点集拓扑学教学讲义

1、23 邻域与邻域系定义2.3.1 设（X，T）是一个拓扑空间，UX，满足条件：VT使得，则称U是点的一个邻域. 点的所有邻域构成的X的子集族，称为的邻域系.若U为包含点的一个开集，则U一定是点的一个邻域，此时称U是点的一个开邻域.定理2.3.1 拓扑空间X的一个子集U是开集，U是点的一个邻域.证明：“”显然. “”若U=，则U为开集.下设U，由条件，对，开集使得U，因此U=，故U=，故U 是一个开集.以下定理2.3.2概括了邻域系的基本性质.定理2.3.2 设X是一个拓扑空间，设为的邻域系，则（1） 对，若U，则.（2） 若U，V，则UV.（3） 若U，UV，则V.（4） 如果U，则存在V满足

2、条件（）VU，（）V，有V.证明：（1）对，由X为一个开集，所以X，因此.再由邻域的定义，一个点的邻域必包含这个点本身. （2）设U，V，则开集使得U.V，从而UV，由是一个开集，故UV. （3）设U，由UV，则存在开集，使得U.从而V，因此V. （4）设U，令V为满足条件VU的任何一个开集，则V已满足（），再由定理2.3.1，V也满足（）.定理2.3.3 设X是一个集合，又设对于每一点指定了X的一个子集族，并且它们满足定理2.3.2中的条件（1）（4），则X有惟一的一个拓扑T使得对于每一点，子集族恰好是点心拓扑空间（X，T）中的邻域系.定义2.3.2 设X，Y是两个拓扑空间，如果的每一个邻域

3、U的原象是的一个邻域，则称是一个在点处连续的映射.简称在点处连续.定理2.3.4 设X，Y和Z都是拓扑空间，则（1） 恒等映射在每一点处连续，（2） 如果在点处连续，在处连续，则点处连续. 定理2.3.5 设X，Y是两个拓扑空间， 则映射连续对映射在点处连续.证明：“”设连续，若U是的一个邻域，则存在开集V使得，于是，其中是一个开集，从而是的一个邻域，故在点处连续.“” 设 对 ，在点处连续，若UY是一个开集，则对 ，U是的一个邻域，因此对，是的一个邻域，因此是一个开集，从而连续.25 内部 边界定义 2.5.1 设X是一个拓扑空间，AX，如果A是点的一个邻域，则称点是集合A的一个内点，集合A

4、的所有内点构成的集合称为A的内部，记为.定理2.5.1设X是一个拓扑空间，AX，则=，因此=.证明：设，则A是点的一个邻域，由于A=，所以，即.于是.反之，若，即，亦即有一个邻域V，使得V=，从而VA，于是A也是的一个邻域，从而，于是.综上所述. =.欲证第二个等式，将代换成第一个式中的A，并将所得到的等式两边取补集即可.以下定理2.5.2定理2.5.5可视为与定理2.4.4定理2.4.7完全对偶的一组定理.定理2.5.2 拓扑空间X的子集A是开集=.定理2.5.3 设X是一个拓扑空间，则对于任意A，BX有 （1）=X； （2）A； （3）=； （4）=.定理2.5.4 X是一个拓扑空间，AX

5、，则为开集.定理2.5.5 设X是一个拓扑空间，T是X的拓扑，则对于X的每个子集A，有=注：由定理2.5.5易见，一个集合的内部是包含于这个集合的最大的开集.定义2.5.2 设X是一个拓扑空间，AX，点 ，如果满足条件：对点的任意一个邻域U，UA，U，则称为集合A的一个边界点.集合A的全体边界点构成的集合称为A的边界，记为.定理2.5.6 设X是一个拓扑空间，AX，则=；= =； =.证明：在定理2.5.1中已证=，= ，即对点的任意一个邻域U，UA，U，即且，亦即=.以下证明剩下的等式.=；=X=；=.作业：.4，5，626 基与子基定义2.6.1 设（X，T）是一个拓扑空间，是T的一个子族

6、，如果UT，使得U=，则称是拓扑T的一个基，或者称是拓扑空间X的一个基.定理2.6.1 度量空间中所有球形邻域构成的集族是这个度量空间作为拓扑空间的一个基.例：对实数空间R，所有开区间构成的族是R的一个基，对离散空间，由所有单点子集构成的族是它的一个基.以下是定理2.6.2易于用来判定一个开集族为给定拓扑的基.定理2.6.2 设（X，T）是一个拓扑空间，T，则为X的一个基当且仅当对X和的每个邻域，存在使得.证明：“”若为X的一个基，则对X和的每个邻域，存在的一个开邻域使得，由是一个开集，由基的定义，使得=，于是由知存在，使得=；“”若U是X中的一个开集，则U，由U为的一个开邻域，故存在使得，于

7、是U=U，因此U=，于是为X的一个基.定理2.6.3 设X是一个集合，是集合X的一个子集族，若满足：（1）；（2） 若，则对于，存在B使得B，则X的子集族T=是集合X的惟一的一个以为基的拓扑；反之，如果X的一个子集族是X的某一个拓扑的基，则一定满足条件（1），（2）.例261 实数下限拓扑空间.考虑实数集合R，令=.易验R的子集族满足定理2.6.3中条件（1），（2），因此为R的某一个拓扑的基，拓扑称为R的下限拓扑.（R，）称为实数下限拓扑空间，简记为.它与通常实数空间有很大区别，记R的通常拓扑T，易证T，T.定义2.6.2 设（X，T）是一个拓扑空间， 是T的一个子族，如果=是拓扑T的一个基

8、，则称是拓扑T的一个子基，或称集族是拓扑空间X的一个子基.例2.6.2实数空间R的一个子基。实数集R的一个子集族=是R的一个子基.定理2.6.4 设X是一个集合，是X的一个子集族，如果X=，则X有惟一的一个拓扑T以为子基，并且若令=，则T=.证，易验满足定理2.6.3中条件（1），（2），因此是T的一个基，所以是T的一个子基.若是X的一个拓扑，它以为一个子基，则以为基，由定理2.6.3知，=T.定理2.6.5 设X，Y为两个拓扑空间，：XY，则以下等价：（1）连续； （2）Y有一个基，使对B，是X中一个开集；（3）Y有一个子基，使对S，X中一个开集.定义2.6.3 设X是一个拓扑空间，X，记为

9、的邻域系，的子族满足条件：对，V使得VU，则称是点的邻域系的一个基，或简称为点的一个邻域基，的子族若满足条件：是的一个邻域基，则称是点的邻域系的一个子基，或简称为点的一个邻域子基.例，在度量空间中以某一点为中心的全体球形邻域是此点的一个邻域基.定理2.6.6 设X和Y为两个拓扑空间，：XY，X，则以下等价： （1）在点连续； （2）有一个邻域基，使得对V，是的一个邻域； （3）有一个邻域子基，使得对W，是的一个邻域.定理2.6.7 设X是一个拓扑空间，X，则（1） 如果是X的一个基，则是点的一个邻域基；（2） 如果是X的一个子基，则是点的一个邻域子基.作业 1.2.4.5.第三章 子空间，（有

10、限）积空间，商空间31子空间定义3.1.1 设（X，）是一个度量空间，YX，易验：是Y的一个度量，称Y的度量是由度量诱导出来的，度量空间（Y，）称为（X，）的一个度量子空间.定理3.1.1 设Y是度量空间X的一个度量子空间，则UY是Y的一个开集存在开集VX使得U=VY.证明：“”，0，有=Y，设UY为Y中一个开集，由于Y的所有球形邻域构成的族是Y的拓扑的一个基，所以存在Y中一个球形邻域族有U=Y设V=，它为X中一个开集，且有U=VY“”设U=VY，其中V是X中一个开集，若，则，于是在X中存在的一个球形邻域V，易见=YU，所以U是Y中的一个开集.定义3.1.2 设是一个集族，Y为一个集合，集族称

11、为集族在集合Y上的限制，记为.引理3.1.2 设Y是拓扑空间（X，T）的一个子集，则集族 是Y的一个拓扑.定义3.1.3 设Y是拓扑空间（X，T）的一个子集，Y的拓扑称为相对拓扑；拓扑空间（Y，）称为（X，T）的一个（拓扑）子空间.定理3.1.3 设Y是度量空间X的一个度量子空间，则X与Y都考虑作为拓扑空间时，Y是X的一个（拓扑）子空间。定理3.1.4 设X，Y，Z都是拓扑空间，Y是X的一个子空间，Z是Y的一个子空间，则Z是X的一个子空间.定理3.1.5 设Y是拓扑空间X的一个子空间，则（1） 分别记T和为X和Y的拓扑，则=；（2） 分别记F和为X和Y的全体闭集族，则=；（3） 分别记和为点在

12、X和Y中的的邻域系，=.证明：（1）由定义. （2）=（3）设U，则V使得VU，因此存在T，使得V=Y，令=U，由，故，且Y=VU=U，所以U，从而，类似可证.定理3.1.6 设Y是拓扑空间X的一个子空间，AY，则（1） A在Y中的导集是A在X中导集与Y的交；（2） A在Y中的闭包是A在X中的闭包与Y的交.定理3.1.7设Y是拓扑空间X的一个子空间，则（1） 如果是拓扑空间X的一个基，则是Y的一个基；（2） 如果是点在X中的一个邻域基，则是在Y中的一个邻域基.定义3.1.4 设X，Y为两个拓扑空间，：XY，称为一个嵌入，如果它是一个单射，并且是从X到它的象的一个同胚，如果存在一个嵌入：XY，则

13、称X可嵌入到Y中.作业： 1.4.6.93.2 （有限）积空间定义3.2.1 设，是1个度量空间，令X=，定义：XXR使得，X 易证为X上一个度量，称为X上的积度量，称为个度量空间，的度量积空间.例 就是个实数空间R的度量积空间.定理3.2.1 设，是1个度量空间是1个度量空间，是其积空间，又设和T分别是由度量和诱导出来的和X的拓扑，其中，则X的子集族=是X的拓扑T的一个基.证：就的情形证明.首先易证：对=，有其中表示在度量空间中以为中心，以为半径的球形邻域，以下证T设，若=，则，故，这里，故是的一个邻域.由于的任意性，是X的一个开集，于是T，UT，则U，U，从而，从而U=，综上为T的一个基.

14、定理3.2.2 设，是1个拓扑空间，则X=有唯一的一个拓扑T以X的子集族为它的一个基.定义3.2.2 设，是1个拓扑空间，则X=有唯一的一个拓扑T以X的子集族为它的一个基，那个惟一拓扑T称为积拓扑.拓扑空间称为，的（拓扑）积空间.定理3.2.3 设X=是1个度量空间的度量积空间，则将X和诸都考虑作为拓扑空间时，X是的（拓扑）积空间.特别地，作为拓扑空间，是个实数空间R的（拓扑）积空间.定理3.2.4 设X=是1个拓扑空间的积空间，对于每个i，有一个基，则是X的一个基.证明：设为的拓扑，令如积拓扑定义中的那个基，设，其中，由于是的一个基，故对每个，存在使得，于是=，其中.例321 中所有开方体，

15、构成的一个基，特别地，有一个由所有开矩形构成.定理3.2.5设X=是1个拓扑空间的积空间，令T为X的拓扑，为的拓扑，则X以它的子集族为它的一个子基，其中：X为X到的投影.定义3.2.3 设X，Y为两个拓扑空间，映射：XY称为一个开映射（闭映射），如果对X中任一开集（闭集）U，像集是Y中一个开集（闭集）.定理3.2.6 设X=是1个拓扑空间的积空间，则对每一个，投影：X是一个满的连续开映射.例322 投影可以不是闭映射.考虑：，B=是中的一个闭集，但却不是R中的闭集.定理3.2.7 设X=为积空间，Y也是一个拓扑空间，则：YX连续对每个，映射：Y连续，其中：X为投影.证明：“”由定理3.2.6，

16、每个连续，所以当连续时，连续.“” 假设对每个，：Y连续，X的子基中的每一个元素的原像=是Y中一个开集，所以由定理2.6.5，连续.定理3.2.8设X=为积空间，T为X的拓扑，又设是X的某一拓扑满足条件：对而言，：X是连续映射，则T.即积拓扑是使每个投影：X都连续的最小拓扑.定理3.2.9设是2个拓扑空间，则积空间同胚于积空间.作业 1 2 4 6 733 商空间定义3.3.1 设（X，T）是一个拓扑空间，Y是一个集合，：XY是一个满射，易验Y的子集族=是Y的一个拓扑，称为Y的（相对于满射而言的）商拓扑.定理3.3.1设（X，T）是一个拓扑空间，Y是一个集合，：XY是一个满射，则（1） 若为Y的商拓扑，则：XY连续；（2） 若是Y的一个拓扑，使得对于这个拓扑而言是连续的，则. 即商拓扑是使连续的最大的拓扑.证明.(1)由定义立得. (2)若U,由对连续，故，因此U，所以.定义3.3.2 设X，Y为拓扑空间，：XY，称为一个商映射，如果它是一个满射并且Y的拓扑是对而言的商拓扑.定理3.3.2 设X，Y，Z都是拓扑空间，且：XY是一个商映射，则：YZ连续：X