第1部分第一章 §1 分类加法计数原理和分布乘法计数原理

1、第第 1 部部 分分 第第 一一 章章 1 理解教材理解教材 新知新知 把握热点把握热点 考向考向 应用创新应用创新 演练演练 知识点一知识点一 知识点二知识点二 考点一考点一 考点二考点二 考点三考点三 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 1刘翔为了备战刘翔为了备战2012年伦敦奥运会，需要从北京到年伦敦奥运会，需要从北京到A 地进行封闭式训练，每天有地进行封闭式训练，每天有7次航班，次航班，5列动车列动车 问题问题1：刘翔从北京到：刘翔从北京到A城的方法可分几类？城的方法可分几类？ 提示：提示：两类，即乘飞机、乘动车两类，即乘飞机、乘动车 问题问题2：这几类方法都能完成：这几

2、类方法都能完成“从北京到从北京到A城城”这件事吗？这件事吗？ 提示：提示：都能都能 问题问题3：刘翔从北京到：刘翔从北京到A城共有多少种不同的方法？城共有多少种不同的方法？ 提示：提示：7512(种种) 返回返回 2若你班有男生若你班有男生26人，女生人，女生24人，从中选一名同学人，从中选一名同学 担任班长担任班长 问题问题4：不同的选法的种数为多少？：不同的选法的种数为多少？ 提示：提示：262450. 返回返回 分类加法计数原理分类加法计数原理(加法原理加法原理) 完成一件事，可以有完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有类办法，在第一类办法中有m1 种方法，在第二类办法中有种方法，

3、在第二类办法中有m2种方法，种方法，在第，在第n类办类办 法中有法中有mn种方法那么，完成这件事共有种方法那么，完成这件事共有 N 种方法种方法. m1m2mn 返回返回 1刘翔从北京到刘翔从北京到A城需在城需在B城停留，若从北京到城停留，若从北京到B城有城有 7次航班，从次航班，从B城到城到A城有城有5列动车列动车 问题问题1：刘翔从北京到：刘翔从北京到A城需要经历几个步骤？城需要经历几个步骤？ 提示：提示：两个，即从北京到两个，即从北京到B城，从城，从B城到城到A城城 返回返回 问题问题2：这几个步骤中的某一步能完成：这几个步骤中的某一步能完成“从北京到从北京到A城城” 这件事吗？这件事吗

4、？ 提示：提示：不能必须不能必须“从北京到从北京到B城城”“从从B城到城到A城城”这两这两 步都完成后才能完成步都完成后才能完成“从北京到从北京到A城城”这件事这件事 问题问题3：刘翔从北京到：刘翔从北京到A城共有多少种不同的方法？城共有多少种不同的方法？ 提示：提示：7535(种种) 返回返回 2若你班有男生若你班有男生26人，女生人，女生24人，从中选一名男生人，从中选一名男生 和一名女生担任班长和一名女生担任班长 问题问题4：不同的选法的种数为多少？：不同的选法的种数为多少？ 提示：提示：2624624. 返回返回 分步乘法计数原理分步乘法计数原理(乘法原理乘法原理) 完成一件事需要经过

5、完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步个步骤，缺一不可，做第一步 有有m1种方法，做第二步有种方法，做第二步有m2种方法，种方法，做第，做第n步有步有mn 种方法那么，完成这件事共有种方法那么，完成这件事共有 N 种方法种方法 m1m2mn 返回返回 1分类加法计数原理中的每一种方法都可以完成这分类加法计数原理中的每一种方法都可以完成这 件事情，而分步乘法计数原理的每一个步骤都是完成这件事情，而分步乘法计数原理的每一个步骤都是完成这 件事情的中间环节，都不能独立完成这件事情件事情的中间环节，都不能独立完成这件事情 2分类加法计数原理考虑的是完成这件事情的方法分类加法计数原理考虑的是完成

6、这件事情的方法 被分成不同的类别，求各类方法之和；而分步乘法计数被分成不同的类别，求各类方法之和；而分步乘法计数 原理考虑的是完成这件事情的过程被分成不同的步骤，原理考虑的是完成这件事情的过程被分成不同的步骤， 求各步骤方法之积求各步骤方法之积 返回返回 返回返回 例例1高二高二一班有学生一班有学生50人，男生人，男生30人；高二人；高二二班有二班有 学生学生60人，女生人，女生30人；高二人；高二三班有学生三班有学生55人，男生人，男生35人人 (1)从中选一名学生担任学生会主席，有多少种不同的从中选一名学生担任学生会主席，有多少种不同的 选法？选法？ (2)从高二从高二一班、二班男生中，或

7、从高二一班、二班男生中，或从高二三班女生中选三班女生中选 一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？ 返回返回 思路点拨思路点拨(1)完成的一件事是从三个班级中选一名完成的一件事是从三个班级中选一名 学生任学生会主席；学生任学生会主席；(2)完成的一件事是从一班、二班男生完成的一件事是从一班、二班男生 中，或从三班女生中选一名学生任学生会体育部长，因而中，或从三班女生中选一名学生任学生会体育部长，因而 可按当选学生来自不同班级分类，利用分类加法计数原理可按当选学生来自不同班级分类，利用分类加法计数原理 求解求解 返回返回 精解详析精解详析(1)

8、选一名学生任学生会主席有选一名学生任学生会主席有3类不同的类不同的 选法：选法： 第一类，从高二第一类，从高二一班选一名，有一班选一名，有50种不同的方法；种不同的方法； 第二类，从高二第二类，从高二二班选一名，有二班选一名，有60种不同的方法；种不同的方法； 第三类，从高二第三类，从高二三班选一名，有三班选一名，有55种不同的方法种不同的方法 故任选一名学生任学生会主席的选法共有故任选一名学生任学生会主席的选法共有 506055165种不同的方法种不同的方法 返回返回 (2)选一名学生任学生会体育部长有选一名学生任学生会体育部长有3类不同的选法：类不同的选法： 第一类，从高二第一类，从高二一

9、班男生中选，有一班男生中选，有30种不同的方法；种不同的方法； 第二类，从高二第二类，从高二二班男生中选，有二班男生中选，有30种不同的方法；种不同的方法； 第三类，从高二第三类，从高二三班女生中选，有三班女生中选，有20种不同的方法种不同的方法 故选一名学生任学生会体育部长共有故选一名学生任学生会体育部长共有 30302080种不同的方法种不同的方法 返回返回 一点通一点通如果完成一件事有如果完成一件事有n类不同的办法，而且这类不同的办法，而且这 n类办法是相互独立的，无论用哪一类办法中的哪一种方类办法是相互独立的，无论用哪一类办法中的哪一种方 法都能独立地完成这件事，那么求完成这件事的方法

10、种数法都能独立地完成这件事，那么求完成这件事的方法种数 就用分类加法计数原理分类要做到就用分类加法计数原理分类要做到“不重不漏不重不漏”，分类后，分类后 再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和， 得到总种数得到总种数 返回返回 1上海世博会期间，一志愿者带一客人去预订房间，宾上海世博会期间，一志愿者带一客人去预订房间，宾 馆有上等房馆有上等房10间，中等房间，中等房20间，一般房间，一般房25间，则客人间，则客人 选一间房的选法有选一间房的选法有 () A500种种B5 000种种 C55种种 D10种种 解析：解析：选法为选法为

11、10202555种种 答案：答案：C 返回返回 2设设x，yN，且，且xy3，则直角坐标系中满足条件的点，则直角坐标系中满足条件的点 M(x，y)共有共有 () A3个个 B4个个 C5个个 D10个个 解析：解析：第一类第一类x0，y0,1,2,3，共，共4个；个； 第二类第二类x1，y0,1,2，共，共3个；个； 第三类第三类x2，y0,1，共，共2个；个； 第四类第四类x3，y0,1个个 满足条件的点满足条件的点M(x，y)共有共有432110个个 答案：答案：D 返回返回 3在所有的两位数中，十位数字大于个位数字的两位数共在所有的两位数中，十位数字大于个位数字的两位数共 有多少个？有多

12、少个？ 解：解：依据依据“十位数字大于个位数字十位数字大于个位数字”进行分类，令十位数进行分类，令十位数 字为字为 m，个位数字为，个位数字为n，则有，则有 当当 m1时，时，n0，有，有1个；个； 当当 m2时，时，n0,1，有，有2个；当个；当 m3时，时，n0,1,2，有，有 3个；个； 当当 m9时，时，n0,1,2,38，有，有9个个 所有这样的两位数共有所有这样的两位数共有123945个个 返回返回 例例2某中学食堂备有某中学食堂备有6种荤菜，种荤菜，5种素菜，种素菜，3种汤现种汤现 要配成一荤一素一汤的套餐，可以配制成多少种不同的套要配成一荤一素一汤的套餐，可以配制成多少种不同的

13、套 餐？餐？ 思路点拨思路点拨“配制成一荤一素一汤的套餐配制成一荤一素一汤的套餐”，需分步完，需分步完 成，考察每步有多少种选择方法，然后根据分步乘法计数成，考察每步有多少种选择方法，然后根据分步乘法计数 原理计数即可原理计数即可 返回返回 精解详析精解详析共分三步：共分三步： 第一步：配一个荤菜有第一步：配一个荤菜有6种选择；种选择； 第二步：配一个素菜有第二步：配一个素菜有5种选择；种选择； 第三步：配一个汤有第三步：配一个汤有3种选择种选择 根据分步乘法计数原理，共有根据分步乘法计数原理，共有65390种不同的套种不同的套 餐餐 一点通一点通利用分步乘法计数原理计数的一般思路：首利用分步

14、乘法计数原理计数的一般思路：首 先将完成这件事的过程分步，然后再找出每一步中的方法先将完成这件事的过程分步，然后再找出每一步中的方法 有多少种，求其积，注意各步之间的相互联系，每步都完有多少种，求其积，注意各步之间的相互联系，每步都完 成后，才能完成这件事成后，才能完成这件事 返回返回 4现有现有4件不同款式的上衣和件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条不同颜色的长裤，如果一 条长裤与一件上衣配成一套，则不同配法的种数为条长裤与一件上衣配成一套，则不同配法的种数为 () A7 B12 C64 D81 返回返回 解析：解析：要完成长裤与上衣配成一套，分两步：要完成长裤与上衣配成一套，分两

15、步： 第一步：选上衣，从第一步：选上衣，从4件中任选一件，有件中任选一件，有4种不同选法；种不同选法； 第二步：选长裤，从第二步：选长裤，从3条长裤中任选一条，有条长裤中任选一条，有3种不同选法种不同选法 故共有故共有4312种不同的配法种不同的配法 答案：答案：B 返回返回 5将将3封信投到封信投到4个邮筒，所有投法有个邮筒，所有投法有 () A24种种 B4种种 C64种种 D81种种 解析：解析：分三步完成投信这件事第一步投第分三步完成投信这件事第一步投第1封信有封信有4 种方法，第二步投第种方法，第二步投第2封信有封信有4种方法，第三步投第种方法，第三步投第3封封 信有信有4种方法，故

16、共有种方法，故共有N44464种方法种方法 答案：答案：C 返回返回 6从从1,2,3,4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则满中选三个数字，组成无重复数字的整数，则满 足下列条件的数有多少个？足下列条件的数有多少个？ (1)三位数；三位数； (2)三位数的偶数三位数的偶数 返回返回 解：解：(1)三位数有三个数位：百位，十位，个位，故可分三三位数有三个数位：百位，十位，个位，故可分三 步完成：步完成： 第一步，排个位，从第一步，排个位，从1,2,3,4中选中选1个数字，有个数字，有4种方法；种方法； 第二步，排十位，从剩下的第二步，排十位，从剩下的3个数字中选个数字中选1个，有个，有3种方

17、法；种方法； 第三步，排百位，从剩下的第三步，排百位，从剩下的2个数字中选个数字中选1个，有个，有2种方法种方法 依据分步乘法计数原理，共有依据分步乘法计数原理，共有43224个满足要求的三个满足要求的三 位数位数 返回返回 (2)分三步完成：分三步完成： 第一步，排个位，从第一步，排个位，从2,4中选中选1个，有个，有2种方法；种方法； 第二步，排十位，从余下的第二步，排十位，从余下的3个数字中选个数字中选1个，有个，有3种方种方 法；法； 第三步，排百位，只能从余下的第三步，排百位，只能从余下的2个数字中选个数字中选1个，有个，有2 种方法种方法 故共有故共有23212个三位数的偶数个三位

18、数的偶数. 返回返回 例例3(12分分)如图，一环形花坛如图，一环形花坛 分成分成A，B，C，D四块现有四块现有4种不同种不同 的花供选种，要求在每块地里种的花供选种，要求在每块地里种1种种 花，且相邻的花，且相邻的2块种不同的花，问共块种不同的花，问共 有多少种不同的种植方法有多少种不同的种植方法 返回返回 思路点拨思路点拨本题可以先分类，由本题可以先分类，由A，C是否种相同的是否种相同的 花分为两类，也可以先分步，在考虑花分为两类，也可以先分步，在考虑C时再分类时再分类 精解详析精解详析法一：法一：分为两类：分为两类： 第一类：当花坛第一类：当花坛A，C中种的花相同时有中种的花相同时有43

19、13 36种；种； 第二类：当花坛第二类：当花坛A，C中种的花不同时有中种的花不同时有4322 48种种 共有共有364884种种 返回返回 法二：法二：分为四步：分为四步： 第一步：考虑第一步：考虑A，有，有4种；种； 第二步：考虑第二步：考虑B，有，有3种；种； 第三步：考虑第三步：考虑C，有两类：一是，有两类：一是A与与C同，同，C的选法有的选法有1 种，这样第四步种，这样第四步D的选法有的选法有3种；二是种；二是A与与C不同，不同，C的选法的选法 有有2种，此时第四步种，此时第四步D的选法也有的选法也有2种种 共有共有43(1322)84种种 一点通一点通综合应用两个原理时，一定要把握

20、好分类综合应用两个原理时，一定要把握好分类 与分步分类是根据完成方法的不同类别，分步是根据一与分步分类是根据完成方法的不同类别，分步是根据一 种方法进程的不同步骤种方法进程的不同步骤 返回返回 7已知集合已知集合M1，2,3，N4,5,6，7，从两个，从两个 集合中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系集合中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系 中，第一、二象限不同点的个数为中，第一、二象限不同点的个数为 () A18 B16 C14 D10 返回返回 解析：解析：分为两大类：分为两大类： 第一类，以集合第一类，以集合M中的元素为点的横坐标，集合中的元素为点的横坐标，集合N中的元中的元

21、素为点的纵坐标素为点的纵坐标 由分步乘法计数原理，有由分步乘法计数原理，有326个不同的点个不同的点 第二类，以集合第二类，以集合N中的元素为点的横坐标，集合中的元素为点的横坐标，集合M中的元中的元 素为点的纵坐标素为点的纵坐标 由分步乘法计数原理，有由分步乘法计数原理，有428个不同的点个不同的点 由分类加法计数原理，第一、二象限内不同的点共有由分类加法计数原理，第一、二象限内不同的点共有N6 814个个 答案：答案：C 返回返回 8有不同的中文书有不同的中文书7本，不同的英文书本，不同的英文书5本，不同的法文书本，不同的法文书 3本若从中选出不属于同一种文字的本若从中选出不属于同一种文字的

22、2本书，共有本书，共有 _种不同的选法种不同的选法 解析：解析：分为三类，每一类再分两步分为三类，每一类再分两步 第一类选中文、英文书各一本有第一类选中文、英文书各一本有7535种选法，第二种选法，第二 类选中文、法文书各一本有类选中文、法文书各一本有7321种选法，第三类选种选法，第三类选 英文、法文书各一本有英文、法文书各一本有5315种选法，所以总共有种选法，所以总共有35 211571种不同的选法种不同的选法 答案：答案：71 返回返回 9如图所示，从甲地到乙地有如图所示，从甲地到乙地有2条陆条陆 路可走，从乙地到丙地有路可走，从乙地到丙地有3条陆路条陆路 可走，又从甲地不经过乙地直接

23、可走，又从甲地不经过乙地直接 到达丙地有到达丙地有2条水路可走条水路可走 (1)从甲地经过乙地到丙地有多少种不同的走法？从甲地经过乙地到丙地有多少种不同的走法？ (2)从甲地到丙地共有多少种不同的走法？从甲地到丙地共有多少种不同的走法？ 返回返回 解：解：(1)由分步乘法计数原理知，从甲地经过乙地到达丙地由分步乘法计数原理知，从甲地经过乙地到达丙地 共有共有236种不同的走法种不同的走法 (2)从甲地到丙地可分两类：从甲地到丙地可分两类： 第一类：由甲地直接到丙地，共有第一类：由甲地直接到丙地，共有2种不同的走法；种不同的走法； 第二类：由甲地经乙地到丙地，共有第二类：由甲地经乙地到丙地，共有236种不同的走种不同的走 法法 由分类加法计数原理知，从甲地到丙地共有由分类加法计数原理知，从甲地到丙地共有268种不同种不同 的走法的走法 返回返回 1两个计数原理的区别两个计数