多维随机变量数字特征

1、多维随机变量数字特征1 第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 分布函数能够完整地描述随机变量的统计特分布函数能够完整地描述随机变量的统计特 性，但在一些实际问题中，只需知道随机变量的性，但在一些实际问题中，只需知道随机变量的 某些特征，因而不需要求出它的分布函数某些特征，因而不需要求出它的分布函数. 评定某企业的经营能力时，只要知道该企业评定某企业的经营能力时，只要知道该企业 人均赢利水平人均赢利水平； 例如例如： 研究水稻品种优劣时，我们关心的是稻穗的研究水稻品种优劣时，我们关心的是稻穗的 及每粒的；及每粒的； 检验棉花的质量时，既要注意纤维的检验棉花的质量时，既要注意纤维的

2、度，又要注意度，又要注意 纤维长度与平均长度的偏离程度，纤维长度与平均长度的偏离程度， 平均长度越长、偏离程度越小，质量就越好平均长度越长、偏离程度越小，质量就越好; 多维随机变量数字特征2 考察一射手的水平，既要看他的平均环数考察一射手的水平，既要看他的平均环数 是否高，还要看他弹着点的范围是否小，即数是否高，还要看他弹着点的范围是否小，即数 据的波动是否小据的波动是否小. 由上面例子看到，与随机变量有关的某些由上面例子看到，与随机变量有关的某些 数值，虽不能完整地描述随机变量，但能清晰数值，虽不能完整地描述随机变量，但能清晰 地描述随机变量在某些方面的重要特征地描述随机变量在某些方面的重要

3、特征 , 这些这些 数字特征在理论和实践上都具有重要意义数字特征在理论和实践上都具有重要意义. 随机变量某一方面的概率特性随机变量某一方面的概率特性 都可用数字来描写都可用数字来描写 多维随机变量数字特征3 理理？人人数数相相等等，谁谁的的话话有有道道 分分的的分分和和少少于于分分是是有有代代表表性性的的，多多于于总总体体看看 宜宜，因因为为从从分分；教教授授认认为为：考考题题适适平平均均成成绩绩才才 偏偏难难，因因为为人人；系系主主任任认认为为：考考题题分分的的就就有有 得得认认为为：试试题题太太易易，因因为为成成绩绩上上报报后后，教教学学院院长长 期期末末考考试试成成绩绩如如下下： 位位研

4、研究究生生上上课课，某某大大学学新新聘聘一一位位教教授授给给引引例例： 808080 5 .76 390 .90,82,30,73,63 ,75,78,83,80,90 ,76,85,90,81,72 15 多维随机变量数字特征4 q 随机变量的平均取值随机变量的平均取值 数学数学 期望期望 q 随机变量取值平均偏离平均值的随机变量取值平均偏离平均值的 情况情况 方差方差 q 描述两个随机变量之间的某种关描述两个随机变量之间的某种关 系的数系的数 协方差与相关系数协方差与相关系数 本本 章章 内内 容容 多维随机变量数字特征5 定义定义 设离散型随机变量设离散型随机变量X 的分布列为的分布列为

5、 , 2 , 1,)( kpxXP kk 若无穷级数若无穷级数 1k kk px 绝对收敛，则称其和为随机变量绝对收敛，则称其和为随机变量 X 的数学期望的数学期望 记为记为 1k kk pxEX 1. 数学期望的定义数学期望的定义 4.1 数学期望数学期望 多维随机变量数字特征6 设连续型随机变量设连续型随机变量X 的概率密度为的概率密度为)(xf 若积分若积分 dxxxf)( 绝对收敛，则称此积分的值为随机变量绝对收敛，则称此积分的值为随机变量 X 的的 数学期望，记为数学期望，记为 dxxxfEX)( 数学期望简称期望，又称均值数学期望简称期望，又称均值 注意注意: :数学期望反映了随机

6、变量取值的平均值数学期望反映了随机变量取值的平均值, , 它是一种加权平均它是一种加权平均 多维随机变量数字特征7 解解 n k knkk n ppkCEX 0 )1( n k knk pp knk n k 1 )1( )!( ! ! n k knk pp knk n np 1 )1()1(1 )1( )!()!1( )!1( 1 0 )1( 1 )1( n k knkk n ppCnp np 例例1 EXpnBX求求已已知知),( 多维随机变量数字特征8 EXPX求求已已知知),0(),( EX e k k k k 0 ! 例例2 解解 例例3 EXbaUX，求，求已知已知),( 解解 EX

7、 dxxxf)( 1 1 )!1( k k k e dx ab x b a 2 ba 多维随机变量数字特征9 0,0 0, )( x xe xf x dxxxf)( 0 dxxe x 0 0 dxexe xx 0 1 dxe x 1 0 )( x exd )(lim x x e x ) 1 (lim x x e 0 )( 1 xde x 例例4 EXX求求的的指指数数分分布布服服从从参参数数为为已已知知, 解解 EX 多维随机变量数字特征10 例例5 的的数数学学期期望望不不存存在在说说明明随随机机变变量量 密密度度为为 即即其其概概率率服服从从柯柯西西分分布布若若随随机机变变量量 X x x

8、 xf X , 1 11 )( , 2 dx x x dxxfx 2 1 1 )( 因因为为 的的数数学学期期望望不不存存在在故故 不不绝绝对对收收敛敛即即 X dxxxf )( 解解 多维随机变量数字特征11 例例6 EXGX，求，求已知已知),( 解解 EX 0 1 )( )(dxexxdxxxf x 0 )( )( 1 dxex x 得得令令xt dtet t 0 1)1( )( 1 )( )( )( )1( 多维随机变量数字特征12 常见随机变量的数学期望常见随机变量的数学期望 分布分布 期望期望概率分布概率分布 参数为参数为p 的的 0-1分布分布 pXP pXP 1)0( )1(

9、p B(n,p) nk ppCkXP knkk n , 2 , 1 , 0 )1()( np P( ) , 2 , 1 , 0 ! )( k k e kXP k 多维随机变量数字特征13 分布分布 期望期望概率密度概率密度 区间区间(a,b)上的上的 均匀分布均匀分布 其其它它,0 , 1 )( bxa ab xf 2 ba E( ) 其其它它,0 0, )( xe xf x 1 N( , 2) 2 2 2 )( 2 1 )( x exf 多维随机变量数字特征14 2. 数学期望的性质数学期望的性质 变变量量的的数数学学期期望望存存在在）（以以下下设设所所遇遇到到的的随随机机 是是常常数数是是

10、随随机机变变量量，设设cbaYX, cbEYaEXcbYaXE )()1( 0, 0)2( EXX则则设设 bEXabXa 则则设设,) 3( n i n i ii i EXXE niXEXEYXYE YX 11 21:)( )4( ）（相相互互独独立立，则则有有 ），（若若推推广广 变变量量，则则是是两两个个相相互互独独立立的的随随机机，设设 多维随机变量数字特征15 证明证明：仅就仅就2 n证性质（证性质（4） , 2 , 1 21 2121 21 jipbXaXP XXbb aaX ijji i ，），（ 分分布布为为的的一一切切可可能能值值，而而记记其其和和记记，和和 ，别别以以是是离

11、离散散型型随随机机变变量量，分分不不妨妨假假设设 由由独独立立性性假假设设知知 )()( 21jiij bXPaXPp 21 21 , 21 , 21 2121 )()( )()()( , EXEX bXPbaXPa bXPaXPbapbaXXE baXXbXaX j jj i ii ji jiji ji ijji jiji ，故故时时有有因因为为当当 多维随机变量数字特征16 解解引入随机变量引入随机变量 站站有有人人下下车车在在第第， 站站没没有有人人下下车车在在第第 i i X i 1 ,0 10, 2 , 1 i 则有则有 1021 XXXX 例例7 ) ,( , ,10 ,20 互互

12、独独立立并并设设各各旅旅客客是是否否下下车车相相 车车是是等等可可能能的的设设每每位位旅旅客客在在各各车车站站下下求求 表表示示停停车车次次数数以以没没有有旅旅客客下下车车就就不不停停车车 如如到到达达一一个个车车站站个个车车站站可可以以下下车车旅旅客客有有 位位旅旅客客从从机机场场开开出出一一民民航航送送客客车车载载有有 EX X 多维随机变量数字特征17 10 9 ,站站不不下下车车的的概概率率为为任任一一旅旅客客在在第第由由题题意意i 20 ) 10 9 (20站站下下车车的的概概率率为为位位旅旅客客都都不不在在第第因因此此i 20 ) 10 9 (1 站站有有人人下下车车的的概概率率为

13、为第第i即即 2020 ) 10 9 (1)1(,) 10 9 ()0( ii XPXP 20 ) 10 9 (1) 1(1) 0(0 iii XPXPEX 故故 10 1 1021 )( i i EXXXXEEX 784.8) 10 9 (110 20 （次）（次） 多维随机变量数字特征18 例例8 其其规规律律为为立立两两者者到到站站的的时时间间相相互互独独 且且但但到到站站的的时时刻刻是是随随机机的的都都恰恰有有一一辆辆客客车车到到站站 某某车车站站每每天天按按规规定定 , , 00:1000:9 ,00:900:8, 到站时刻到站时刻 概率概率 50:930:910:9 50:830:

14、810:8 6 2 6 3 6 1 望望求求他他候候车车时时间间的的数数学学期期到到车车站站：一一旅旅客客,008)1( 望望求求他他候候车车时时间间的的数数学学期期到到车车站站：一一旅旅客客,208)2( 多维随机变量数字特征19 解解 （以以分分计计）设设旅旅客客的的候候车车时时间间为为X 的的分分布布列列为为X)1( X k p 503010 6 2 6 3 6 1 )(33.33分分 EX 的的分分布布列列为为X)2( X k p 9070503010 6 1 6 2 6 1 6 3 6 1 6 1 6 2 6 3 多维随机变量数字特征20 上上表表中中，例例如如 6 3 6 1 )(

15、)()()70( BPAPABPXP ，到到站站：第第一一班班车车在在为为事事件件其其中中108A ，到到站站：第第二二班班车车在在为为事事件件309B )(22.27 36 2 90 36 3 70 36 1 50 6 2 30 6 3 10 分分 EX 多维随机变量数字特征21 则则若若对对离离散散型型随随机机变变量量,)(,)1( kk pxXPX 3. 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望 存存在在 ，的的连连续续函函数数设设有有随随机机变变量量定定理理 )( )( xgE XgYX )(XgE k kk pxg)( 则则若若有有密密度度函函数数对对连连续续型型随随机机变变量量

16、, )(,)2(xfX )(XgEdxxfxg )()( 多维随机变量数字特征22 )( ,),(, 是是连连续续函函数数 的的函函数数是是随随机机变变量量设设 g YXgZYXZ 的分布律为的分布律为若二维离散型随机变量若二维离散型随机变量）（),(1YX , 2 , 1,),( jipyYxXP ijji ijji pyxgYXgEEZ),(),( 则则有有，为为 的的概概率率密密度度若若二二维维连连续续型型随随机机变变量量）（ ),( ),(2 yxf YX dxdyyxfyxgYXgEEZ),(),(),( 则有则有 多维随机变量数字特征23 X 1 3 P 3/4 1/4 Y 0 1

17、 2 3 P 1/8 3/8 3/8 1/8 8 1 )33(0)23(0)13( 8 1 )03( 0)31( 8 3 )21( 8 3 )11(0)01()( XYE 4 9 X 1 0 3/8 3/8 0 3 1/8 0 0 1/8 Y 0 1 2 3 例例9的的联联合合分分布布列列为为已已知知),(YX )(,XYEEYEX求求 解解 2 3 , 2 3 EYEX 多维随机变量数字特征24 的概率密度为的概率密度为设二维随机变量设二维随机变量),(YX 的数学期望的数学期望试求试求 XY 解解 dxdyyxxyfXYE),()( 1 0 1 0 )(dxdyyxxy 3 1 其其他他,

18、0 10,10, ),( yxyx yxf 例例10 多维随机变量数字特征25 21 sin)(sin)(sin 0 dxxdxxxfXE 其它其它,0 , 0, 1 )( x xf 3 1 )( 2 0 222 dxxdxxfxEX dxxfxXEEXXE)() 2 () 2 ()( 222 12 1 ) 2 ( 2 0 2 dxx 例例11 22 )(),(),(sinEXXEXEXE 求求已知已知, , 0 UX 解解 多维随机变量数字特征26 解解 dxdyyxxfEX),( 2 0 1 0 2 )31( 4 1 dyyxdxx 3 4 dxdyyxyfEY),( 2 0 1 0 2

19、)31( 4 1 dyyyxdx 8 5 其其他他, 0 , 10 , 20),31( 4 1 ),( 2 yxyx yxf )(, )(, )(,XYEXYEYXEEYEX 求求 例例12 设二维连续随机变量设二维连续随机变量 的概率密度为的概率密度为),(YX 多维随机变量数字特征27 dxdyyxfyxYXE),()()( dxdyyxyfdxdyyxxf),(),( 24 47 8 5 3 4 EYEX 数学期望的性质数学期望的性质 dxdyyxfxyXYE),()()( 2 0 1 0 2 )31( 2 1 2 1 dyyyxdxx 6 5 8 5 3 4 EYEX 注意注意: :

20、相互独立相互独立YX, 多维随机变量数字特征28 dxdyyxf x y X Y E),( 2 0 1 0 2 )31( 2 1 2 1 dyyydx 8 5 3. 数学期望的简单应用数学期望的简单应用 市场上对某种产品每年的需求量为市场上对某种产品每年的需求量为X 吨吨 ， X U 2000,4000 , 每出售一吨可赚每出售一吨可赚3万元万元 , 售不出去，则每吨需仓库保管费售不出去，则每吨需仓库保管费1万元，问万元，问 应该生产这中商品多少吨应该生产这中商品多少吨, 才能使平均利润才能使平均利润 最大？最大？ 例例13 多维随机变量数字特征29 解解 其它其它, 0 ,40002000,

21、 2000 1 )( x xf X 设每年生产设每年生产 y 吨的利润为吨的利润为 Y ，2000 y 4000 xyyx xyy xg ,4 ,3 )( XyXyX Xyy XgY , 1)(3 ,3 )( 多维随机变量数字特征30 )140004( 2000 1 y dy dEY 0 令令 0 2000 4)( 2 2 dy YEd 故故 y = 3500 时，时，EY 最大，最大， EY = 8250万元万元 )108140002( 2000 1 62 yy 4000 2000 2000 1 3 2000 1 )4( y y dxydxyx dxxfxgEY X )()( 多维随机变量数

22、字特征31 为普查某种疾病为普查某种疾病, n 个人需验血个人需验血, 可采用两种可采用两种 方法验血：方法验血： 分别化验每个人的血分别化验每个人的血, 共需化验共需化验 n 次；次； 将将 k 个人的血混合在一起化验，若化验结个人的血混合在一起化验，若化验结 果为阴性果为阴性, 则此则此 k 个人的血只需化验一次；个人的血只需化验一次； 若为阳性若为阳性, 则对则对 k 个人的血逐个化验，找个人的血逐个化验，找 出有病者出有病者, 这时这时 k 个人的血需化验个人的血需化验 k + 1 次次. 设某地区化验呈阳性的概率为设某地区化验呈阳性的概率为 p，且每个，且每个 人是否为阳性是相互独立

23、的人是否为阳性是相互独立的. 试说明选择哪一试说明选择哪一 (1)种方法可以减少化验次数种方法可以减少化验次数. 验血方案的选择验血方案的选择 多维随机变量数字特征32 解解 为简单计，设为简单计，设 n 是是 k 的倍数，的倍数， 设共分成设共分成 n / k 组组 第第 i 组需化验的次数为组需化验的次数为X i kp 1 k p 11 Xi P 1 k + 1 11)1(1 kk i pkpEX kpkk 1)1( 多维随机变量数字特征33 k n i i EXEX 1 k pkk k n 1)1( k pn k 1 )1(1 , 0 1 )1( k p k 若若则则EX n 例如，例如

24、， 100001100 10 1 999. 0110000 ,10,001. 0,10000 10 EX kpn 多维随机变量数字特征34 1定义定义, )(xFX 的的分分布布函函数数为为设设连连续续型型随随机机变变量量 则满足条件则满足条件 2 1 )()( mFmXP 的的或或分分布布函函数数称称为为的的数数)(xFXm中位数中位数 中位数的优点：中位数的优点： 而而期期望望则则不不然然或或特特别别小小的的值值影影响响很很小小 且且受受个个别别特特别别大大具具有有代代表表性性 , , 中中位位数数、众众数数和和分分位位点点4.2 多维随机变量数字特征35 2定义定义 的的是随机变量是随机

25、变量称称 如果如果设设 X pXPpXP p p pp 1)(,)( ,10 分分位位点点（上上侧侧分分位位点点）p 的的是随机变量是随机变量称称 同理如果满足条件同理如果满足条件 X pXPpXP p pp 1)(,)( 分位点分位点下侧下侧 p 数数的的转转化化公公式式：上上侧侧分分位位数数与与下下侧侧分分位位 pppp 11 , 多维随机变量数字特征36 3定义定义 的的为为的的数数值值 称称满满足足为为 其其概概率率密密度度是是连连续续型型随随机机变变量量若若 Xm xfmf xf X x 0 0 )(sup)( , )( ,)1( 众数众数 的的为为的的数数值值 ，称称满满足足为为

26、其其概概率率分分布布是是离离散散型型随随机机变变量量若若 Xm pmXP kpxXP X k x kk 0 0 max)( )2 , 1( ,)( ,)2( 众数众数 多维随机变量数字特征37 的的中中位位数数求求正正态态分分布布),( 2 N 数都是数都是由对称性知中位数、众由对称性知中位数、众 的的中中位位数数 求求，概概率率都都是是并并且且取取其其中中每每一一个个值值的的 ，的的取取值值集集合合为为设设随随机机变变量量 X X 2 1 10 例例1 解解 例例2 多维随机变量数字特征38 解解 ) 2 1 , 1( BX 1,1 10 2 1 00 )( x x x xF， ， 有有对对

27、于于任任何何,10 a 2 1 )0()( XPaXP 2 1 )1()( XPaXP 的的中中位位数数中中任任何何一一个个实实数数都都是是区区间间 由由定定义义知知 X)1 , 0( 多维随机变量数字特征39 4.3 方差方差 引例引例 检验两批灯泡的质量检验两批灯泡的质量, ,从中分别随机抽样从中分别随机抽样5 5只只, , 测得使用寿命测得使用寿命( (单位单位: :小时小时) )如下如下: : A: 2000 1500 1000 500 1000 A: 2000 1500 1000 500 1000 B: 1500 1500 1000 1000 1000 B: 1500 1500 10

28、00 1000 1000 试比较这两批灯泡质量的好坏试比较这两批灯泡质量的好坏 计算得计算得: :平均寿命分别为平均寿命分别为:A:1200 B:1200:A:1200 B:1200 观察得观察得:A:A中使用寿命偏离较大中使用寿命偏离较大,B,B中使用寿命中使用寿命 偏离较小偏离较小, ,所以所以,B,B产品质量较好产品质量较好 数学期望数学期望 方差方差 多维随机变量数字特征40 1. 方差的定义方差的定义 (X - EX)2 随机变量随机变量X 的取值偏离平均值的的取值偏离平均值的 情况情况, 是是X的函数的函数, 也是随机变量也是随机变量 E(X - EX)2 随机变量随机变量X的取值

29、偏离平均值的取值偏离平均值 的平均偏离程度的平均偏离程度 数数 定义：定义： 即即记记为为的的方方差差为为则则称称 存存在在若若是是一一个个随随机机变变量量设设 ,)( ,)(, 2 2 DXXEXXE EXXEX 2 )(EXXEDX 方方差差 DX)(标标准准差差均均方方差差 注注: 方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度 多维随机变量数字特征41 , 2 , 1,)( kpxXP kk 若若 X 为离散型随机变量，概率分布为为离散型随机变量，概率分布为 k kk pEXxDX 2 若若 X 为连续型随机变量，概率密度为为连续型随机变量，概率密度为f

30、(x) dxxfEXxDX)( 2 常用的计算方差的公式：常用的计算方差的公式： 22 )(EXEXDX 多维随机变量数字特征42 2. 方差的性质方差的性质 为常数）为常数）CDC(0)1( DXCCXD 2 )()2( DYDXYXD YX )( ,)3(则则变变量量是是两两个个相相互互独独立立的的随随机机设设 1)(, )( 10)4( CXPEXC CXDX 即即这这里里 取取常常数数以以概概率率的的充充要要条条件件是是 )()()()5( 22 为为任任意意常常数数aaEXaXEDX 多维随机变量数字特征43 例例1 设设 X P ( ), 求求 DX 解解 0 ! k k k e

31、kEX 1 1 )!1( k k k e EXXXEEX )1( 2 ! ) 1()1( 0 k e kkXXE k k 2 2 2 2 )!2( k k k e 22 EX 22 )(EXEXDX 3. 方差的计算方差的计算 多维随机变量数字特征44 例例2 设设 X B( n , p)，求，求 DX 解一解一 仿照上例求仿照上例求DX 解二解二 引入随机变量引入随机变量 n XXX, 21 发发生生次次试试验验事事件件第第 发发生生次次试试验验事事件件第第 Ai Ai X i , 0 , 1 n XXX, 21 相互独立，相互独立， ni, 2 , 1 )1(ppDX i n i i XX

32、 1 故故)1( 1 pnpDXDX n i i 多维随机变量数字特征45 解解DX 22 )(EXEX 22 ) 2 ( 1ba dx ab x b a 12 )( 2 ab 例例3 设设 X U( a , b)，求，求 DX 多维随机变量数字特征46 例例4 设设 X N ( , 2), 求求 DX 解解 dxexDX x 2 2 2 )( 2 2 1 )( dtet t t x 2 22 2 2 1 令令 2 多维随机变量数字特征47 常见随机变量的方差常见随机变量的方差 分布分布 方差方差概率分布概率分布 参数为参数为p 的的 0-1分布分布 pXP pXP 1)0( )1( p(1-

33、p) B(n,p) nk ppCkXP knkk n , 2 , 1 , 0 )1()( np(1-p) P( ) , 2 , 1 , 0 ! )( k k e kXP k 多维随机变量数字特征48 分布分布 方差方差概率密度概率密度 区间区间(a,b)上的上的 均匀分布均匀分布 其它其它, 0 , 1 )( bxa ab xf 12 )( 2 ab E( ) 其其它它, 0 , 0, )( xe xf x 2 1 N( , 2) 2 2 2 )( 2 1 )( x exf 2 多维随机变量数字特征49 RxexfX x , 2 1 )( 2 2 2 )( f(x) x0 若若固定固定,改变改

34、变, ,则则越大越大, ,曲线越平坦曲线越平坦, , 越小越小, ,曲线越陡峭曲线越陡峭 小 方差的概念直观背景也可以通过正态分布中方差的概念直观背景也可以通过正态分布中 不同不同2 2的密度曲线反映出来的密度曲线反映出来: : 多维随机变量数字特征50 解解 DX 22 )(EXEX 21 0 2 )( )( dxexx x 2 2 2 )( )2( 2 2 2 )( )()1( 2 例例5DXGX求求设设, ),( 多维随机变量数字特征51 达达到到最最小小值值时时，当当证证明明)(xfEXx ,)()( 2 RxxXExf 设设 证证 )2()()( 222 xxXXExXExf )()

35、2( 22 xExXEEX 22 2xxEXEX 022)( xEXxf 02)( x f又又 例例6 EXx 解解得得 达达到到最最小小值值时时，当当所所以以)(xfEXx DXEXXEEXf 2 )()(最最小小值值为为 多维随机变量数字特征52 例例7 已知已知X ,Y 相互独立，且都服从相互独立，且都服从 N (0,0.5), 求求 E( | X Y | ) 解解 )5 . 0 , 0(),5 . 0 , 0(NYNX 1)(, 0)( YXDYXE 故故 )1 , 0( NYX dzezYXE z 2 2 2 1 |)(| 2 2 2 2 0 2 dzez z 多维随机变量数字特征5

36、3 例例8 设设X 表示独立射击直到击中目标表示独立射击直到击中目标 n 次为止次为止 所需射击的次数，已知每次射击中靶的概所需射击的次数，已知每次射击中靶的概 率为率为 p ，求，求EX , DX 解解 令令 X i 表示击中目标表示击中目标 i - 1 次后到第次后到第 i 次击中次击中 目标所需射击的次数，目标所需射击的次数，i = 1,2, n 1, 2 , 1,)( 1 qpkpqkXP k i 1 1 1 1 k k k k i kqpkpqEX pq p 1 )1( 1 2 n XXX, 21 相互独立相互独立 ,且且 n i i XX 1 多维随机变量数字特征54 1 1 1

37、12 )1( k k k k i kpqpqkkEX p qkkpq k k 1 )1( 2 2 p x dx d pq qx k k 1 0 2 2 px pq qx 1 )1( 2 3 2 2 p p 222 112 p p pp p DX i 多维随机变量数字特征55 p n EXEX n i i 1 故故 2 1 )1( p pn DXDX n i i 多维随机变量数字特征56 例例9 0, 0 , 0,ln )(, 2 1 , 2 1 X XX XgYUX设设 求求 EY , DY 解解 dxxfxgEY X )()( 2 1 2 1 1)(dxxg 2 1 0 1lndxx 2 1

38、 2 1 ln 2 1 2 1 2ln 2 1 多维随机变量数字特征57 dxxfxgEY X )()( 22 2 1 0 2 1lndxx 2ln12ln 2 1 2 1 ln1 2 1 ln 2 1 22 22 )(EYEYDY 2 2 2 1 2ln 2 1 2ln12ln 2 1 4 3 2ln 2 1 2ln 4 1 2 多维随机变量数字特征58 标准化随机变量标准化随机变量 DX EXX X 为为 X 的标准化随机变量的标准化随机变量. 显然，显然， 1, 0 DXEX 则称则称且且 都存在都存在方差方差的期望的期望设随机变量设随机变量 ,0 , DX DXEXX 多维随机变量数字

39、特征59 仅知随机变量的期望与方差并不能确定其分布仅知随机变量的期望与方差并不能确定其分布, 例如：例如： X P -1 0 1 0.1 0.8 0.1 Y P -2 0 2 0.025 0.95 0.025 与与 2 . 0, 0 DXEX 2 . 0, 0 DYEY 它们有相同它们有相同 的期望的期望,方差方差 但是分布但是分布 却不同却不同 多维随机变量数字特征60 但若已知分布的类型及期望和方差，常能但若已知分布的类型及期望和方差，常能 确定分布确定分布 例例10 已知已知 X 服从正态分布服从正态分布, EX = 1.7, DX = 3, Y = 1 2 X , 求求 Y 的密度函数

40、的密度函数 解解 1234 , 4 . 27 . 121 DY EY y eyf y Y , 62 1 )( 24 )4 . 2( 2 多维随机变量数字特征61 例例11 已知已知 X 的密度函数为的密度函数为 其它其它, 0 , 10, )( 2 xBxAx xf 其中其中 A ,B 是常数，且是常数，且 EX 求求 A ,B 设设 Y = X 2, 求求 EY ,DY 多维随机变量数字特征62 解解 (1) 1)()( 1 0 2 dxBxAxdxxf 2 1 )()( 1 0 2 dxBxAxxdxxxf 2 1 34 1 23 BA BA 6 6 B A 多维随机变量数字特征63 (2

41、) 10 3 )66( )( 1 0 22 2 2 dxxxx dxxfx EXEY 7 1 )66( )( 1 0 24 4 42 dxxxx dxxfx EXEY 700 37 )( 22 EYEYDY 多维随机变量数字特征64 4.4 协方差及相关系数协方差及相关系数 问题问题 对于二维随机变量对于二维随机变量(X ,Y ): 已知联合分布已知联合分布边缘分布边缘分布 这说明对于二维随机变量，除了每个这说明对于二维随机变量，除了每个 随机变量各自的概率特性以外，相互之间随机变量各自的概率特性以外，相互之间 可能还有某种联系可能还有某种联系. 问题是用一个什么样问题是用一个什么样 的数去反

42、映这种联系的数去反映这种联系. )(EYYEXXE 数数 反映了随机变量反映了随机变量X ,Y 之间的某种关系之间的某种关系 多维随机变量数字特征65 定义定义 称称 为为X ,Y 的协方差的协方差 ，记为，记为 )(),(EYYEXXEYXCov 1. 协方差和相关系数的定义协方差和相关系数的定义 DYDX YXCov XY ),( 为为X ,Y 的的 相关系数相关系数 若若, 0 XY 称称 X ,Y 不相关不相关 )(EYYEXXE 称称 多维随机变量数字特征66 则则若若特特别别地地,YX DXEXXEXXCov 2 )(),( 因此因此, ,方差是协方差的特例方差是协方差的特例 协方

43、差刻画两个随机变量之间的协方差刻画两个随机变量之间的“某种某种”关系关系 可以证明可以证明 若若(X,Y)服从二维正态分布服从二维正态分布, 即即 则则 ),(),( 2 22 2 11 NYX 21 ),( YXCov 21 21 ),( DYDX YXCov XY 多维随机变量数字特征67 若若 ( X ,Y ) 为离散型，为离散型， ij ij ji pEYyEXxYXCov 11 )(),( 若若 ( X ,Y ) 为连续型，为连续型， dxdyyxfEYyEXxYXCov),()(),( )(),(EYYEXXEYXCov 多维随机变量数字特征68 由定义可得由定义可得 ),(2)(

44、YXCovDYDXYXD EXEYXYEYXCov )(),( 协方差的性质：协方差的性质： ),(),()1(XYCovYXCov 为常数为常数ba XYCovabbYaXCov , ),(),()2( ),(),( ),()3( 21 21 YXCovYXCov YXXCov 计算协方差计算协方差 的常用公式的常用公式 多维随机变量数字特征69 相相关关系系数数的的性性质质： 1|)1( XY 则则若若,)2(baXY 10 10 XY XY a a ，时时 ，时时 1)(1)3( baXYP XY 0,)4( XY YX 则则相相互互独独立立若若 注注: 密密切切程程度度 之之间间的的线

45、线性性关关系系的的的的大大小小反反映映了了YX XY , 之间无线性关系之间无线性关系时时YX XY ,0 之之间间具具有有线线性性关关系系时时YX XY ,1 多维随机变量数字特征70 不相关不相关与与YX 0 XY 0),( YXCovEXEYXYE )( 注注: : 显然显然 相关相关 YX XY ,0 YX XY ,0 不相关不相关 YX XY ,0 正相关正相关 YX XY ,0 负相关负相关 ),1(YX XY 完全正相关完全正相关 ),1(YX XY 完全负相关完全负相关 独独立立YX, 独独立立不不相相关关不不一一定定有有YXYX, 不不相相关关独独立立 则则服服从从二二维维正正态态分分布布若若 YXYX YX , ,),( 多维随机变量数字特征71 求求 Cov (X ,Y ), XY 1 0 p q X P 1 0 p q Y P 例例1 已知已知 X ,Y 的联合分布为的联合分布为 X Y 1 0 1 0 p 0 0 q 0 p 1 p + q = 1 解解 1 0 p q X Y P 多维随机变量数字特征72 pqDYpqDX pEYpEX , , pXYE )( 1 ),( )(),( DYDX YXCov pqEXEYXYEYXCov XY 多维随机变量数字特征73 例例2 设设 ( X ,Y ) N ( 1, 12, 2, 22, ), 求求 X