理想单色平面光波在晶体中的传播

1、理想单色平面光波在晶体中的传播 理想单色平面光波在晶体中的传播理想单色平面光波在晶体中的传播 (The transmission of ideal nonochrome planar lightwave in crystals) 光在晶体中传播的解析法描述光在晶体中传播的解析法描述 (analytic description of transmission of light in crystals) 光在晶体中传播的几何法描述光在晶体中传播的几何法描述 (Geometric description of transmission of light in crystals) 理想单色平面光波在晶

2、体中的传播 光在晶体中传播的解析法描述光在晶体中传播的解析法描述 根据光的电磁理论，光在晶体中的传播特性仍然由根据光的电磁理论，光在晶体中的传播特性仍然由麦麦 克斯韦方程组描述克斯韦方程组描述。 0(1-8) 0(1-9) (1-10) (1-11) t t D B B E D H DE BH JE 理想单色平面光波在晶体中的传播 1. 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组 均匀、不导电、非磁性均匀、不导电、非磁性的各向异性介质的各向异性介质( (晶体晶体) )中，中， 若没有自由电荷存在，麦克斯韦方程组为若没有自由电荷存在，麦克斯韦方程组为 0 (17) (18) 0 (19) 0 (20) t t

3、 D H E B D 0 (21) (22) BH DE 我们只讨论我们只讨论单色平面光波在晶体中的传播特性单色平面光波在晶体中的传播特性。 理想单色平面光波在晶体中的传播 1)单色平面光波在晶体中的传播特性单色平面光波在晶体中的传播特性 (1)晶体中光电磁波的结构晶体中光电磁波的结构 i() 000 () n t c e 、 、 k r EDHEDH 式中，式中， 设晶体中传播的单色平面光波为设晶体中传播的单色平面光波为 00 1/ / r n c c n 理想单色平面光波在晶体中的传播 2 2 2 c vc n cn kv n k i() 0 (1-22) t kz e EE i() 00

4、0 () n t c e 、 、 k r EDHEDH 理想单色平面光波在晶体中的传播 对于这样一种光波，在进行公式运算时，可以以对于这样一种光波，在进行公式运算时，可以以 -i 代替代替 ，以，以 (in/c)k 代换算符代换算符 。/ t ()() 00 nn itit cc eie tt k rk r EEE ()() 00 nn itit cc n eike rrc k rk r EEEE 理想单色平面光波在晶体中的传播 经过运算，经过运算，(17)式式(20)式变为式变为 (1)晶体中光电磁波的结构晶体中光电磁波的结构 0 (23) (24) 0 (25) 0 (26) c n c

5、n HkD EkH k D k H 由这些关系式可以看出：由这些关系式可以看出： 0 (17) (18) 0 (19) 0 (20) t t D H E B D 理想单色平面光波在晶体中的传播 (1)晶体中光电磁波的结构晶体中光电磁波的结构 D 垂直于垂直于 H 和和 k，H 垂直于垂直于 E 和和 k，所以，所以 H 垂直于垂直于 E、D、k，因此，因此，E、D、k 在垂直于在垂直于 H 的的 同一平面内同一平面内。 波阵面波阵面波阵面波阵面 k H D E s vp vr 0 (23) (24) c n c n HkD EkH 理想单色平面光波在晶体中的传播 (1)晶体中光电磁波的结构晶体

6、中光电磁波的结构 由能流密度的定义由能流密度的定义 SEH 可见，可见，H 垂直于垂直于 E 和和 s ( (能流方向上的单位矢量能流方向上的单位矢量) )， 故故 E、D、 s、k 同在一个平面上同在一个平面上。 0 (24) c n EkH 波阵面波阵面波阵面波阵面 k H D E s vp vr 理想单色平面光波在晶体中的传播 (1)晶体中光电磁波的结构晶体中光电磁波的结构 可以得到一个重要结论：在晶体中，光的可以得到一个重要结论：在晶体中，光的能量传播方能量传播方 向通常与光波法线方向不同向通常与光波法线方向不同。 波阵面波阵面波阵面波阵面 k H D E s vp vr 理想单色平面

7、光波在晶体中的传播 (2)能量密度能量密度 e 1 ()() 222 nn cc E DEHkEHk m 1 ()() 222 nn cc B HHEkEHk 根据电磁能量密度公式及根据电磁能量密度公式及(23)式、式、(24)式，有式，有 0 (23) (24) c n c n HkD EkH 理想单色平面光波在晶体中的传播 (2)能量密度能量密度 总电磁能量密度为总电磁能量密度为 (27) em n c S s k 对于各向同性介质，因对于各向同性介质，因 s 与与 k 同方向，所以有同方向，所以有 (28) n c S 理想单色平面光波在晶体中的传播 (27) em n c S s k

8、e m () 2 () 2 n c n c Hk EHk SEH 理想单色平面光波在晶体中的传播 (3)相速度和光线速度相速度和光线速度 (29) pp c n vkk 相速度相速度 vp 是光波是光波等相位面的传播速度等相位面的传播速度，其表示式为，其表示式为 波阵面波阵面波阵面波阵面 k H D E s vp vr 理想单色平面光波在晶体中的传播 (3)相速度和光线速度相速度和光线速度 光线速度光线速度 vr 是是单色光波能量的传播速度单色光波能量的传播速度，其方向为，其方向为 能流密度能流密度( (玻印亭矢量玻印亭矢量) )的方向的方向 s，大小等于单位时间，大小等于单位时间 内流过垂直

9、于能流方向上的一个单位面积的能量除以内流过垂直于能流方向上的一个单位面积的能量除以 能量密度，即能量密度，即 rr (30) S vss 理想单色平面光波在晶体中的传播 (3)相速度和光线速度相速度和光线速度 由由(27)式式(30)式可以得到式可以得到 prr cos (31)s k 单色平面光波的相速度是其光线速度在波阵面法线方单色平面光波的相速度是其光线速度在波阵面法线方 向上的投影。向上的投影。 AB AB ks vr vp 理想单色平面光波在晶体中的传播 p pr r (29) (31) c n c n kk s k s k rrr r (30) (27) = v c n nc cn

10、 SS sss ks k s k S S s ks k 理想单色平面光波在晶体中的传播 (3)相速度和光线速度相速度和光线速度 在一般情况下，光在晶体中的在一般情况下，光在晶体中的相速度和光线速度分离相速度和光线速度分离, , 其大小和方向均不相同。对于各向同性介质，单色平其大小和方向均不相同。对于各向同性介质，单色平 面光波的相速度也即是光线速度。面光波的相速度也即是光线速度。 波阵面波阵面波阵面波阵面 k H D E s vp vr 理想单色平面光波在晶体中的传播 2)光波在晶体中传播持性的描述光波在晶体中传播持性的描述 (1)晶体光学的基本方程晶体光学的基本方程 2 2 0 2 0 ()

11、() n n c DEkkEkk 由麦克斯韦方程组出发，将由麦克斯韦方程组出发，将(23)式和式和(24)式的式的H 消去消去, , 可以得到可以得到 00 1 c 0 (23) (24) c n c n HkD EkH 理想单色平面光波在晶体中的传播 (1)晶体光学的基本方程晶体光学的基本方程 再利用矢量恒等式再利用矢量恒等式 ()()()ABCB A CC A B 变换为变换为 2 0 () (32)nDEk k E ABBA 2 2 0 2 0 ()() n n c DEkkEkk 理想单色平面光波在晶体中的传播 (1)晶体光学的基本方程晶体光学的基本方程 k s D D E E (kE

12、) k(sD) s 方括号方括号Ek(kE)实际上表示实际上表示 E 在垂直于在垂直于 k ( (即平行即平行 于于D) )方向上的分量，记为方向上的分量，记为 。E 2 0 () (32)nDEk k E 理想单色平面光波在晶体中的传播 (1)晶体光学的基本方程晶体光学的基本方程 (32)式可以写成式可以写成 2 0 (33)Dn E 2 0 () (32)nDEk k E k s D D E E (kE) k(sD) s 理想单色平面光波在晶体中的传播 (1)晶体光学的基本方程晶体光学的基本方程 我们还可以将我们还可以将(32)式、式、(33)式写成另外一种形式。式写成另外一种形式。 因为

13、因为 cosEE 所以所以 222 000 cos (34) coscos( cos)( cos) EDDD E nnn DE 0r r n 理想单色平面光波在晶体中的传播 (1)晶体光学的基本方程晶体光学的基本方程 根据折射率的定义根据折射率的定义 p c n 可以在形式上定义可以在形式上定义“光线折射率光线折射率”( (或射线折射率、或射线折射率、 能流折射率能流折射率) ) nr ： r rp coscos (35) cc nn pr cos (31) 理想单色平面光波在晶体中的传播 (1)晶体光学的基本方程晶体光学的基本方程 2 0 1 (36) r n ED 由此可将由此可将(34)

14、式表示为式表示为 2 0 (34) ( cos) D E n r rp coscos (35) cc nn k s D D E E (kE) k(sD) s 理想单色平面光波在晶体中的传播 (1)晶体光学的基本方程晶体光学的基本方程 或或 2 0 () (37) r c n EDs s D k s D D E E (kE) k(sD) s 2 0 1 (36) r n ED 理想单色平面光波在晶体中的传播 (1)晶体光学的基本方程晶体光学的基本方程 2 0 2 0 (33) () (32) Dn E n DEk k E 2 0 2 0 1 (36) () (37) r r n c n ED E

15、Ds s D k s D D E E (kE) k(sD) s 理想单色平面光波在晶体中的传播 (1)晶体光学的基本方程晶体光学的基本方程 (32)、(33)和和(36 )、(37)式给出了沿某一式给出了沿某一k(s) 方向传播方向传播 的光波电场的光波电场E(D)与晶体特性与晶体特性n(nr) 的关系，的关系，因而是描述因而是描述 晶体光学性质的基本方程晶体光学性质的基本方程。 2 0 2 0 (33) () (32) Dn E n DE k k E 2 0 2 0 1 (36) () (37) r r n c n ED EDs s D 理想单色平面光波在晶体中的传播 (2)菲涅耳方程菲涅耳

16、方程 0 1, 2, 3 iii DEi 为了考察晶体的光学特性，为了考察晶体的光学特性，我们选取主轴坐标系我们选取主轴坐标系，因，因 而物质方程为而物质方程为 (22) DE 1 2 3 0 0 0 0 0 0 理想单色平面光波在晶体中的传播 (2)菲涅耳方程菲涅耳方程 波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程( (波法线方程波法线方程) ) 光线菲涅耳方程光线菲涅耳方程( (光线方程光线方程) ) k s D D E E (kE) k(sD) s 理想单色平面光波在晶体中的传播 波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程( (波法线方程波法线方程) ) 2 0 () 1, 2, 3 (38) iii DnE

17、kik E 将基本方程将基本方程(32)式写成分量形式式写成分量形式 并代入并代入 Di Ei 关系，经过整理可得关系，经过整理可得 0 2 () (39) 11 i i i k D n k E 理想单色平面光波在晶体中的传播 0 (16) iii ED 2 0 () 1, 2, 3 (38) iii DnkiEk E 2 0 0 () i ii i D Dnk k 22 0 0 2 () () 11 ii iii i i Dk Dnn kD n k E k E 理想单色平面光波在晶体中的传播 将将(39)式代入后，得到式代入后，得到 222 312 222 123 0 (40) 111111

18、 kkk nnn 波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程( (波法线方程波法线方程) ) 由于由于 D k0，所以有，所以有 1 12233 0DkD kD k 理想单色平面光波在晶体中的传播 1 12233 0DkD kD k 0 2 () (39) 11 i i i k D n k E 222 312 222 123 0 (40) 111111 kkk nnn 理想单色平面光波在晶体中的传播 222 312 222 123 0 (40) 111111 kkk nnn 描述了在晶体中传播的光波法线方向描述了在晶体中传播的光波法线方向 k 与与相应的折相应的折 射率射率n 和晶体的主介电张量和晶体的

19、主介电张量 之间的关系之间的关系。 波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程( (波法线方程波法线方程) ) 1 2 3 0 0 0 0 0 0 理想单色平面光波在晶体中的传播 波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程( (波法线方程波法线方程) ) (40)式还可表示为另外一种形式根据式还可表示为另外一种形式根据 pc / n，可以，可以 定义三个描述晶体光学性质的主速度定义三个描述晶体光学性质的主速度： 123 123 =, =, = ccc 1 2 3 0 0 0 0 0 0 理想单色平面光波在晶体中的传播 波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程( (波法线方程波法线方程) ) 它们实际上分别是光波场沿三个主

20、轴方向它们实际上分别是光波场沿三个主轴方向 x1、x 2、x3 的的相速度相速度。由此可将。由此可将(40)式变换为式变换为 222 312 222222 123 0 (41) ppp kkk 上式描述了在晶体中传播的光波法线方向上式描述了在晶体中传播的光波法线方向 k 与相应与相应 的的相速度相速度P 和晶体的主速度和晶体的主速度1、2、3 之间的关系之间的关系。 理想单色平面光波在晶体中的传播 222 312 222222 123 0 (41) ppp kkk 222 312 222 123 0 (40) 111111 kkk nnn 123 123 =, =, = ccc p /c n

21、理想单色平面光波在晶体中的传播 波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程( (波法线方程波法线方程) ) 通常将通常将(40)式和式和(41)式称为式称为波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程。 222 312 222222 123 0 (41) ppp kkk 222 312 222 123 0 (40) 111111 kkk nnn 理想单色平面光波在晶体中的传播 由波法线菲涅耳方程可见，对于一定的晶体，由波法线菲涅耳方程可见，对于一定的晶体，光的光的 折射率折射率( (或相速度或相速度) )随光波方向随光波方向 k 变化变化。 波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程( (波法线方程波法线方程) ) 222

22、312 222222 123 0 (41) ppp kkk 222 312 222 123 0 (40) 111111 kkk nnn 这种沿这种沿不同方向传播的光波具有不同的折射率不同方向传播的光波具有不同的折射率( (或相或相 速度速度) )的特性，即是晶体的光学各向异性。的特性，即是晶体的光学各向异性。 理想单色平面光波在晶体中的传播 它们是它们是 n2 或或 p2 的的二次方程二次方程，一般有两个独立的实，一般有两个独立的实 根根 n、n 或或 p、p，因而，对应每一个波法线方向，因而，对应每一个波法线方向 k，有两个具有不同的折射率或不同的相速度的光波，有两个具有不同的折射率或不同的

23、相速度的光波。 波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程( (波法线方程波法线方程) ) 222 312 222222 123 0 (41) ppp kkk 222 312 222 123 0 (40) 111111 kkk nnn 理想单色平面光波在晶体中的传播 在由在由(40)式、式、(41)式得到与每一个波法线方向式得到与每一个波法线方向 k 相应相应 的折射率或相速度后，的折射率或相速度后，为了确定与波法线方向为了确定与波法线方向 k 相相 应的光波应的光波 D 和和 E 的振动方向的振动方向，可将，可将(38)式展开式展开 2222 1111 221 33 2222 2 11222233 2

24、222 3 11322333 10 10 (42) 10 nkEn k k En k k E n k k EnkEn k k E n k k En k k EnkE 波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程( (波法线方程波法线方程) ) 理想单色平面光波在晶体中的传播 10 11 2 1011112233 2222 1111 221 33 = () 10 DE DnEk k Ek Ek E nkEn k k En k k E 2 0 2 1011112233 () 1, 2, 3 (38) () iii DnEki DnEk k Ek Ek E k E 理想单色平面光波在晶体中的传播 将由将由(40

25、)式解出的两个折射率值式解出的两个折射率值 n 和和 n 分别代入分别代入(42) 式，即可求出相应的两组比值式，即可求出相应的两组比值 和和 ， 从而可以定出与从而可以定出与 n 和和 n 分别对应的分别对应的 E 和和 E 方向。方向。 123 :E EE 123 :E EE 波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程( (波法线方程波法线方程) ) 222 312 222 123 0 (40) 111111 kkk nnn 2222 1111 221 33 2222 2 11222233 2222 3 11322333 10 10 (42) 10 nkEn k k En k k E n k k E

26、nkEn k k E n k k En k k EnkE 理想单色平面光波在晶体中的传播 123 :DDD 123 :DDD 由由物质方程物质方程的分量关系，求出相应的两组比值的分量关系，求出相应的两组比值 和和 ，从而可以定出与，从而可以定出与 n 和和 n 分别对应的分别对应的 D 和和 D 的方向。的方向。 波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程( (波法线方程波法线方程) ) 0 (16) iii DE 理想单色平面光波在晶体中的传播 由于相应于由于相应于 E 、E 及及D 、D 比值均为比值均为实数实数，所以，所以 E 和和 D 都是都是线偏振线偏振的。的。 波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方

27、程( (波法线方程波法线方程) ) 当当 Ex 、Ey 二分量的相位差二分量的相位差 时，椭圆退化为一条直线，称为线偏振光。此时有时，椭圆退化为一条直线，称为线偏振光。此时有 (012)mm, 0 i 0 e (1-105) y mx yx E E EE i ecosisin 理想单色平面光波在晶体中的传播 进而可以证明，相应于每一个波法线方向进而可以证明，相应于每一个波法线方向 k 的两个的两个 独立折射率独立折射率 n 和和 n 的电位移矢量的电位移矢量 D 和和 D 相互相互 垂直垂直。证明过程如下：。证明过程如下： 波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程( (波法线方程波法线方程) ) 0

28、2 () (39) 11 i i i k D n k E 0D D 理想单色平面光波在晶体中的传播 2 2 1 0 22 11 22 32 2222 2233 2 2 0 ()() 1111 ()() 11111111 ()()()() () ()() () k DDk Ek E nn kk nnnn n n k Ek E n 22 11 22 22 11 2222 3322 2222 2233 1111 () ()() 11111111 ()()()() kk n nn kkkk nnnn 理想单色平面光波在晶体中的传播 0 2 () (39) 11 i i i k D n k E 2 2

29、1 0 22 11 22 32 2222 2233 ()() 1111 ()() 11111111 ()()()() k DDk Ek E nn kk nnnn 112233 D DD DD DD D 理想单色平面光波在晶体中的传播 2222 111 22 22 22 11 11 () 1111 ( )() 1111 ( )() ( )() kkkn n nn nn nn 222 2 11 0 22 22 11 2222 3322 2222 2233 () ()() 1111 ()() ()() 11111111 ()()()() kkn n DDk Ek E nn nn kkkk nnnn

30、理想单色平面光波在晶体中的传播 上式方括号中的第一、三、五项之和为零，第二、上式方括号中的第一、三、五项之和为零，第二、 四、六项之和也为零。四、六项之和也为零。 波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程( (波法线方程波法线方程) ) 2 1 2 1 22 32 22 2 1 0 22 2 1 22 32 22 23 22 23 () ()() 11 ()() () 11 () 1111 ( 1111 ()() kn n DDk Ek E nn k n kk nn n kk nn 222 312 222 123 0 (40) 111111 kkk nnn 理想单色平面光波在晶体中的传播 对应于晶体中

31、每一给定的波法线方向对应于晶体中每一给定的波法线方向 k，只允许有，只允许有 两个特定振动方向的线偏振光传播，两个特定振动方向的线偏振光传播，它们的它们的D 矢量矢量 相互垂直相互垂直，具有不同的折射率或相速度。，具有不同的折射率或相速度。 k s sD E D E 因此，因此， 0D D 波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程( (波法线方程波法线方程) ) 理想单色平面光波在晶体中的传播 由于由于 E、D、s、k 四矢量共面，以及四矢量共面，以及 E s，所以这两，所以这两 个线偏振光有不同的光线方向个线偏振光有不同的光线方向( ( s 和和 s )和光线速度和光线速度 ( ( vr 和和 vr

32、 )。 波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程( (波法线方程波法线方程) ) k s sD E D E 理想单色平面光波在晶体中的传播 光线菲涅耳方程光线菲涅耳方程( (光线方程光线方程) ) 上面讨论的波法线菲涅耳方程确定了在给定的某个波上面讨论的波法线菲涅耳方程确定了在给定的某个波 法线方向法线方向 k 上，上，特许的两个线偏振光的折射率和偏振特许的两个线偏振光的折射率和偏振 态态。 222 312 222 123 0 (40) 111111 kkk nnn 理想单色平面光波在晶体中的传播 光线菲涅耳方程光线菲涅耳方程( (光线方程光线方程) ) 类似地，也可以得到确定相应于光线方向为类似地，也可以得到确定相应于光线方向为 s 的两的两 个特许线偏振光的光线速度和偏振态的方程个特许线偏振光的光