离散型随机变量均值与方差、正态分布

1、第九第九 节节 离散离散 型随型随 机变机变 量的量的 均值均值 与方与方 差、差、 正态正态 分布分布 抓抓 基基 础础 明明 考考 向向 提提 能能 力力 教教 你你 一一 招招 我我 来来 演演 练练 第十第十 章章 计数计数 原理、原理、 概率、概率、 随机随机 变量变量 及其及其 分布分布 返回 备考方向要明了备考方向要明了 返回 返回 返回 一、均值一、均值 1一般地，若离散型随机变量一般地，若离散型随机变量X的分布列为的分布列为 则称则称E(X) 为随机变量为随机变量 X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值 的的 x1p1x2p

2、2xipixnpn 平均水平平均水平 返回 2若若YaXb，其中，其中a，b为常数，则为常数，则Y也是随机变量，也是随机变量， 且且E(aXb) . p aE(X)b 3 (1)若若X服从两点分布，则服从两点分布，则E(X) ； (2)若若XB(n，p)，则，则E(X) . np 返回 二、方差二、方差 1设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布列为的分布列为 返回 (xiE(X)2 平均偏离程度平均偏离程度 返回 2D(aXb) 3若若X服从两点分布，则服从两点分布，则D(X) 4若若XB(n，p)，则，则D(X) a2D(X) p(1p) np(1p) 返回 三、正态分布三、正态分布 1正

3、态曲线的特点：正态曲线的特点： (1)曲线位于曲线位于x轴轴 ，与，与x轴不相交；轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线曲线是单峰的，它关于直线 对称；对称； (3)曲线在曲线在 处达到峰值处达到峰值 ； (4)曲线与曲线与x轴之间的面积为轴之间的面积为 ； (5)当当一定时，曲线随着一定时，曲线随着的变化而沿的变化而沿x轴平移；轴平移； (6)当当一定时，曲线的形状由一定时，曲线的形状由确定确定越小，曲线越越小，曲线越 ，表示总体的分布越集中；表示总体的分布越集中；越大，曲线越大，曲线 越越 ，表示总体的分布越，表示总体的分布越 上方上方 x x 1 “瘦高瘦高” “矮胖矮胖”分散分散

4、返回 2正态分布的三个常用数据：正态分布的三个常用数据： (1)P(X) ； (2)P(2X2) ； (3)P(3X3) . 0.682 6 0.954 4 0.997 4 返回 返回 返回 返回 答案：答案： C 返回 2.设两个正态分布设两个正态分布N(1， )(10)和和N (2， )(20)的密度函数图像如图的密度函数图像如图 所示，则有所示，则有 () A12，12 B12，12 C12，12 D12，12 2 1 2 2 返回 答案：答案： A 返回 返回 答案：答案： A 返回 4(教材习题改编教材习题改编)有有10件产品，其中件产品，其中3件是次品，从件是次品，从 中任取两件若

5、中任取两件若X表示取到次品的个数则表示取到次品的个数则E(X) _. 返回 5已知随机变量已知随机变量服从正态分布服从正态分布N(1,1)，如果，如果P(2) ，则，则P(02)_. 解析：解析：随机变量随机变量服从正态分布服从正态分布N(1,1)，正态曲线正态曲线 关于关于x1对称，对称，P(2)， P(0)，P(02)10.3. 答案：答案： 返回 1均值与方差的作用均值与方差的作用 均值是随机变量取值的平均值，常用于对随机变量平均值是随机变量取值的平均值，常用于对随机变量平 均水平的估计，方差反映了随机变量取值的稳定与波均水平的估计，方差反映了随机变量取值的稳定与波 动、集中与离散的程度

6、，常用于对随机变量稳定于均动、集中与离散的程度，常用于对随机变量稳定于均 值情况的估计方差越大表明平均偏离程度越大，说值情况的估计方差越大表明平均偏离程度越大，说 明随机变量取值越分散反之，方差越小，随机变量明随机变量取值越分散反之，方差越小，随机变量 的取值越集中的取值越集中 返回 2服从正态分布的随机变量服从正态分布的随机变量X的概率特点的概率特点 若随机变量若随机变量X服从正态分布，则服从正态分布，则X在一点上的取值概率在一点上的取值概率 为为0，即，即P(Xa)0，而，而Xa并不是不可能事件，所并不是不可能事件，所 以概率为以概率为0的事件不一定是不可能事件，从而的事件不一定是不可能事

7、件，从而P(Xa) P(Xa)是成立的，这与离散型随机变量不同是成立的，这与离散型随机变量不同 返回 返回 精析考题精析考题 例例1(2011湖南高考湖南高考)某商店试销某种商品某商店试销某种商品20天，获天，获 得如下数据：得如下数据： 返回 试销结束后试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变假设该商品的日销售量的分布规律不变)， 设某天开始营业时有该商品设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查件，当天营业结束后检查 存货，若发现存量少于存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至件，则当天进货补充至3件，否件，否 则不进货，将频率视为概率则不进货，将频率视为概率 (1)求当天商

8、店不进货的概率；求当天商店不进货的概率； (2)记记X为第二天开始营业时该商品的件数，求为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列的分布列 和数学期望和数学期望 返回 返回 返回 巧练模拟巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！课堂突破保分题，分分必保！) 返回 答案：答案： B 返回 2(2012豫南九校联考豫南九校联考)2011年深圳大运会，某运动项目年深圳大运会，某运动项目 设置了难度不同的甲、乙两个系列，每个系列都有设置了难度不同的甲、乙两个系列，每个系列都有K 和和D两个动作，比赛时每位运动员自选一个系列完成，两个动作，比赛时每位运动员自选一个系列完成， 两个动作得分之和为该运动员的成

9、绩假设每个运两个动作得分之和为该运动员的成绩假设每个运 动员完成每个系列中的两个动作的得分是相互独立动员完成每个系列中的两个动作的得分是相互独立 的，根据赛前训练统计数据，某运动员完成甲系列的，根据赛前训练统计数据，某运动员完成甲系列 和乙系列的情况如下表：和乙系列的情况如下表： 返回 返回 返回 现该运动员最后一个出场，其之前运动员的最高得分为现该运动员最后一个出场，其之前运动员的最高得分为 118分分 (1)若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择哪个系若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择哪个系 列，说明理由，并求其获得第一名的概率；列，说明理由，并求其获得第一名的概率； (2)若该运

10、动员选择乙系列，求其成绩若该运动员选择乙系列，求其成绩X的分布列及其数的分布列及其数 学期望学期望E(X) 返回 返回 返回 返回 返回 冲关锦囊冲关锦囊 1求离散型随机变量的均值关键是先求出随机变量的分求离散型随机变量的均值关键是先求出随机变量的分 布列，然后根据均值定义求解布列，然后根据均值定义求解 2若随机变量服从二项分布，即若随机变量服从二项分布，即XB(n，p)可直接使可直接使 用公式用公式E(X)np求解，可不写出分布列求解，可不写出分布列 3注意运用均值的线性运算性质即注意运用均值的线性运算性质即Yaxb则则E(Y) aE(X)b. 返回 精析考题精析考题 例例2(2012贵阳模

11、拟贵阳模拟)有甲、乙两个建材厂，都想投标有甲、乙两个建材厂，都想投标 参加某重点建设，为了对重点建设负责，政府到两建材参加某重点建设，为了对重点建设负责，政府到两建材 厂抽样检查，他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗厂抽样检查，他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗 拉强度指标，其分布列如下：拉强度指标，其分布列如下： 返回 其中其中X和和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，在使用分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，在使用 时要求选择较高抗拉强度指数的材料，越稳定越好试时要求选择较高抗拉强度指数的材料，越稳定越好试 从期望与方差的指标分析该用哪个厂的材料从期望与方差的指标分析该用哪个厂的材料 返回

12、 自主解答自主解答E(X)9， D(X)(89)2(99)2(109)2； E(Y)9； D(Y)(89)2(99)2(109)20.8. 由此可知，由此可知，E(X)E(Y)9，D(X)D(Y)，从而两厂材料的，从而两厂材料的 抗拉强度指数平均水平相同，但甲厂材料相对稳定，应抗拉强度指数平均水平相同，但甲厂材料相对稳定，应 选甲厂的材料选甲厂的材料 返回 3(2012衢州模拟衢州模拟)已知随机变量已知随机变量8，若，若B(10， 0.6)，则，则E()，D()分别是分别是() A6和和B2和和 C2和和5.6 D6和和 解析：由已知随机变量解析：由已知随机变量8，所以有，所以有8. 因此，求

13、得因此，求得E()8E()82，D()( 1)2D()2.4. 答案：答案：B 返回 4(2012盐城月考盐城月考)袋中有相同的袋中有相同的5个球，其中个球，其中3个红球，个红球， 2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，个， 当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变 量量为此时已摸球的次数，求：为此时已摸球的次数，求： (1)随机变量随机变量的概率分布列：的概率分布列： (2)随机变量随机变量的数学期望与方差的数学期望与方差 返回 返回 返回 冲关锦囊冲关锦囊 1D(X)表示随机变量表示随机变

14、量X对对E(X)的平均偏离程度；的平均偏离程度； D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散，的取值越分散， 反之反之D(X)越小，越小，X的取值越集中的取值越集中 2若若XB(n，p)，则，则D(X)np(1p)可直接用不必求可直接用不必求 E(X)与分布列与分布列. 返回 精析考题精析考题 例例3 (2011湖北高考湖北高考)已知随机变量已知随机变量服从正态分布服从正态分布N(2， 2)，则，则P(4)，则，则P(02) () A0.6 B C0.3 D 返回 答案答案C 返回 巧练模拟巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！课堂突破保分题，分分必保！)

15、 5(2012朝阳区调研朝阳区调研)设随机变量设随机变量N(1,4)，若，若P(a b)P(ab)，则实数，则实数a的值为的值为_ 返回 答案：答案： 1 返回 6(2011郑州第二次质检郑州第二次质检)已知随机变量已知随机变量服从正态分布服从正态分布 N(1，2)，P(4)，则，则P(2) () A0.16 B C0.68 D 返回 解析：解析：服从正态分布服从正态分布N(1，2)，P(4)，P( 2)P(4)1P(4)0.16. 答案：答案：A 返回 冲关锦囊冲关锦囊 关于正态总体在某个区间内取值的概率求法关于正态总体在某个区间内取值的概率求法 (1)熟记熟记P(X)，P(2X2)， P(

16、3X3)的值；的值； (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为轴之间面积为1. 正态曲线关于直线正态曲线关于直线x对称，从而在关于对称，从而在关于x对称的对称的 区间上概率相等区间上概率相等 P(Xa)1P(Xa)，P(Xa)P(Xa) 返回 返回 解题样板（十八）概率统计解答题的规解题样板（十八）概率统计解答题的规 范指导范指导 返回 考题范例考题范例 (12分分)(2011重庆高考重庆高考)某市公租房的房源位于某市公租房的房源位于A、B、C三三 个片区设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且个片区设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且 申请其中

17、任一个片区的房源是等可能的求该市的任申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任4 位申请人中：位申请人中： (1)恰有恰有2人申请人申请A片区房源的概率；片区房源的概率； (2)申请的房源所在片区的个数申请的房源所在片区的个数的分布列与期望的分布列与期望 返回 返回 返回 模板建构模板建构 本题主要考查了独立重复试验事件的概率及随机变本题主要考查了独立重复试验事件的概率及随机变 量的期望求法，解答本题时易怱视以下几点：量的期望求法，解答本题时易怱视以下几点： 返回 一是第一是第(1)问分析不出是独立重复试验，而失误；二是第问分析不出是独立重复试验，而失误；二是第 (2)问中问中2时要分类去求或用排除法若要避免可先求时要分类去求或用排除法若要避免可先求 1和和3时的概率利用时的概率利用P1P2P31去求去求P2，但要保证，但要保证 1,3时概率正确；三是在解答步骤过程中只画出分布时概率正确；三是在解答步骤过程中只画出分布