平行线地判定和性质

1、北京四中编稿：史卫红 审稿：张杨责编：姚一民平行线的判定和性质（综合篇）一、重点和难点：重点：平行线的判定性质。难点：平行线的性质与平行线的判定的区分掌握推理论证的格式。二、例题：这部分内容所涉及的题目主要是从已知图形中辨认岀对顶角、同位角、内错角或同旁内角。解答这类题目的前提是熟练地掌握这些角的概念，关键是把握住这些角的基本图形特征，有时还需添加必要的辅助线，用以突岀基本图形的特征。上述类型题目大致可分为两大类。一类题目是判断两个角相等或互补及与之有关的一些角的运算问题。其方法是“由线定角”,即运用平行线的性质来推岀两个角相等或互补。另一类题目主要是“由角定线”，也就是根据某些角的相等或互补

2、关系来判断两直线平行， 解此类题目必须要掌握好平行线的判定方法。例1.如图，已知直线 a,b,c 被直线d所截，若/ 仁/2，/ 2+Z 3=180 ，求证：/ 仁/7分析：运用综合法，证明此题的思路是由已知角的关系推证岀两直线平行，然后再由两直线平行解决其它角的关系。/1与/ 7是直线a和c被d所截得的同位角。须证a/c。法（一）证明： d是直线（已知）/ 1 + Z 4=180 （平角定义）/ 2+Z 3=180,/ 仁/2 （已知）/ 3=/ 4 （等角的补角相等） a/c （同位角相等，两直线平行） /仁/7 （两直线平行，同位角相等）法（二）证明： T/ 2+/ 3=180，/ 1

3、= / 2 （已知） / 1 + / 3=180 （等量代换）./ 5=/ 1，/ 6=/ 3 （对顶角相等） / 5+/ 6=180 （等量代换） a/c （同旁内角互补，两直线平行） /仁/7 （两直线平行，同位角相等）。例2.已知如图，/ 1 + / 2=180 ，/ A=/ C，AD平分/ BDF求证：BC平分/ DB吕分析：只要求得/ EBCK CBD由/ 1 + Z 2=180 推岀/ 仁/ BDC从而推岀AE/FC，从而推岀/ C=Z EBC而/ C=Z A于是可得/ A=Z EBG因此又可得 AD/BC，最后再运用平行线性质和已知条件便可推岀/ EBC=/ DBC证明：J/ 2

4、+/BDC=180（平角定义）又/ 2+/ 1= 180（已知）/ BDC/ 1 （同角的补角相等） AE/FC （同位角相等两直线平行） / EBC=/ C （两直线平行内错角相等）又/ A=/ C （已知） / EBC=/ A （等量代换） AD/BC （同位角相等，两直线平行） / ADB=/ CBD（两直线平行，内错角相等）/ ADF=Z C （两直线平行，同位角相等）又 DA平分/ BDF （已知） / ADB=/ ADF （角平分线定义） / EBC=/ DBC（等量代换） BC平分/ DBE（角平分线定义）说明：这道题反复应用平行线的判定和性质，这是以后在证题过程中经常使用的方法

5、，见到“平行”应想到有关的角相等，见到有关的角相等，就应想到能否判断直线间的平行关系。把平行线的判定与性质紧密地结合在一起也就是使直线平行和角相等联系在一起，这样解题能得心应手，灵活自如。三、小结：证明角相等的基本方法1、第一章、第二章中已学过的关于两个角相等的命题：（1）同角（或等角）的余角相等；（2）同角（或等角）的补角相等；（3）对顶角相等；（4）两直线平行，同位角相等；内错角相等；同旁内角互补。以上四个命题是我们目前论证两个角相等的武器，但是何时用这些武器，用什么武器，怎样使用，这是遇到的一个具体问题，需要认真进行分析。 首先必须分析，在题设中给岀了哪些条件，与其相关的图形是什么！ 其

6、次再分析一下要证明的两个角在图形的具体位置，与已知条件有什么关联，怎样运用一次推理或几个一次推理的组合而来完成题设到结论的过渡。例3，如图/ 仁/2=/C,求证/ B=/ Co分析：题设中给岀三个相等的角，其中/ 2和/ C是直线DE和BC被AC所截构成的同位角， 由/ 2=/C则DE/BCo再看题中要证明的结论是/B=/ C，由于/ C=/ 1，所以只要证明/ 1 = / B,而/ 1与/ B是两条平行直线 DE, BC被直线AB所截构成的同位角，/ 仁/ B是很显然的，这样 我们就理顺了从已知到求证的途径：酗鬥Z1 = ZC证明：/ 2=Z C （已知）， DE/BC （同位角相等，两直线

7、平行），/仁/ B （两直线平行，同位角相等），又/仁/C （已知），/ B=Z C （等量代换）。例 4、已知如图， AB/CD，AD/BC，求证：/ A=Z C，Z B=Z D。分析：要证明/ A=Z C，Z B=Z D,从这四个角在图中的位置来看，每一组既不构成同位角，也不是内错角或同旁内角， 由此不可能利用题设中的平行关系，经过一次推理得到结论， 仍然如同例10 一样通过等角进行转化，从题设条件岀发，由AB/CD，且AB与CD被直线BC所截，构成了一对同旁内角，/ B、/ C,因此/ B+Z C=180o，同时/ B又是另一对平行线 AD BC被直线 AB所截，构成的一对同旁内角Z B

8、Z A,Z B+Z A=180,通过Z B的中介，就可以证明得Z A=Z C。同理，也可得到Z B=Z D,整个思路为：AB/CD=ZB+ZC = 180A 1=ZA-ZCAD/BC=ZB+ZA-180J证明：AD/BC （已知），Z A+Z B=180o （两直线平行，同旁内角互补），/ AB/CD （已知），Z B+Z C=180o （两直线平行，同旁内角互补），Z A=Z C （同角的补角相等），同理可证Z B=Z Do例5、已知如图， AD丄BC于D, EG丄BC于G,Z E=Z 3，求证：Z 1 = Z 2分析：要证明Z仁Z 2，而从图中所示的Z 1和Z 2的位置来看，根据题设或学过

9、的定义、公理、定理无法直接证明这两个角相等，因我们可将视野再拓广一下，寻找一下Z1、Z 2与周边各角的关系，我们看到直线 AD与GE被直线AE所截，形成同位角Z 1、Z E;被AB所截，形成内 错角Z 2、Z 3;而题设明确告诉我们Z 3=Z E,于是目标集中到证明 AD/GE,根据题设中 AD丄BC,EG丄BC,我们很容易办到这一点，总结一下思路，就可以得到以下推理程序:fZl = ZE 1AD1CEGLBC 二AD f/EG =Z2 = Z3 1=Z1 = Z2Z3 = Z5证明：/ AD丄BC于D （已知）， Z ADC=90 （垂直定义）， EG丄BC于G （已知）， / EGD=90

10、 （垂直定义），/ ADC= EGD（等量代换）， EG/AD （同位角相等，两直线平行）， /仁/ E （两直线平行同位角相等），/ 2=2 3 （两直线平行内错角相等），又/ E=2 3 （已知），2 1 = 2 2 （等量代换）。四、两条直线位置关系的论证。两条直线位置关系的论证包括：证明两条直线平行， 证明两条直线垂直，证明三点在同一直 线上。1、学过证明两条直线平行的方法有两大类（一）利用角；（1）同位角相等，两条直线平行；（2）内错角相等，两条直线平行；（3）同旁内角互补，两条直线平行。（二）利用直线间位置关系：（1）平行于同一条直线的两条直线平行； （ 2 ）垂直于同一条直线的两

11、条直线平行。例 6、如图，已知 BE/CF，2 1 = 2 2,求证：AB/CD。分析：要证明AB/CD，由图中角的位置可看岀AB与CD被BC所截得一对内错角2 ABC和2DCB只要证明这对内错角相等，而图中的直线位置关系显示，2ABC=2 1 + 2 EBC 2 BCD2 2+2 FCB条件中又已知21 = 2 2，于是只要证明2 EBC2 BCF证明：/ BE/CF （已知），2 EBC=/ FCB（两直线平行，内错角相等）2 1 = 2 2 （已知）， 2 1 + 2 EBC=/ 2+FCB （等量加等量其和相等），即2 ABC=/ BCD（等式性质）， AB/CD （内错角相等，两直线

12、平行）。例 7、如图 CDL AB, EF丄 AB,2 1 = 2 2,求证：DG/BC。分析：要证明DG/BC，只需证明2 1 = 2 DCB由于2 1 = 2 2,只需证明2 2=2 DCB 2 2与2DCB又是同位角，只需证明 CD/EF。根据题设 CD! AB, EF丄AB, CD/EF，很容易证得，这样整 个推理过程分成三个层次。(1)EF1AB（平行线的判定）CDVAB（2）CD/EF弋/ 2=Z DCB（平行线的性质）（3）/ 仁/ DCBDG/BC （平行线判定）在这三个推理的环节中，平行线的判定和性质交替使用，层次分明。证明：/ CD! AB于D （已知），/ CDB=90O

13、 （垂直定义）， EF丄AB于F （已知），/ EFB=90 （垂直定义），/ CDB=/ EFB （等量代换）， CD/EF （同位角相等，两直线平行），/ 2=Z DCB（两直线平行，同位角相等） 又/仁/2 （已知），/仁/ DCB（等量代换）， DG/BC （内错角相等，两直线平行）。说明：从以上几例我们可以发现，证明两条直线平行，必须紧扣两直线平行的条件，往往归结于求证有关两个角相等，根据图形找岀两直线的同位角、内错角或同旁内角， 设法证明这一组同位角或内错角相等，或同旁内角互补。而证明两角相等，又经常归于证明两直线平行。因此， 交替使用平行线的判定方法和平行线的性质就成为证明两直线

14、平行的常用思路。2、已经学过的证明两直线垂直的方法有如下二个：（1）两直线垂直的定义（2）一条直线和两条平行线中的一条垂直，这条直线也和另一条垂直。（即证明两条直线 的夹角等于90而得到。）例8、如图，已知 EF丄AB,Z 3=Z B,Z 仁/2,求证：CDLABo分析：这是一个与例14同样结构的图形，但证明的目标却是两条直线垂直。证明CD! AB,根据“一条直线垂直于两条平行线中的一条，必垂直于另一条”又由于已知条件EF丄AB,只要证明EF/CD，要证EF/CD，结合图形，只要证明/ 2=Z DCB因为/ 仁/2,只需证明/ DCB= / 1,而/ DCB与Z 1是一对内错角，因而根据平行线

15、的性质，就需证明DG/BC，要证明DG/BC根据平行线的判定方法只需证明/3=Z B,而这正是题设给岀的条件，整个推理过程经过以下几/ 3=Z B- DG/BC二Z1=Z2/ DCB=/ 2（1）平行线判定（2）平行线性质个层次:= CDL AB（3）平行线判定性质（4）垂直定义证明：T/ 3=Z B （已知）， DG/BC （同位角相等，两直线平行）/仁/ DCB（两直线平行，内错角相等），/仁/2 （已知）， / DCB/ 2 （等量代换）， DC/EF （同位角相等，两直线平行），p AZCDF=ZEFB （两直线平丘同位角相等）， VEF1AB （已知），J ZEFB=90 （垂直定义

16、 h：/CDFT（等量代换h：CD丄AB （垂直定义人有括号部分的五步也可以用以下证法：接DC/EF （同位角相等，两直线平行），又 EF丄AB （已知）， CD丄AB （一条直线和两条平行线中的一条垂直，这条直线也和另一条垂直。）E、O F三点共线,3、已经学过的证明三点共线的方法在前面的几讲中已分析过，若证明 通常采用/ EOF=180，利用平角的定义完成三点共线证明。此方法不再举例。五、一题多解。例9、已知如图，/ BED=/ B+/ D。求证：AB/CD法（一）分析： 要证明AB/CD，从题设中条件和图形岀发考虑，图形中既不存在“三线八 角”，又不存在与 AB CD同时平行的第三条直线

17、或与 AB CD同时垂直的直线，这样就无法利用 平行线公理的推理或平行线的判定方法来证明两条直线平行。能不能为此创造条件呢？如果我们能够在图中添置一条直线，使这条直线和AB CD中的一条平行，那么我们就有可能证明它也平行于另一条，从而得到 AB/CD。根据平行公理，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直 线平行，所以这样的直线是存在的。接下来的问题是：过哪一点作这条平行线，考虑题设中的已知条件，三个角的关系围绕着E点展开的，因而选择 E点作AB的平行线是较为理想的位置。证明：过点E作EF/AB， / B=/ 1 （两直线平行，内错角相等）， / BED=/ 1 + / 2 （全量等于部分之和

18、）， / 2=/ BED-/ 1 （等式性质），又/ BED=/ B+/ D （已知）， / D=/ BED-/ B （等式性质） / 2=/ D （等量代换） EF/CD （内错角相等，两直线平行），/ EF/AB （作图）， AB/CD （平行于同一直线的两直线平行）说明：在光凭题设条件无法直接证得结论时，在图中添置新的线，以构成一个条件充分的图形，从而得岀所求证的结论，像这样添置的线叫做辅助线，在画图时，辅助线用虚线画岀。法（二）分析： 如果在E点的另一侧添置 AB的平行线（如图），同样可以凭此证得结论, 但是由于所取的角的位置不同，推理的依据过程也有所不同。证明：过点E作EF/AB （

19、如图），/ B+Z 1=180 （两直线平行，同旁内角互补），/ 1 + Z 2+Z BED=360 （周角定义），/ BED=/ B+Z D （已知），/ B+Z D+Z 1 + Z 2=360 （等量代换）， / D+Z 2=360- （Z B+Z 1）（等式性质）=360-180 （等量代换）= 180 EF/CD （同旁内角互补，两直线平行），/ EF/AB （作图）， AB/CD （平行于同一直线的两条直线平行）。注意：在添置辅助线 EF时，只能过E点作直线EF平行于直线AB CD中的一条，而不能同 时平行于AB和CD从另一个方面考虑这个命题，仍然是这个图形如果我们交换题设和结论部分

20、：即已知AB/CD，能否得到Z BED=/ B+Z D的结论，仍然像例 16法（一）那样添置 AB的平行线EF，可得 到Z B=Z BEF，又由于 AB/CD，贝U EF/CD。于是又有Z D=Z DEF，很显然Z B+Z D=Z BEF+Z DEF= Z BED可知，交换原命题的题设和结论部分，仍然得到一个真命题。北京四中池塘中的水浮莲有一种水生植物水浮莲，生长速度很快，每昼夜能长一个新的水浮莲。就是说，一昼夜能一变二，两昼夜后，就成 4棵，这样一天一天地增多。有一个小的池塘，放进1棵水浮莲，20天后，就长满了整个池塘。如果开始时放进2棵水浮莲，几天可以长满池塘？是10天吗？想一想，你会得岀

21、正确答案的!答案：19天因为水浮莲的繁殖速度是经过一天，就一变二，放进1棵，第二天就变成了 2棵。现在第一天放进 2棵，就相当于放1棵经过一昼夜繁殖后池塘中的棵数。经过19天后，池溏也同样满了。放进 1棵到池塘，其生长状况是：1, 2, 4，8，16，32, 64,，放进2棵后的生长状况是2 , 4, 8 , 16, 32, 64, 128,，从比较可以看岀，放进2棵，只相当于提早了一天。北京四中平行线的性质考点扫描：会用一直线截两平行线所得的同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等性质进行推理和计名师精讲：平行线的性质是指在两条直线平行的前提条件下，能够得到的与图形有关的位置及数量关系平行线的

22、性质有：（1平行线永远不相交（定义）；（2）两直线平行，同位角相等（性质公理）；（3） 两直线平行，内错角相等（性质定理1）;（4）两直线平行，同旁内角互补（性质定理 2）.平行线的判定和平行线的性质不能混淆，应分清定理（或公理）的条件结论：（1）判定定理说的是满足了什么条件（性质）的两条直线是互相平行的.（2）性质定理说的是如果两条直线平行，它具有什么性质.由此可见，判定定理与性质定理是因果关系倒置的两类定理（称为“互逆”定理）.中考典例：1.（北京海淀区）已知：如图，AB/ CD CE平分/ ACD / A= 110 ，则/ ECD的度数等于（ ）A 110 B、70C、55D、35考点：平行线的性质，角平分线评析：因为/ A与/ ACD是同旁内角，又 AB/ CD,由平行线的性质：两直线平行，同旁内角 互补，可知/ A+Z ACD=180 .当/ A= 110