(X x, Y y)F( X,Y)=P(X x, Y y) l概率密度函数：概率密度函数：若二维分布函数若二维分布函数F( X,Y)F( X,Y)是连续的是连续的 ，且二阶混合偏导数存在，则定义，且二阶混合偏导数存在，则定义 l 为二维概率密度函数，记为为二维概率密度函数，记为f(x,y)f(x,y)。 l显然：显然： ),( ),( 2 yxf yx yxF xy ddfyxF),(),( 多维随机变量：如二维 lf(x,y)f(x,y)的性质：的性质： l f

8、(x,y) 0f(x,y) 0 l l l l 若若f(x,y)=f(x)f(y) , f(x,y)=f(x)f(y) , 则称则称X X、Y Y相互统计相互统计 独立。独立。 xy ddfyxF),(),( 1),( ddf dyyxfxF),()( dxyxfyF),()( 若X、Y相互统计独立，则f(x,y) =f(x)f(y) 概率密度函数f(x) l数学期望：数学期望：随机变量随机变量X X的统计平均值。的统计平均值。 l X X为连续随机变量为连续随机变量 X X为离散随机变量为离散随机变量 l性质：性质： l Ea= a Ea= a （ a a为常数）为常数） l Eax=a E

9、x Eax=a Ex l EX EXY= EX Y= EX EY EY（X X、Y Y均为随机变量）均为随机变量） dxxxf)(xEmx 11 x )()(xEm i ii i ii xPxxxPx 随机变量的数字特征 l 随机变量随机变量X的函数的函数g(x)的期望为的期望为 l X为连续随机为连续随机 变量变量 l l X为离散随机变量为离散随机变量 11 )()()()()x(gE i ii i ii xPxgxxPxg dxxfxg)()()x(gE l原点矩原点矩 l n阶原点矩：阶原点矩： l2阶原点矩：阶原点矩： 为为X的均方值的均方值。 l1阶原点矩：阶原点矩： 为为X的期望

10、。的期望。 l中心矩中心矩 ln阶中心矩：阶中心矩：E(x-mx)n= l1阶中心矩：阶中心矩： E(x-mx)1= Ex -Emx= mx- mx= 0 dxxfx n )(x E n dxxfx)(x E 22 dxxxf )( x E dxxfmx n x )()( l2 2阶中心矩：阶中心矩：方差方差 l =Dx = E(x-mx)2= l = Ex2-2 mxx+ mx2 l = Ex2-2mx2+mx2 l = Ex2- mx2 l = Ex2- E2x 均方值均方值- -均值的平方均值的平方 l2 2阶中心矩称为阶中心矩称为“方差方差”，用，用 或或 D(x)D(x)表示。表示。

11、反映随机变量反映随机变量X X相对相对 于统计平均值于统计平均值m mx x的分散（偏离）程度。均值和方差是描述随机变量统计性质最常的分散（偏离）程度。均值和方差是描述随机变量统计性质最常 用的二个主要衡量指标。最常出现在哪一点，就是均值，偏离程度就是方差。用的二个主要衡量指标。最常出现在哪一点，就是均值，偏离程度就是方差。 l性质：性质： Dx = Ex2- E2x l Da= Ea2- E2a =0 l Dax= Ea2x2- E2ax=a2 Ex2- E2x= a2Dx l DX Y = DX + DY 2CXY dxxfmx x )()( 22 x 2 x l 联合矩联合矩（针对二个随

12、机变量而言）（针对二个随机变量而言） l联合原点矩：联合原点矩：EXEXn nY Y k k 称为两个随机变量 称为两个随机变量X X和和Y Y的联合原的联合原 点矩，反映点矩，反映X X和和Y Y的关联程度。的关联程度。 l当当n=k=1n=k=1时，时， EXYEXY称为称为互相关函数互相关函数或相关矩。或相关矩。 l联合中心矩：联合中心矩： E(X-EX)E(X-EX)n n (Y-EY) (Y-EY)k k l 当当n=k=1n=k=1时，时，E(X-EX)(Y-EY)=CE(X-EX)(Y-EY)=CXY XY 协方差 协方差 lE(X-EX)(Y-EY)=E(XY-Y mE(X-E

13、X)(Y-EY)=E(XY-Y mx x-X m-X my y+m+mx xm my y) l = EXY- EXEY =R = EXY- EXEY =RXY XY m mx xm my y l C CXYXY=R =RXY XY m mx xm my y l当当C CXY XY=0 =0时，称时，称X X与与Y Y不相关不相关。此时：。此时： EXY= EXEY EXY= EXEY xy Rdxdyyxxyf ),(EXY lX X与与Y Y不相关时：不相关时： l CXY= EXY- EX EY=0 lRXY =EXY= EX EY lDXY= DX+ DY 统计独立与不相关：是两个不同的

14、概念。 u若两随机变量统计独立，则它们必然是不相关的。 若f(x,y)=f(x)f(y) , 则称X、Y相互统计独立。 也满足： RXY= EXY= EX EY及CXY= rxy=0 u若X与Y不相关，不一定统计独立。 不相关的充要条件为：CXY= rxy=0 协方差为0 例例3.1-1 3.1-1 随机过程随机过程X(t)X(t)取离散值取离散值2 2，5 5，8 8，概率，概率 分别为分别为0.50.5、0.20.2、0.30.3，求该随机过程的方差。，求该随机过程的方差。 =26.24.42=6.84 1 2 1 22 )()(x E i i i i xPxxxPx ii 11 x )(

15、)( xEm i ii i ii xPxxxPx =2P(2)+5P(5)+8P(8) =20.5+50.2+80.3=4.4 =220.5+520.2+82 0.3=26.2 D(X)= E(X2) E2(X) l 在区间（在区间（-）均匀分布，则）均匀分布，则 l的概率密度函数为的概率密度函数为 f()= 1/2, - f()= 1/2, - 2时， 22 1 1)( ax erfcxF 22 ( )1( ) t x erfc xerf xedt 21 ( ) x erfc xe x 76 第第3章章 随机过程随机过程 p用Q函数表示正态分布函数： Q函数定义： Q函数和erfc函数的关系

16、： Q函数和分布函数F(x)的关系： Q函数值也可以从查表得到。 2 /2 1 ( ) 2 t x Q xedt 22 1 )( x erfcxQ)2(2)(xQxerfc ax Q ax erfcxF1 22 1 1)( l上述特性是高斯过程特有的，一般随机过程无此特性。上述特性是高斯过程特有的，一般随机过程无此特性。 一般随机过程一般随机过程高斯过程高斯过程 若统计独立，则必不相关；若统计独立，则必不相关； 反之，则不然，即：若不相反之，则不然，即：若不相 关，则不一定统计独立。关，则不一定统计独立。 若不相关，则统计若不相关，则统计 独立。独立。 若狭义平稳，则必广义平稳；若狭义平稳，则

17、必广义平稳； 反之，则不然，即：若广义反之，则不然，即：若广义 平稳，则不一定狭义平稳。平稳，则不一定狭义平稳。 若广义平稳，则狭若广义平稳，则狭 义平稳。义平稳。 高斯过程与一般随机过程性能比较高斯过程与一般随机过程性能比较 dz az xpxF x 2 )( exp 2 1 )()( 2 2 2 1 )(zf z x 蓝线下面积为为蓝线下面积为为F(x)F(x) 红线下面积为红线下面积为Q Q函数函数 高斯分布函数的计算高斯分布函数的计算-查表法（附录查表法（附录B B）计算高斯过程的分布计算高斯过程的分布函数函数 ) 2 ( 2 1 2 1 ax erf x t dtexerf 0 22

18、 )( 误差函数：误差函数： 或：或： ) 2 ( 2 1 1 ax erfc 互补误差函数：互补误差函数： 21 )( x e x xerfc ax Q或：或： Q(x)Q(x)函数：函数： dteQ(x) x t 2/ 2 2 1 lZ(t)=XZ(t)=X1 1coswcosw0 0t tX X2 2sinwsinw0 0t t 是一随机过程。若是一随机过程。若X X1 1、X X2 2 是彼此独立且具有均值为是彼此独立且具有均值为0 0，方差为，方差为2 2的正态随机的正态随机 变量，求：变量，求： l EZ(t) EZ(t) 、 DZ(t)DZ(t) l Z(t) Z(t)的一维概率

19、密度函数的一维概率密度函数f(z)f(z) l Z(t) Z(t)的自相关函数的自相关函数R Rz z(t(t1 1、t t2 2) ) l 此随机过程是否广义平稳？此随机过程是否广义平稳？ l Z(t)Z(t)的平均功率的平均功率, ,直流功率直流功率, ,交流功率交流功率. . 例例3.2-2 3.2-2 lEZEZ2 2(t)(t)= E(X= E(X1 1coswcosw0 0t t X X2 2sinwsinw0 0t)t)2 2 l =cos =cos2 2w w0 0t EXt EX1 12 2 2cosw2cosw0 0tsinwtsinw0 0t EXt EX1 1X X2

20、2 sinsin2 2w w0 0t EXt EX2 22 2 l DX DX1 1= EX= EX1 12 2 E E2 2XX1 1 = = 2 2， E E2 2XX1 1 =0 =0 l EX EX1 12 2 = = 2 2 同理：同理： EXEX2 22 2 = = 2 2 l X X1 1、 X X2 2是彼此独立是彼此独立 lEXEX1 1X X2 2 = EX = EX1 1 EX EX2 2 =0 =0 l EZ EZ2 2(t)= cos(t)= cos2 2w w0 0t t 2 2 + sin + sin2 2w w0 0t t2 2 = = 2 2 lDZ(t)=

21、EZDZ(t)= EZ2 2(t)(t)E E2 2Z(t)Z(t) = = 2 2 EZ(t)EZ(t)=EX=EX1 1coswcosw0 0t tX X2 2sinwsinw0 0t =coswt =cosw0 0t tEXEX1 1 sinwsinw0 0t tEXEX2 2 （注意：对随机变量求均值）（注意：对随机变量求均值） 已知已知 EXEX1 1 = EX = EX2 2 =0 EZ(t) =0 =0 EZ(t) =0 （注意：（注意：cosw0tcosw0t是常数）是常数） l(5) EZ(t) =0, Z(t)(5) EZ(t) =0, Z(t)的直流功率的直流功率= E=

22、 E2 2Z(t)=0,Z(t)=0, l 交流功率交流功率= DZ(t) = = DZ(t) = 2 2 l 平均功率平均功率= =直流功率直流功率+ +交流功率交流功率=2 2 或 或: EZ: EZ2 2(t)= (t)= 2 2 Z(t)=X Z(t)=X1 1coswcosw0 0t tX X2 2sinwsinw0 0t t 是正态随机变量是正态随机变量X X1 1、 X X2 2的线性变的线性变 换，所以换，所以Z(t)Z(t)是正态随机过程，只要求出是正态随机过程，只要求出Z(t)Z(t)的均值和方差，的均值和方差， 带入正态分布的一维概率密度函数公式即得带入正态分布的一维概率

23、密度函数公式即得: : ) 2 exp( 2 1 ) 2 )( exp( 2 1 )( 2 2 2 2 zaz zf l(3) R z(t1、t2) = EZ(t1) Z(t2) l= E(X1cosw0t1 - X2sinw0t1)(X1cosw0t2 - X2sinw0t2) l = cosw0t1cosw0t2 EX12 - cosw0t1sinw0t2 EX1X2 l -sinw0t1cosw0t2 EX1X2 +sinw0t1sinw0t2 EX22 l = =2cosw0t1cosw0t2 + sinw0t1sinw0t2 l = = 2cosw0( t1-t2) = 2cosw0

24、 l a = EZ(t) = 0为常数，为常数， Rz(t1、t2) = Rz()是是的函的函 数数 l 此随机过程是广义平稳随机过程。此随机过程是广义平稳随机过程。 Z(t)=XZ(t)=X1 1coswcosw0 0t tX X2 2sinwsinw0 0t t EX1X2 = EX1 EX2 X1与与X2不相关不相关 典型随机过程典型随机过程 1. 1. 平稳随机过程平稳随机过程 2. 2. 高斯随机过程高斯随机过程 3.3.随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统 4. 4. 窄带随机过程窄带随机过程 随机过程通过线性系统的一些性质 仅讨论平稳过程通过线性时不变物理可实现系统的情况仅讨

25、论平稳过程通过线性时不变物理可实现系统的情况，针对确知，针对确知 信号。输入过程信号。输入过程 i i(t) (t) ，输出过程，输出过程o o(t)(t)的统计特性：的统计特性： 1、Eo(t) Eo(t)= Ei(t) H(0) = a H(0) 2、Ro(t1, t1+)= Ro() 若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平稳的。若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平稳的。 3 3、功率谱密度：、功率谱密度： )()()()()()( 2 0 wpwHwPwHwHwp ii 4. 4. 概率分布：概率分布：如果输入是高斯过程，则系统的输出也是高斯过程。如果输入是高斯过程

26、，则系统的输出也是高斯过程。 线性系统线性系统 H(w)H(w) i i(t)(t) o o(t)(t) 85 第第3章章 随机过程随机过程 l3.4 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统 n确知信号通过线性系统（复习） ： 式中 vi 输入信号， vo 输出信号 对应的傅里叶变换关系： n随机信号通过线性系统： u假设：i(t) 是平稳的输入随机过程， a 均值， Ri() 自相关函数， Pi() 功率谱密度； 求输出过程o(t)的统计特性，即它的均值、自相关函 数、功率谱以及概率分布。 dtvhtvthtv ii )()()()()( 0 )f ()f ()f ( 0i VHV

27、 dtht i )()()( 0 86 第第3章章 随机过程随机过程 u一、输出过程o(t)的均值 对下式两边取统计平均： 得到 设输入过程是平稳的 ，则有 （1） 式中，H(0)是线性系统在 f = 0处的频率响应，即直流增 益，因此输出过程的均值是一个常数。 dtht i )()()( 0 dtEhdthEtE ii )()()()()( 0 atEtE ii )()( )0()()( 0 HadhatE 87 第第3章章 随机过程随机过程 u二、输出过程o(t)的自相关函数：根据自相关函数的定义 根据输入过程的平稳性，有 于是 （2） 上式表明,输出过程的自相关函数仅是时间间隔 的函数。

28、 由上（1，2）两式可知，若线性系统的输入是平稳的，则 输出也是平稳的。 ddttEhh dthdthE ttEttR ii ii )()()()( )()()()( )()(),( 11 11 1010110 )()()( 11 iii RttE )()()()(),( 0110 RddRhhttR i 88 第第3章章 随机过程随机过程 u三、输出过程o(t)的功率谱密度 对下式进行傅里叶变换： 得出 令 = + - ，代入上式，得到 即 结论：输出过程的功率谱密度是输入过程的功率谱密度乘 以系统频率响应模值的平方。 应用：由Po( f )的反傅里叶变换求Ro() )()()()(),(

29、0110 RddRhhttR i deRfP j )()( 00 deddRhh j i )()()( 0 )()()()( deRdehdehfP j i jj )()()()()()( 2 0 fPfHfPfHfHfP ii 89 第第3章章 随机过程随机过程 u四、输出过程o(t)的概率分布 p如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过 程也是高斯型的。 因为从积分原理看， 可以表示为： 由于已假设i(t)是高斯型的，所以上式右端的每一项 在任一时刻上都是一个高斯随机变量。因此，输出过程 在任一时刻上得到的随机变量就是无限多个高斯随机变 量之和。由概率论理论得知，这个“和” 也是高

30、斯随机 变量，因而输出过程也为高斯过程。 注意，与输入高斯过程相比，输出过程的数字特征已经改变 了。 kkk k i htt k )()(lim)( 0 0 0 dtht i )()()( 0 90 第第3章章 随机过程随机过程 l3.5 窄带随机过程窄带随机过程 n什么是窄带随机过程？ 若随机过程(t)的谱密度集中在中心频率 fc附近相对窄的频带范围f 内，即满足f fc 的条件，且 fc 远离零频率，则称该(t)为窄带 随机过程。 窄带随机过程的定义 所谓“窄带”系统，是指其频谱被限制在载波或某中心频率附 近一个窄的频带上，而这个中心频率又远离零频率。 例如随机过程通过以例如随机过程通过以

31、fcfc为中心频率的为中心频率的带通滤波器带通滤波器后，即是窄带过程。实际后，即是窄带过程。实际 中，大多数通信系统都是窄带型的，信号和噪声都满足中，大多数通信系统都是窄带型的，信号和噪声都满足“窄带窄带”的假设。的假设。 通带宽度通带宽度ffcffc，且，且f fc c远离零远离零 频率频率 窄带过程的频谱和波形示意 fcO S( f ) ff fc f (a) t O S( f ) 缓慢变化的包络a(t) 频率近似为 fc (b) t 用示波器观察一个实现的用示波器观察一个实现的 波形，它是一个频率近似波形，它是一个频率近似 为为fcfc，包络和相位随机缓，包络和相位随机缓 变的正弦波。变

32、的正弦波。 ffcffc， 且且f fc c远离远离 零频率零频率 93 第第3章章 随机过程随机过程 n窄带随机过程的一个样本波形如同一个包络和 相位随机缓变的正弦波 n窄带随机过程的表示式 式中，a (t) 随机包络， (t) 随机相位 c 中心角频率 显然， a (t)和 (t)的变化相对于载波cos ct的变化 要缓慢得多。 0)(,)(cos)()(tatttat c 94 第第3章章 随机过程随机过程 n窄带随机过程表示式展开 可以展开为 式中 (t)的同相分量 (t)的正交分量 可以看出： (t)的统计特性由a (t)和 (t)或c(t)和s(t)的统计特性确定。 若(t)的统计

33、特性已知，则a (t)和 (t)或c(t)和s(t)的统计特 性也随之确定。 0)(,)(cos)()(tatttat c ttttt cscc sin)(cos)()( )(cos)()(ttat c )(sin)()(ttat s 同相和正交分量的统计特性同相和正交分量的统计特性 它的同相分量它的同相分量c(t)c(t)和正交分量和正交分量s(t)s(t)也是平稳高斯过程，也是平稳高斯过程， 而且均值都为零，方差也相同。而且均值都为零，方差也相同。 在同一时刻上得到的在同一时刻上得到的c(t)c(t)和和s(t)s(t)是互不相关的或统计独是互不相关的或统计独 立的。立的。 u前提条件：针

34、对一个均值为零的窄带平稳高斯过程前提条件：针对一个均值为零的窄带平稳高斯过程(t)(t)； u结论：结论： 包络和相位的统计特性包络和相位的统计特性 包络包络a a (t) (t)的一维分布是瑞利分布：的一维分布是瑞利分布： 相位相位 (t) (t)的一维分布是在（的一维分布是在（0 0，22）内均匀分布；）内均匀分布； 就一维分布而言，就一维分布而言，a a (t) (t)与与 (t) (t)是统计独立的，即：是统计独立的，即： u前提条件：针对一个均值为零，方差为前提条件：针对一个均值为零，方差为2 2 的窄带平稳高斯过程 的窄带平稳高斯过程(t) (t) u结论：结论： f(a f(a

35、, , )=f(a )=f(a ) )f( f( ) ) 0, 2 exp)( 2 2 2 a aa af 97 第第3章章 随机过程随机过程 n3.5.1 c(t)和s(t)的统计特性 p数学期望：对下式求数学期望： 得到 因为(t)平稳且均值为零，故对于任意的时间t，都有 E(t) = 0 ，所以 ttttt cscc sin)(cos)()( ttEttEt cscc sin)(cos)()(E 0)(0)(tEtE sc ， 98 第第3章章 随机过程随机过程 p(t)的自相关函数：由自相关函数的定义式 式中 因为(t)是平稳的，故有 这就要求上式的右端与时间t无关，而仅与有关。 因此

36、，若令 t = 0，上式仍应成立，它变为 )()(),( ttEttR )(sinsin),( )(cossin),( )(sincos),( )(coscos),( ttttR ttttR ttttR ttttR ccs ccsc cccs ccc )()(),( )()(),( )()(),( )()(),( ttEttR ttEttR ttEttR ttEttR sss cssc sccs ccc )(),( RttR ccscc ttRttRRsin),(cos),()( 99 第第3章章 随机过程随机过程 因与时间t无关，以下二式自然成立 所以，上式变为 再令 t = /2c，同理可

37、以求得 由以上分析可知，若窄带过程(t)是平稳的，则c(t)和s(t) 也必然是平稳的。 ccscc ttRttRRsin),(cos),()( )(),( )(),( cscs cc RttR RttR ccscc RRRsin)(cos)()( csccs RRRsin)(cos)()( 100 第第3章章 随机过程随机过程 p进一步分析，下两式 应同时成立，故有 上式表明，同相分量c(t) 和正交分量s(t)具有相同的自相关函数。 根据互相关函数的性质，应有 代入上式，得到 上式表明Rsc()是 的奇函数，所以 同理可证 ccscc RRRsin)(cos)()( csccs RRRsi

38、n)(cos)()( )()( sc RR)()( sccs RR )()( sccs RR )()( scsc RR 0)0( sc R 0)0( cs R 101 第第3章章 随机过程随机过程 将 代入下两式 得到 即 上式表明(t) 、 c(t)和s(t)具有相同的平均功 率或方差。 csccs RRRsin)(cos)()( ccscc RRRsin)(cos)()( 0)0( sc R0)0( cs R )0()0()0( sc RRR 222 sc 102 第第3章章 随机过程随机过程 p根据平稳性，过程的特性与变量t无关，故由式 得到 因为(t)是高斯过程，所以， c(t1)，

39、s(t2)一定是高斯随机 变量，从而c(t) 、 s(t)也是高斯过程。 p根据 可知， c(t) 与s(t)在 = 0处互不相关，又由于它们是高斯 型的，因此c(t) 与s(t)也是统计独立的。 ttttt cscc sin)(cos)()( )()(,0 111 tttt c 时 )()(, 2 222 tttt s c 时 0)0( cs R 103 第第3章章 随机过程随机过程 u结论结论：一个均值为零的窄带平稳高斯过程(t) ，它的同 相分量c(t)和正交分量s(t)同样是平稳高斯过程，而且 均值为零，方差也相同。此外，在同一时刻上得到的c 和s是互不相关的或统计独立的。 104 第

40、第3章章 随机过程随机过程 n3.5.2 a(t)和(t)的统计特性 u联合概率密度函数 f (a , ) 根据概率论知识有 由 可以求得 ),( )( ),(),( , a faf sc sc sin cos a a s c ),( )( , a sc sc sc aa a aa cossin sincos 2 exp 2 1 )()(),( 2 22 2 sc scsc fff 105 第第3章章 随机过程随机过程 于是有 式中 a 0, = (0 2) 2 )sin()cos( exp 2 ),(),( 22 2 aaa faaf sc 2 2 2 2 exp 2 aa 106 第第3章

41、章 随机过程随机过程 ua的一维概率密度函数 可见， a服从瑞利(Rayleigh)分布。 2 0 2 2 2 2 exp 2 ),()(d aa dafaf 0 2 exp 2 2 2 a aa 107 第第3章章 随机过程随机过程 u的一维概率密度函数 可见， 服从均匀分布。 20 2 1 2 exp 2 1 ),()( 0 2 2 2 0 da aa daaff 108 第第3章章 随机过程随机过程 u结论 一个均值为零，方差为2的窄带平稳高斯过程(t)，其 包络a(t)的一维分布是瑞利分布，相位(t)的一维分布 是均匀分布，并且就一维分布而言， a(t)与(t)是统计 独立的 ，即有

42、(,)()()f af af 第第3章章 随机过程随机过程 l3.6 正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声 l通信系统中为了减少噪声，在解调器（接 收机）前加一个带通滤波器，以滤除信号 频带以外的噪声。这时带通滤波器的输出 就是正弦波已调信号与窄带高斯噪声的混 合波形。 109 正弦波加窄带高斯噪声 接收机前端带通滤波器的输出是信号与窄带噪声的混合波形。通信系统中最常接收机前端带通滤波器的输出是信号与窄带噪声的混合波形。通信系统中最常 见的是正弦波加窄带高斯噪声的合成波：见的是正弦波加窄带高斯噪声的合成波： r(t)=A cos(ct+)+n(t) 信号部分信号部分 正弦波加窄带高斯过程的

43、正弦波加窄带高斯过程的包络包络概率密度函数为概率密度函数为广义瑞利分布广义瑞利分布，也称，也称莱斯分布莱斯分布。 0),()( 2 1 exp)( 2 0 22 22 z Az IAz z zf nnn 噪声部分噪声部分n(t)=nc(t) cosct-ns(t) sinct 小信噪比时，合成波的包络接近于瑞利分布，相位接近于均匀分小信噪比时，合成波的包络接近于瑞利分布，相位接近于均匀分 布；大信噪比时，包络接近于高斯分布，相位集中在有用信号相布；大信噪比时，包络接近于高斯分布，相位集中在有用信号相 位附近。位附近。 正弦波加窄带高斯过程的包络与相位分布 n f (z) 0.5 0.4 0.3

44、 0.2 0.1 r 0 nAz (a) 0 r 0 f () (b) 0 r 1 r 1 (瑞利分布瑞利分布) (高斯分布高斯分布) 112 第第3章章 随机过程随机过程 l3.6 正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声 n正弦波加窄带高斯噪声的表示式 式中 窄带高斯噪声 正弦波的随机相位，均匀分布在0 2间 A和c 确知振幅和角频率 于是有 式中 )()cos()(tntAtr c ttnttntn cscc sin)(cos)()( )(cos)( sin)(cos)( sin)(sincos)(cos)( tttz ttzttz ttnAttnAtr c cScc cscc )(co

45、s)(tnAtz cc )(sin)(tnAtz ss 113 第第3章章 随机过程随机过程 n正弦波加窄带高斯噪声的包络和相位表示式 包络： 相位： 0,)()()( 22 ztztztz sc )20(, )( )( )( 1 tz tz tgt c s 114 第第3章章 随机过程随机过程 n正弦波加窄带高斯噪声的包络的统计特性 u包络的概率密度函数 f (z) 利用上一节的结果，如果值已给定，则zc、zs是相互独 立的高斯随机变量，且有 所以，在给定相位 的条件下的zc和zs的联合概率密度函 数为 222 sin cos nsc s c AzE AzE 22 22 )sin()cos(

46、 2 1 exp 2 1 )/,( AzAzzzf sc nn sc 115 第第3章章 随机过程随机过程 利用与上一节分析a和相似的方法，根据zc，zs与z，之间 的随机变量关系 可以求得在给定相位 的条件下的z与的联合概率密度函数 然后求给定条件下的边际分布， 即 sin cos zz zz s c )/,()/,( sc zzfzf )( )( z, zz sc, )/,( sc zzfz )cos(2 2 1 exp 2 22 22 AzAz z nn d AzAzz dzfzf nnn )cos(exp 2 exp 2 )/,()/( 2 2 0 2 22 2 2 0 116 第第3

47、章章 随机过程随机过程 由于 故有 式中 I0(x) 第一类零阶修正贝塞尔函数 因此 由上式可见，f (, z)与无关，故的包络z的概率密度函数为 称为广义瑞利分布，又称莱斯（Rice）分布。 )(cosexp 2 1 0 2 0 xIdx 2 0 2 2 0 )cos(exp 2 1 nn Az Id Az 2 0 22 22 )( 2 1 exp)/( nnn Az IAz z zf 0)( 2 1 exp)( 2 0 22 22 z Az IAz z zf nnn 117 第第3章章 随机过程随机过程 u讨论 p1. 当信号很小时，即A 0时，上式中(Az/n2)很小， I0 (Az/n

48、2) 1，上式的莱斯分布退化为瑞利分布。 信号与噪声的功率比：信噪比 p2. 当(Az/n2)很大时，有 这时上式近似为高斯分布，即 0)( 2 1 exp)( 2 0 22 22 z Az IAz z zf nnn x e xI x 2 )( 0 2 2 2 )( exp 2 1 )( nn Az zf 2 2 2 n A r 118 第第3章章 随机过程随机过程 p包络概率密度函数 f (z)曲线 信噪比小时：瑞利分布 信噪比大时：高斯分布 119 第第3章章 随机过程随机过程 n正弦波加窄带高斯噪声的相位的统计特性 F() 通信过程中的噪声 l高斯噪声：幅度值的概率分布服从高斯分布。高斯

49、噪声：幅度值的概率分布服从高斯分布。 l白噪声：功率谱密度在频域内服从均匀分布白噪声：功率谱密度在频域内服从均匀分布 l高斯白噪声：高斯噪声的功率谱密度在频域内服高斯白噪声：高斯噪声的功率谱密度在频域内服 从均匀分布。从均匀分布。 l通常假定通信系统中噪声为高斯白噪声，便于分通常假定通信系统中噪声为高斯白噪声，便于分 析和运算，另一方面，真实代表噪声信道噪声的析和运算，另一方面，真实代表噪声信道噪声的 特性。特性。 l窄带高斯噪声：当高斯白噪声通过中心频率为窄带高斯噪声：当高斯白噪声通过中心频率为fc 的窄带系统时，就形成窄带高斯噪声。的窄带系统时，就形成窄带高斯噪声。 l窄带系统：通频带宽度

50、远小于通带中心频率。大窄带系统：通频带宽度远小于通带中心频率。大 多数通信信道实际是窄带系统。多数通信信道实际是窄带系统。 120 121 第第3章章 随机过程随机过程 l3.7 高斯白噪声和带限白噪声高斯白噪声和带限白噪声 n白噪声n (t) u定义：功率谱密度在所有频率上均为常数的噪声， 即 双边功率谱密度 或 单边功率谱密度 式中 n0 正常数 u白噪声的自相关函数：对双边功率谱密度取傅里叶 反变换，得到相关函数： 2 )( 0 n fP n )(f 0 )(nfPn)(0 f )( 2 )( 0 n R 白噪声功率谱密度在整个频率范围内均匀分布，是一个理想的宽带随机白噪声功率谱密度在整

51、个频率范围内均匀分布，是一个理想的宽带随机 过程。即双边功率谱密度为过程。即双边功率谱密度为n n0 0/2/2：（单边的是：（单边的是n n0 0, ,实际的噪声实际的噪声) ) 2 0 n R()=R()= )( 2 0 n P()= )( 2 0 n 0 0 2 0 n 0 0 f 白噪声白噪声 说明说明白噪声在任意两个时刻上的随机变量都是互不相关的。白噪声在任意两个时刻上的随机变量都是互不相关的。 只在只在=0时才相时才相 关关 0， R()=0 n n0 0为常数，单位：为常数，单位：w/Hz(w/Hz(瓦瓦/ /赫兹赫兹) ) 理想化的白噪声在实际中是不存在的，但是，如果噪声的功率

52、谱的频率范围远远大理想化的白噪声在实际中是不存在的，但是，如果噪声的功率谱的频率范围远远大 于通信系统的工作频带，可以视为白噪声。在通信系统中，一般把信道噪声近似为于通信系统的工作频带，可以视为白噪声。在通信系统中，一般把信道噪声近似为 白噪声。白噪声。 123 第第3章章 随机过程随机过程 u白噪声的功率 由于白噪声的带宽无限，其平均功率为无穷大，即 或 p因此，真正“白”的噪声是不存在的，它只是构造的一 种理想化的噪声形式。 p实际中，只要噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大 于通信系统的工作频带，我们就可以把它视为白噪声。 p如果白噪声取值的概率分布服从高斯分布，则称之为高 斯白噪声。

53、p高斯白噪声在任意两个不同时刻上的随机变量之间，不 仅是互不相关的，而且还是统计独立的。 f 2 n )0( 0 dR )0( 2 )0( 0 n R 124 第第3章章 随机过程随机过程 n低通白噪声低通白噪声 u定义：如果白噪声通过理想矩形的低通滤波器或理想 低通信道，则输出的噪声称为低通白噪声。 u功率谱密度 p由上式可见，白噪声的功率谱密度被限制在| f | fH内， 通常把这样的噪声也称为带限白噪声。 u自相关函数 其它0 2 )( 0 H n ff n fP H H H f f fnR 2 2sin )( 0 125 第第3章章 随机过程随机过程 u功率谱密度和自相关函数曲线 p由

54、曲线看出，这种带限白噪声只有在 上得到的随机变量才不相关。 ), 3 , 2 , 1(2/kfk H 如果白噪声被限制在如果白噪声被限制在(-f(-fH H,f,fH H) )之内，则称为带限白噪声之内，则称为带限白噪声。 l例如：功率谱密度为例如：功率谱密度为n n0 0/2/2的白噪声的白噪声n ni i(t)(t)通过截止频通过截止频 率为率为f fH H的理想低通滤波器后，即成为带限白噪声。的理想低通滤波器后，即成为带限白噪声。 带限白噪声的定义带限白噪声的定义 求带限白噪声的功率谱密度、自相关函数和噪声平均功率。求带限白噪声的功率谱密度、自相关函数和噪声平均功率。 H nK i wwwHwpwp 2 0 | ,)()()( 2 2 nn0 0 输出噪声的功率谱密度输出噪声的功率谱密度在在|H H内是均匀的内是均匀的， 在此范围外为在此范围外为 零。其自相关函数为零。其自相关函数为 )(F)( 0n 1 0n wPR H H H w w fnk sin 0 2 0 H nK i wwwHwpwp 2 0 | ,)()()( 2 2 nn0 0 t)(wSf(t) Ha w H = k /2f= k /2fH H时过零点时过零点 对带限白噪声按抽样定理抽样，各抽样值是互不相关的随机变量对带限白噪声按抽样定理抽样，各抽样值是互不相关的随机变量 lPi(w)