同济第三版-高数-(16) 第六节 极限存在准则,两个重要极限同济第三版-高数-

1、 极限运算的各种法则是通过一些简单的函数极限去极限运算的各种法则是通过一些简单的函数极限去 计算复杂的计算复杂的函数函数极限，对于那些最简单的函数极限则不极限，对于那些最简单的函数极限则不 能根据极限运算规则进行计算，而必须直接计算。能根据极限运算规则进行计算，而必须直接计算。 计算极限需先确定给定极限计算极限需先确定给定极限是否存在，但判别所论是否存在，但判别所论 极限的存在性常常是困难的。极限的存在性常常是困难的。 夹逼准则既提供了一种通夹逼准则既提供了一种通 过相关函数极限判别所论函数过相关函数极限判别所论函数 极限存在的方法，同时它也是极限存在的方法，同时它也是 计算极限的一种方法。计

2、算极限的一种方法。 设在自变量的一定趋下向有设在自变量的一定趋下向有 g( x ) f( x ) h( x )， 且且 lim g( x )= A = lim h( x )， 则则 lim f( x )存在，且有存在，且有 lim f( x )= A . 由于涉及微积分公理体系，对夹逼准则不作证明，由于涉及微积分公理体系，对夹逼准则不作证明， 仅给予几何说明。仅给予几何说明。 如果数列如果数列 x n 、 y n 、 z n 满足下列条件满足下列条件 y n x n z n ； 则数列则数列 x n 极限存在，且极限存在，且 limlimn n nn yza , limn n xa . . x

3、 n 、 y n 、 z n y n x n z n； 如果函数如果函数 f( x )、 g( x )、 h( x )满足下列条件满足下列条件 g( x ) f( x ) h( x )； 则函数极限则函数极限 存在，且存在，且 00 limlim xxxx ghA xx , 0 lim xx fA x . . 0 lim xx f x O y yf x x 0 x yh x yg x A 准则准则1 1的条件的条件仅是局部性要求，其间三函数的仅是局部性要求，其间三函数的 不等式关系不等式关系 g( x ) f( x ) h( x )并不要求对一切并不要求对一切 x 都成都成 立，而只需在点立，

4、而只需在点 x 0 的某个邻域内成立即可，即只要的某个邻域内成立即可，即只要 求存在求存在 0 ，使得当，使得当x U( x 0 , , ) 时此不等式成立。时此不等式成立。 如果函数如果函数 f( x )、 g( x )、 h( x )满足下列条件满足下列条件 g( x ) f( x ) h( x ) ； 则函数极限则函数极限 存在，且存在，且 limlim xx ghA xx , lim x fA x . . lim x f x O y yf x x yh x yg x A N 准则准则1 1 的条件的条件仅是局部性要求，其间三函数的仅是局部性要求，其间三函数的 不等式关系不等式关系 g(

5、 x ) f( x ) h( x )并不要求对一切并不要求对一切 x 都都 成立，而只需在当成立，而只需在当| x|足够足够大以后成立，即只要求存大以后成立，即只要求存 在在 X 0 ，使得当，使得当| x| X时此不等式成立。时此不等式成立。 夹逼准则是利用已知极限存在的函数夹逼准则是利用已知极限存在的函数 g( x )、h( x ) 判别和确定所论函数判别和确定所论函数 f( x )极限的存在性并求其极限。极限的存在性并求其极限。 这种已知极限存在的函数这种已知极限存在的函数 g( x )、h( x )称为优势函数。称为优势函数。 对具体问题而言，所论函数对具体问题而言，所论函数 f( x

6、 )是给定的，而优是给定的，而优 势函数势函数 g( x )、h( x )通常却是未知的，需要根据问题的通常却是未知的，需要根据问题的 具体情况去观察和构造。具体情况去观察和构造。 构造优势函数通常采用构造优势函数通常采用“缩缩 放法放法”，即通过对给定函数，即通过对给定函数 f( x ) 作适当放大或缩小，以构造出所作适当放大或缩小，以构造出所 需的优势函数需的优势函数 g( x )、h( x ) 例例：求函数极限：求函数极限 由于函数由于函数 y = cos x 仅是个形式仅是个形式 表达式，不具有运算意义，故无法直接表达式，不具有运算意义，故无法直接 计算其极限。计算其极限。 由几何直观

7、容易看出，当由几何直观容易看出，当 x 0 时时 有有 cos x 1，因此可考虑设法证明这因此可考虑设法证明这 一结果，即证明一结果，即证明 1 - - cos x 0 . . 函数函数 1 - - cos x 的形式虽很简单，但其极限仍无法直的形式虽很简单，但其极限仍无法直 接计算，为此考虑通过缩放法构造接计算，为此考虑通过缩放法构造优势函数，并利用夹优势函数，并利用夹 逼准则确定其极限。逼准则确定其极限。 0 limcos. x x 记：记：f( x )= 1 - - cos x，则当，则当 0 | | x | | / /2 时有时有 由此可选取优势函数由此可选取优势函数 g( x )=

8、 0 ，h( x )= 于是由夹逼准则有于是由夹逼准则有 即求得即求得 2 22 1 01cos2sin2 222 xx fxx x . 2 1 2 x . 2 0000 1 limlim00limlim0 2xxxx gh xx x , ,由由于于, 00 limlim0 1 cos xx f xx , 0 lim cos1 . x x 例例：求极限：求极限 这是个无穷和的极限，由于此难以将其化为有这是个无穷和的极限，由于此难以将其化为有 限形式计算，故考虑通过缩放法构造优势数列求极限。限形式计算，故考虑通过缩放法构造优势数列求极限。 由观察可得不等式由观察可得不等式 由于由于 故有夹逼准则

9、有故有夹逼准则有 222 111 lim. 12 n nnnn 22222 111 121 nnnn nn nnn , , 22 limlim1 1 nn nn nnn , 222 111 lim1 . 12 n nnnn 该极限是该极限是“0/ /0”型不定式，型不定式，由于其分子、分母不由于其分子、分母不 是同类函数，不能分离出公共无穷小，且函数是同类函数，不能分离出公共无穷小，且函数 sin x 仅仅 是形式表达式，不具有运算意义，是形式表达式，不具有运算意义， 故此极限形式虽然简单，却不能故此极限形式虽然简单，却不能 用已知的极限计算法求之。用已知的极限计算法求之。 为此考虑通过单位圆

10、中函为此考虑通过单位圆中函 数数 sin x 的几何意义对此极限作的几何意义对此极限作 直观分析，以寻求计算的方法。直观分析，以寻求计算的方法。 0 sin lim1 x x x 作单位圆作单位圆 O、圆心角、圆心角COB 及辅助线及辅助线 为讨论方便，不妨设为讨论方便，不妨设 由几何直观有由几何直观有 三角形三角形OBC面积面积 圆扇形圆扇形OBC 面积面积 三角形三角形OBD面积面积 ACBD . ., 0. 2 x y OxAB D 1 C x 直接计算有直接计算有 三角形三角形OBC 的面积的面积 OBC 的面积的面积 三角形三角形OBD 的面积的面积 由此得到不等式由此得到不等式 即

11、有即有 sin x x tan x . . 11 sin 22 OBACx, 111 222 OBBCOB OB xx, , 11 tan. 22 OBBDx y OxAB D 1 C x 111 sintan 222 xxx. 由于当由于当 0 x 0 ，故由上不等式有，故由上不等式有 此不等式是偶函数不等式，故当此不等式是偶函数不等式，故当 - - / /2 x / /2 时时 不等式也成立。不等式也成立。 故由夹逼准则知故由夹逼准则知 该重要极限的几何意义该重要极限的几何意义 是弧度制下圆心角是弧度制下圆心角OCC 所所 对弧对弧 CC 的的长长 2 x 与弦与弦 CAC 的的长长 2s

12、in x 之比的极限之比的极限。 1 1 sincos x xx sin 1cos x x x , 0000 limlimcos1limlim11 xxxx gxh x x 由由于于 , 0 sin lim1. x x x 2x x y O A 1 C 2x C 由于基本不等式由于基本不等式 sin x x tan x 是通过面积关系是通过面积关系 建立建立的，而圆扇形面积计算是在弧度制下导出的，故此的，而圆扇形面积计算是在弧度制下导出的，故此 极限结果是基于弧度制的。极限结果是基于弧度制的。 若不采用弧度制，而采用若不采用弧度制，而采用 度分秒制，此极限结果将不具度分秒制，此极限结果将不具

13、有如此简单的形式。有如此简单的形式。 极限极限 建立了三角函数与幂函数构成建立了三角函数与幂函数构成 的函数的的函数的“0/ /0”不定式极限的基本关系式，在遇到这不定式极限的基本关系式，在遇到这 类不定式极限问题时，可考虑利用此结果进行计算。类不定式极限问题时，可考虑利用此结果进行计算。 具体应用时，通常是将所论的不定式通过变形或代具体应用时，通常是将所论的不定式通过变形或代 换将其转化为此类不定式的标准换将其转化为此类不定式的标准 形式，再利用此极限求得结果。形式，再利用此极限求得结果。 因此，用此重要极限求给定因此，用此重要极限求给定 不定式极限关键是变形和转化。不定式极限关键是变形和转

14、化。 0 sin lim1 例例：求极限：求极限 这是这是由三角函数构成的由三角函数构成的“0/ /0”型的不定式极型的不定式极 限的计算问题。容易想到利用重要极限限的计算问题。容易想到利用重要极限 进行计算。为应用此重要极限需先将给定极限凑成重要进行计算。为应用此重要极限需先将给定极限凑成重要 极限的标准形式。极限的标准形式。 因为因为 、 0，故有故有 0 sin lim00 . sin x x x , , , , 00 sinsin limlim. sinsinxx xxxx xxxx 0 sin lim1 例例：求极限：求极限 这是这是由三角函数与幂函数构成的由三角函数与幂函数构成的“

15、0/ /0”型的型的 不定式计算问题。容易想到利用重要极限不定式计算问题。容易想到利用重要极限 计算。为此需先将给定极限凑成重要极限的标准形式。计算。为此需先将给定极限凑成重要极限的标准形式。 2 0 coscos3 lim. x xx x 22 00 coscos3sinsin2 lim2lim xx xxxx xx 0 sin lim1 0 sinsin2 4lim4 . 2x xx xx 例例：求极限：求极限 这是这是由三角函数与幂函数构成的由三角函数与幂函数构成的“0 ”型不型不 定式。由于这样的不定式不便直接计算，因此考虑先将定式。由于这样的不定式不便直接计算，因此考虑先将 其转化为

16、其转化为“ “0/ /0”型不定式，再选择适当方法进行计算。型不定式，再选择适当方法进行计算。 作代换作代换 1- - x = t，即，即 x = 1- - t，则当，则当 x 1 时，时，t 0 . 1 lim 1tan. 2 x x x 100 lim 1tanlim tanlim cot 2222xtt xtt xtt 0 0 00 22 2 limlim. tantan 22 tt t t tt 例例：求极限：求极限 这是这是由三角函数构成的由三角函数构成的“0/ /0”型不定式。易想到型不定式。易想到 利用重要极限计算。为此先将其凑成标准形式。利用重要极限计算。为此先将其凑成标准形式

17、。 3 12cos lim. sin 3 x x x 作代换作代换 ，则当，则当 时，时，t 0 . 于是于是 3 xt 3 x 0 3 12cos 12cos3 limlim sin sin 3 t x t x t x 0 12coscos2sinsin 33 lim sint tt t 0 12coscos2sinsin 33 lim sint tt t 2 00 2sin 1cos 2 lim33lim sin 2sincos 22 tt t t ttt 0 sin 2 3lim3 . cos 2 t t t 0 1cos3 sin lim sint tt t 沿固定方向行进的物体遇到障

18、碍物就会停下来，这沿固定方向行进的物体遇到障碍物就会停下来，这 是日常生活常识。将其抽象为一般的数学命题就是数列是日常生活常识。将其抽象为一般的数学命题就是数列 收敛的单调有界准则。收敛的单调有界准则。 数列的单调性分单调增加和数列的单调性分单调增加和 单调减小两种情形，按数列变化单调减小两种情形，按数列变化 的单调性的不同，数列的单调有的单调性的不同，数列的单调有 界准则可表为两种具体形式。界准则可表为两种具体形式。 若数列若数列 x n 满足满足 x 1 x 2 x n x n+1，且存在且存在 K1，使得对一切，使得对一切 x n 有有 x n x 2 x n x n+1，且存在且存在

19、K 2，使得对一切，使得对一切 x n 有有 x n K 2，则数列，则数列 x n 收敛。收敛。 x 1x2x3x nx1nx x 1x2x3x nx1nx 1K 2K 微积分是近代数学的源头，其基本理论的建微积分是近代数学的源头，其基本理论的建立最初立最初 主要是源于解决实际问题，但后来的发展显出了其基础主要是源于解决实际问题，但后来的发展显出了其基础 理论的不足。经过十九世纪的公理化浪潮后，人们建立理论的不足。经过十九世纪的公理化浪潮后，人们建立 了基于公理体系的微积分理论。这套公理体系由了基于公理体系的微积分理论。这套公理体系由七条等七条等 价公理构成，数列的单调有界准价公理构成，数列

20、的单调有界准 则就是这七条等则就是这七条等价公理之一价公理之一。 单调有界准则是不能独立证单调有界准则是不能独立证 明的，明的，而只能在承认而只能在承认七条等七条等价公价公 理之一后由其它公理等价导出。理之一后由其它公理等价导出。 nx 单调有界准则给出了一种判别数列收敛性的方法单调有界准则给出了一种判别数列收敛性的方法， 对于由递归式定义的数列，这一方法常是行之有效的。对于由递归式定义的数列，这一方法常是行之有效的。 此外，数列的单调有界性准则进一步揭示了数列的此外，数列的单调有界性准则进一步揭示了数列的 三类基本性质，有界性、单调性和收敛性之间的联系。三类基本性质，有界性、单调性和收敛性之

21、间的联系。 单调有界准则不仅建立了一种判别数列收敛方法，单调有界准则不仅建立了一种判别数列收敛方法， 实际也给出了计算数列极限的途径。因为确定了数列的实际也给出了计算数列极限的途径。因为确定了数列的 收敛性，便可应用极限的各种运算法则求其极限。收敛性，便可应用极限的各种运算法则求其极限。 例例：设：设 因为因为 ，故这是，故这是 个递归式数列求极限问题。个递归式数列求极限问题。 由于此递归式数列给出了相邻项由于此递归式数列给出了相邻项 x n 和和 x n+1 间的关系，故可考虑采用单调有间的关系，故可考虑采用单调有 界准则确定其极限。界准则确定其极限。 1 2 3 lim. 1 3 521

22、nn n n xx n : : , ,求求 1 1 21 nn n xx n 观察易见，该观察易见，该数列各项非负，即对一切数列各项非负，即对一切 n 有有 因此给定数列有下界。因此给定数列有下界。 因为因为 ，所以该数列单调减。，所以该数列单调减。 由单调有界准则，该数列极限存在。由单调有界准则，该数列极限存在。 1 2 0 . 1 321 n n x n 11 1 21 n n xn xn 设设 ，在，在 两边取极限有两边取极限有 lim n n xa 1 1 21 nn n xx n 1 1 limlimlim 21 nn nnn n xx n 1 2 aa 0.a 故求得故求得 1 2

23、 3 limlim0 . 1 3 521 n nn n x n 判别数列是否单调有界；判别数列是否单调有界； 若是，设所求极限为若是，设所求极限为 l ，并通过在，并通过在 x n 与与 x n+1的关系的关系 式两边取极限建立关于式两边取极限建立关于 l 的方程；的方程； 解方程求出解方程求出 l 并确定并确定数列唯一的极限值。数列唯一的极限值。 连续复利问题连续复利问题 某人以本金某人以本金 A 元存入银行，设元存入银行，设年利率为年利率为 r，则一，则一年年 后资金总额为后资金总额为 A + A r = A( 1+ r )(元元)。 若以年为单位连续计算复利，则若以年为单位连续计算复利，

24、则 t 年后资金总额为年后资金总额为 A( 1+ r )t( 元元 )； 若以月为单位连续计算复利，若以月为单位连续计算复利， 则则 t 年后资金总额为年后资金总额为 12 1. 12 t r A元元 1 lim 1e x xx 让连续计算复利次数让连续计算复利次数 n ，则，则 t 年后资金总额为年后资金总额为 由于由于A、 r 仅是参数，储蓄投资效益实际取决于函数仅是参数，储蓄投资效益实际取决于函数 及相应的极限及相应的极限 由此产生了一类新的函数形式由此产生了一类新的函数形式幂指函数，它既不幂指函数，它既不 同于幂函数，也不同于指数函数，其一般形式可写为同于幂函数，也不同于指数函数，其一

25、般形式可写为 lim1lim1. rt n nt r nn rr AA nn 元元 11 111. n nx n xr rr nxn 或或 11 lim 1lim 1. nx nxnx , , 0 v x yuu xx , , 先考察数列先考察数列 的极限的极限 1 1 n nx n 0 11 1 nkn k nn k xC nn 23 111211 1 1!2!3! nn nn nn nnn 1211 ! n n nnnn nn 11112 11111 2!3!nnn = 1121 111 ! n nnnn . 1 1 1 1 0 11 1 11 nk n k n n k xC nn 111

26、12 11111 2!13!11nnn = 1121 111 !111 n nnnn 112 111 1111 ! n nnnn . .+ 11112 1 1111 2!3! nx nnn 1121 111 ! n nnnn . 直接比较知直接比较知 x n+1 x n，即数列，即数列 单调增。单调增。 1 1 n nx n 11112 1 1111 2!3! nx nnn 1121 111 ! n nnnn . 2 11111 1111 2!2 22 n n 1 1 1 1 2 1123 1 2 1 2 n n . 由于由于 x n 单调增且有上界，故极限存在。单调增且有上界，故极限存在。

27、设其极限为设其极限为 e ，即有，即有 1 lim 1e. n nn 考察函数极限考察函数极限 1 lim1. x xx + + 考虑通过取整函数将其化为正整数取极限的情形。考虑通过取整函数将其化为正整数取极限的情形。 对对 x 1 有有 x x x + 1，即，即 111 1x xx ，于于是是 111 111 1x xx , , 1 111 111 1 xxx x xx . . 由于当由于当 x + 时，时， x + ，故有，故有 由夹逼准则求得由夹逼准则求得 11 111 lim 1lim 11e 111 xx xxx xx , , 1 111 lim 1lim 11e. 1 xx xx

28、 xxx 1 lim 1e x xx . . C. P. U. Math. Dept. 杨访杨访 考察函数极限考察函数极限 1 lim1. x xx - - 令令 x = - - t，则，则当当 x - 时，时，t + ，于是有，于是有 综上讨论知，对综上讨论知，对 x 为一切实数有为一切实数有 111 lim1lim 1lim xtt xtt t xtt 1 lim 1e x xx 1111 limlimlim 1 11 ttt ttt tt ttt 1 11 lim 11e . 11 t ttt 极限极限 是幂指函数极限的基本形式，是幂指函数极限的基本形式， 各类幂指函数极限实际都是化为这一基本极限计算。各类幂指函数极限实际都是化为这一基本极限计算。 e = 2.71828 是个特殊无理数，它有许多奇妙性是个特殊无理数，它有许多奇妙性 质。例如，它揭示了三角函数和指数函数的内在联系，质。例如，它揭示了三角函数和指数函数的内在联系， 以以 e 为为底的指