3.5镜像法[课堂使用]

1、第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题静态电磁场及其边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波 聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院 3.5.1 镜像法的基本原理镜像法的基本原理 3.5.2 接地导体平面的镜像接地导体平面的镜像 3.5.3 导体球面的镜像导体球面的镜像 3.5.4 导体圆柱面的镜像导体圆柱面的镜像 3.5.5 点电荷与无限大电介质平面的镜像点电荷与无限大电介质平面的镜像 3.5.6 线电流与无限大磁介质平面的镜像线电流与无限大磁介质平面的镜像 3.5 镜像法镜像法 1 第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题静态电磁场及其边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波

2、聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院 当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和介质表面当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和介质表面 会出现感应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场会出现感应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场 的分布。的分布。 非均匀感应电荷产生的电位很难求非均匀感应电荷产生的电位很难求 解，可以用等效电荷的电位替代解，可以用等效电荷的电位替代 1. 问题的提出问题的提出 几个实例几个实例 接地导体板附近有接地导体板附近有 一个点电荷，如图所一个点电荷，如图所 示。示。 q q qq 非均匀感应电荷非均匀感应电荷 等效电荷等效电荷

3、 3.5.1 镜像法的基本原理镜像法的基本原理 2 第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题静态电磁场及其边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波 聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院 接地导体球附近有一个点电荷，如图。接地导体球附近有一个点电荷，如图。 非均匀感应电荷产生的非均匀感应电荷产生的 电位很难求解，可以用电位很难求解，可以用 等效电荷的电位替代等效电荷的电位替代 接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电 荷为线电荷。荷为线电荷。 q q 非均匀感应电荷非均匀感应电荷 qq 等效电荷等效电荷 结论结论：

4、所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷：所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷 或线电荷的作用。或线电荷的作用。 问题问题：这种等效电荷是否存在？：这种等效电荷是否存在？ 这种等效是否合理？这种等效是否合理？ 3 第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题静态电磁场及其边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波 聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院 2. 镜像法的原理镜像法的原理 用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代 该边界上未知的较为复杂的电荷分布，从而将原含该边界的非均该边界上未知的较为复杂的

5、电荷分布，从而将原含该边界的非均 匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程 得以明显简化的一种间接求解法。得以明显简化的一种间接求解法。 在导体形状、几何尺寸、带电状况和媒质几何结构、特性不在导体形状、几何尺寸、带电状况和媒质几何结构、特性不 变的前提条件下，根据惟一性定理，只要找出的解答满足在同一变的前提条件下，根据惟一性定理，只要找出的解答满足在同一 泛定方程下问题所给定的边界条件，那就是该问题的解答，并且泛定方程下问题所给定的边界条件，那就是该问题的解答，并且 是惟一的解答。镜像法正是巧妙地应用了这一基本原理、面向多

6、是惟一的解答。镜像法正是巧妙地应用了这一基本原理、面向多 种典型结构的工程电磁场问题所构成的一种有效的解析求解法。种典型结构的工程电磁场问题所构成的一种有效的解析求解法。 3. 镜像法的理论基础镜像法的理论基础 解的解的惟一性定理惟一性定理 4 第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题静态电磁场及其边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波 聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院 像电荷的个数、位置及其电量大小像电荷的个数、位置及其电量大小“三要素三要素” 。 4. 镜像法应用的关键点镜像法应用的关键点 5. 确定镜像电荷的两条原则确定镜像电荷的两条原则 等效求解的等效求解的“有

7、效场域有效场域”。 镜像电荷的确定镜像电荷的确定 像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中。像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中。 像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场 区域区域 的边界条件来确定。的边界条件来确定。 5 第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题静态电磁场及其边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波 聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院 1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像点电荷对无限大接地导体平面的镜像 ,qq hh 11 ()0 4 q z RR （） 0 0 z RR 满足原问题的边界条件

8、，所得的结果是正确的。满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。 3.5.2 接地导体平面的镜像接地导体平面的镜像 镜像电荷镜像电荷 电位函数电位函数 因因z = 0时，时， 有效区域有效区域 R R q q h h q q q h 6 第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题静态电磁场及其边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波 聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院 上半空间上半空间( ( z0 ）的电位函数）的电位函数 q q h 222222 11 ( , , ) 4 ()() q x y z xyzhxyzh (0)z 2223 2 02() S z qh zxyh

9、in 2223 2 d d d 2() S S qhx y qS xyh 2 22 3 2 00 d d 2() qh q h 导体平面上的感应电荷密度为导体平面上的感应电荷密度为 导体平面上的总感应电荷为导体平面上的总感应电荷为 7 第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题静态电磁场及其边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波 聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院 2. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像线电荷对无限大接地导体平面的镜像 镜像线电荷：镜像线电荷： ln(0) 2 l R z R 满足原问题的边界条件，满足原问题的边界条件，所得的解是正确的。所得的解是正确的。

10、电位函数电位函数 当当z = 0 时，时，rr 0 , ll hh h h l 有效区域有效区域 R R l 8 第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题静态电磁场及其边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波 聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院 3. 点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像 如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点 电荷电荷q 位于位于(d1, d2 )处。处。 显然，显然，q1 对平面对平面 2 以及以及 q2 对平对平 面面 1 均不能满足边界条件。均不

11、能满足边界条件。 123 1111 () 4 q RRRR 对于平面对于平面1，有镜像电荷，有镜像电荷q1=q，位于，位于(d1, d2 ) 对于平面对于平面2，有镜像电荷，有镜像电荷q2=q，位于，位于( d1, d2 ) 只有在只有在(d1, d2 )处处再设置一再设置一 镜像电荷镜像电荷q3 = q，所有边界条件才能，所有边界条件才能 得到满足。得到满足。 电位函数电位函数 d1 1 q d2 2 RR1 R2R3 q1 d1 d2 d2 q2 d1 q3 d2 d1 9 第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题静态电磁场及其边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波 聊城大学物理科学与信息工程

12、学院聊城大学物理科学与信息工程学院 例例3.5.1 一个点电荷一个点电荷q与无限大导体平面距离为与无限大导体平面距离为d，如果把它，如果把它 移至无穷远处，需要做多少功？移至无穷远处，需要做多少功？ 解解：移动电荷：移动电荷q时，外力需要克服电时，外力需要克服电 场力做功，而电荷场力做功，而电荷q受的电场力来源于导受的电场力来源于导 体板上的感应电荷。可以先求电荷体板上的感应电荷。可以先求电荷q 移至移至 无穷远时电场力所做的功。无穷远时电场力所做的功。 2 0 ( ) 4(2 ) x q E xe x e 22 2 00 ( ) d 1 d 4(2 )16 d d WqE xx qq x x

13、d 2 oe 0 16 q WW d q q x = 0 d -d 由镜像法，感应电荷可以用像电荷由镜像法，感应电荷可以用像电荷 替代。当电荷替代。当电荷q 移移 至至x时，像电荷时，像电荷 应位于应位于x，则，则像电荷产生的电场强度像电荷产生的电场强度 qq q 10 第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题静态电磁场及其边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波 聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院 3.5.3 导体球面的镜像导体球面的镜像 1. 点电荷对接地导体球面的镜像点电荷对接地导体球面的镜像 球面上的感应电荷可用镜像电荷球面上的感应电荷可用镜像电荷 q来等效。来等效

14、。 q 应位于导体球内（显然应位于导体球内（显然 不影响原方程），且在点电荷不影响原方程），且在点电荷q与球与球 心的连线上，距球心为心的连线上，距球心为d。则有。则有 0 1 () 4 qq RR 如图所示，点电荷如图所示，点电荷q 位于半径位于半径 为为a 的接地导体球外，距球心为的接地导体球外，距球心为d 。 方法方法：利用导体球面上电位为零确定：利用导体球面上电位为零确定 和和 q。 d dq? 问题问题： P q a r R d q P a q r R R d d 11 第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题静态电磁场及其边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波 聊城大学物理科学与信息工

15、程学院聊城大学物理科学与信息工程学院 令令ra，由球面上电位为零，由球面上电位为零， 即即 0，得，得 =0 qq RR Rq Rq 常数 此式应在整个球面上都成立。此式应在整个球面上都成立。 OqPOq P 2 a d d 0 Ra qqq Rd qq RR 条件条件：若：若 像电荷的位置像电荷的位置 像电荷的电量像电荷的电量 1 a d qq Rda Rad 常数常数 q P q a R R d d O 12 第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题静态电磁场及其边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波 聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院 222222 1 () 4 2

16、cos()2 ()cos qa ra rdrddradr ad 22 223 2 () 4 (2cos ) S r a q da ra adad 222 2 in 223 2 00 ()sin d d d 4(2cos ) S S q daaa qSq aadadd 可见，导体球面上的总感应电荷也与所设置的镜像电荷相等。可见，导体球面上的总感应电荷也与所设置的镜像电荷相等。 球外的电位函数为球外的电位函数为 导体球面上的总感应电荷为导体球面上的总感应电荷为 球面上的感应电荷面密度为球面上的感应电荷面密度为 q P a q r R R d d 0 1 () 4 qq RR 13 第第3 3章章

17、静态电磁场及其边值问题静态电磁场及其边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波 聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院 点电荷对接地空心导体球壳的镜像点电荷对接地空心导体球壳的镜像 , a qq d 如图所示接地空心导体球壳的内半径为如图所示接地空心导体球壳的内半径为a 、外半径为、外半径为b，点电，点电 荷荷q 位于球壳内，与球心相距为位于球壳内，与球心相距为d ( d |q|，可见镜像电荷的电荷量大于点电荷的电荷量，可见镜像电荷的电荷量大于点电荷的电荷量 像电荷的位置和电量与外半径像电荷的位置和电量与外半径 b 无关（无关（为什么为什么？）？） a q d o b q rR

18、 R a q d O d 14 第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题静态电磁场及其边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波 聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院 球壳内的电位球壳内的电位 22 0 223 2 () 4 (2cos ) S r a q ad ra adad 222 2 in 223 2 00 ()sin d d d 4(2cos ) S S q ada qSq aadad 感应电荷分布在导体球面的内表面上，电荷面密度为感应电荷分布在导体球面的内表面上，电荷面密度为 导体球面的内表面上的总感应电荷为导体球面的内表面上的总感应电荷为 可见，在这种情况下，镜像电

19、荷与感应电荷的电荷量不相等。可见，在这种情况下，镜像电荷与感应电荷的电荷量不相等。 222222 0 1 () 4 2cos()2 ()cos qa ra rdrddradr ad 15 第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题静态电磁场及其边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波 聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院 2 . 点电荷对不接地导体球的镜像点电荷对不接地导体球的镜像 先设想导体球是接地的，则球面上只有总电荷量为先设想导体球是接地的，则球面上只有总电荷量为q的感应电的感应电 荷分布，则荷分布，则 2 , aa qq d dd 导体球不接地时的特点：导体球不接地时的

20、特点： 导体球面是电位不为零的等位面；导体球面是电位不为零的等位面； 球面上既有感应负电荷分布也有感应正电荷分布，但总的感应球面上既有感应负电荷分布也有感应正电荷分布，但总的感应 电荷为零。电荷为零。 采用叠加原理来确定镜像电荷采用叠加原理来确定镜像电荷 点电荷点电荷q 位于一个半径为位于一个半径为a 的不的不 接地导体球外，距球心为接地导体球外，距球心为d 。 P q a r R d O 16 第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题静态电磁场及其边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波 聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院 0 a qqqd a ， 然后断开接地线，并将电

21、荷然后断开接地线，并将电荷q加于导体球上，从而使总电加于导体球上，从而使总电 荷为零。为保持导体球面为等位面，所加的电荷荷为零。为保持导体球面为等位面，所加的电荷q 可用一个位可用一个位 于球心的镜像电荷于球心的镜像电荷q来替代，即来替代，即 0 1 () 4 qqq RRr 球外任意点的电位为球外任意点的电位为 q P a q r R R d d q O 17 第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题静态电磁场及其边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波 聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院 3.5.4 导体圆柱面的镜像导体圆柱面的镜像 问题问题：如图如图 1 所示，一根电

22、荷线密度所示，一根电荷线密度 为为 的无限长线电荷位于半径为的无限长线电荷位于半径为a 的的 无限长接地导体圆柱面外，与圆柱的无限长接地导体圆柱面外，与圆柱的 轴线平行且到轴线的距离为轴线平行且到轴线的距离为d 。 l 图图1 线电荷与导体圆柱线电荷与导体圆柱 l x o a 0 d 图图2 线电荷与导体圆柱的线电荷与导体圆柱的 镜像镜像 a l d ( , )P x o 0 l d 特点特点：在导体圆柱面上有感应电荷，：在导体圆柱面上有感应电荷， 圆轴外的电位由线电荷与感应电荷共圆轴外的电位由线电荷与感应电荷共 同产生。同产生。 分析方法分析方法：镜像电荷是圆柱面内部与：镜像电荷是圆柱面内部

23、与 轴线平行的无限长线电荷，如图轴线平行的无限长线电荷，如图2所示。所示。 1. 线电荷对接地导体圆柱面的镜像线电荷对接地导体圆柱面的镜像 18 第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题静态电磁场及其边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波 聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院 a 由于导体圆柱接地，所以当由于导体圆柱接地，所以当 时，电位应为零，即时，电位应为零，即 所以有所以有 设镜像电荷的线密度为设镜像电荷的线密度为 ，且距圆柱的轴线为且距圆柱的轴线为 ，则由，则由 和和 共同产生的电位函数共同产生的电位函数 l d l l 2 ll a d d 由于上式对任意的由于上

24、式对任意的 都成立，因此，将上式对都成立，因此，将上式对 求导，可以得到求导，可以得到 2222 11 lnln 22 2cos2cos ll C dddd | 2222 11 lnln0 22 2cos2cos ll C a adadadad | 0cos)(2)()( 2222 llll daddaddad 0 0)()( 2222 ll ll daddad 19 第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题静态电磁场及其边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波 聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院 导体圆柱面外的电位函数：导体圆柱面外的电位函数： 2242 22 2cos

25、ln 2 2cos l dada C ddd 由由 时，时，a0 故故 2242 22222 2cos ln 2 2cos l dada aa dda 导体圆柱面上的感应电荷面密度为导体圆柱面上的感应电荷面密度为 22 22 () 2 (2cos ) l S a da a adad 导体圆柱面上单位长度的感应电荷为导体圆柱面上单位长度的感应电荷为 22 2 22 0 ()d d 22cos l inSl S daa S aadad 导体圆柱面上单位长度的感应电荷与所设置的镜像电荷相等。导体圆柱面上单位长度的感应电荷与所设置的镜像电荷相等。 ln 2 l d C a 20 第第3 3章章 静态电

26、磁场及其边值问题静态电磁场及其边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波 聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院 2. 两平行圆柱导体的电轴两平行圆柱导体的电轴 图图1 1 两平行圆柱导体两平行圆柱导体 h a h a l l 图图2 2 两平行圆柱导体的电轴两平行圆柱导体的电轴 l b l hh b aa 特点特点：由于两圆柱带电导体的电场互由于两圆柱带电导体的电场互 相影响，使导体表面的电荷分布不均相影响，使导体表面的电荷分布不均 匀，相对的一侧电荷密度大，而相背匀，相对的一侧电荷密度大，而相背 的一侧电荷密度较小。的一侧电荷密度较小。 分析方法分析方法：将导体表面上的电荷

27、用线将导体表面上的电荷用线 密度分别为密度分别为 、且相距为、且相距为2b 的两根的两根 无限长带电细线来等效替代，如图无限长带电细线来等效替代，如图 2 所示。所示。 l 问题问题：如图如图1所示，两平行导体圆柱的所示，两平行导体圆柱的 半径均为半径均为a，两导体轴线间距为，两导体轴线间距为2h，单，单 位长度分别带电荷位长度分别带电荷 和和 。l l 21 第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题静态电磁场及其边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波 聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院 图图2 2 两平行圆柱导体的电轴两平行圆柱导体的电轴 l b l hh b aa 通

28、常将带电细线所在的位置称为圆柱导体的电轴，因而这通常将带电细线所在的位置称为圆柱导体的电轴，因而这 种方法又称为电轴法。种方法又称为电轴法。 2 a d d 由由 2 ()()hb hba 22 bha 利用线电荷与接地导体圆柱面利用线电荷与接地导体圆柱面 的镜像确定的镜像确定b 。 思考思考：能否用电轴法求解半径不同的两平行圆柱导体问题？：能否用电轴法求解半径不同的两平行圆柱导体问题？ 22 第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题静态电磁场及其边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波 聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院 3.5.5 点电荷与无限大电介质平面的镜像点电荷与

29、无限大电介质平面的镜像 图图1 1 点电荷与电介质点电荷与电介质 分界平面分界平面 z x 1 2 q h 特点：特点：在点电荷的电场作用下，电介质产在点电荷的电场作用下，电介质产 生极化，在介质分界面上形成极化电荷分生极化，在介质分界面上形成极化电荷分 布。此时，空间中任一点的电场由点电荷布。此时，空间中任一点的电场由点电荷 与极化电荷共同产生。与极化电荷共同产生。 图图2 2 介质介质1 1的镜像电荷的镜像电荷 P q h h 1 1 x z q R R 问题：问题：如图如图 1 所示，介电常数分别为所示，介电常数分别为 和和 的两种不同电介质的分界面是无限的两种不同电介质的分界面是无限

30、大平面，在电介质大平面，在电介质 1 中有一个点电荷中有一个点电荷q ， 距分界平面为距分界平面为h 。 1 2 分析方法：分析方法：计算电介质计算电介质 1 中的电位时，用中的电位时，用 位于介质位于介质 2 中的镜像电荷来代替分界面上中的镜像电荷来代替分界面上 的极化电荷，并把整个空间看作充满介电的极化电荷，并把整个空间看作充满介电 常数为常数为 的均匀介质，如图的均匀介质，如图2所示。所示。 1 23 第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题静态电磁场及其边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波 聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院 介质介质1中的电位为中的电位为 1

31、222222 1 1 ( , , ) 4 ()() qq x y z xyzhxyzh (0)z 2 222 2 1 ( , , ) 4 () qq x y z xyzh (0)z 2 计算电介质计算电介质 2 中的电位时，用位中的电位时，用位 于介质于介质 1 中的镜像电荷来代替分界面中的镜像电荷来代替分界面 上的极化电荷，并把整个空间看作充上的极化电荷，并把整个空间看作充 满介电常数为满介电常数为 的均匀介质，如图的均匀介质，如图 3 所示。介质所示。介质2中的电位为中的电位为 图图3 3 介质介质2 2的镜像电荷的镜像电荷 2 2 q q P x z hR 24 第第3 3章章 静态电磁

32、场及其边值问题静态电磁场及其边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波 聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院 可得到可得到 12 11 ()()qqqq qqqq 说明：说明：对位于无限大平表面介质分界面附近、且平行于分界面对位于无限大平表面介质分界面附近、且平行于分界面 的无限长线电荷（单位长度带的无限长线电荷（单位长度带），其镜像电荷为），其镜像电荷为 1212 1212 , llll 12 12 12 12 qq qq 1020zz 2 1 1020zz zz 利用电位满足的边界条件利用电位满足的边界条件 25 第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题静态电磁场及其边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波 聊城大学物理科学与信息工程学院聊城大学物理科学与信息工程学院 图图1 1 线电流与磁介质线电流与磁介质 分界平面分界平面 z x 1 2 I h 图图2 2 磁介质磁介质1 1的镜像线的镜像线 电流电流 P I h h 1 1 x z I R R 特点特点：在直线电流在直线电流I 产生的磁场作用下，产生的磁场作用下， 磁介质被磁化，在分界面上有磁化电流磁介质被磁化，在分界面上有磁化电流 分布，空间中的磁场