高三数学事件与概率

1、 1.某市气象预报说某市气象预报说,明天本市降水概率为明天本市降水概率为 80%,下面的解释中观点正确的是（下面的解释中观点正确的是（ ） A.明天本市明天本市80%的区域下雨的区域下雨,20%的区域的区域 不下雨不下雨 B.明天本市下雨的可能性为明天本市下雨的可能性为80% C.明天本市有明天本市有80%的时间下雨的时间下雨,20%的时的时 间不下雨间不下雨 D.气象台的专家中气象台的专家中,有有80%的专家认为会的专家认为会 下雨下雨,另外另外20%的专家认为不会下雨的专家认为不会下雨 B 降水概率为降水概率为80%指的是下雨的可能指的是下雨的可能 性为性为80%,故选故选B. 易错点易错

2、点:对概率的误解对概率的误解.“概率为概率为80%” 是指是指“降水降水”这个随机事件发生的概率这个随机事件发生的概率. 2.从从6个男生、个男生、2个女生中任选个女生中任选3人人,则下列则下列 事件中必然事件是（事件中必然事件是（ ） A.3个都是男生个都是男生B.至少有至少有1个男生个男生 C.3个都是女生个都是女生D.至少有至少有1个女生个女生 因为只有因为只有2个女生个女生,任选任选3人人,则至则至 少有少有1人是男生人是男生,选选B. B 3.从装有两个红球和两个黑球的口袋内任从装有两个红球和两个黑球的口袋内任 取两个球取两个球,那么互斥而不对立的两个事件是那么互斥而不对立的两个事件

3、是 （ ） A.“至少有一个黑球至少有一个黑球”与与“都是黑球都是黑球” B.“至少有一个黑球至少有一个黑球”与与“至少一个红球至少一个红球” C.“恰有一个黑球恰有一个黑球”与与“恰有两个黑球恰有两个黑球” D.“至少有一个黑球至少有一个黑球”与与“都是红球都是红球” 由互斥、对立事件的含义可知由互斥、对立事件的含义可知,选选C. 易错点易错点:互斥事件与对立事件的区别互斥事件与对立事件的区别. C 4.一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破 碎的概率碎的概率,公司收集了公司收集了20000部汽车部汽车,时间是从某时间是从某 年的年的5月月1日到下一年的日到下一

4、年的5月月1日日,共发现有共发现有600部部 汽车的挡风玻璃破碎汽车的挡风玻璃破碎,则一部汽车在一年时间则一部汽车在一年时间 里挡风玻璃破碎的概率近似为里挡风玻璃破碎的概率近似为. 频率为频率为又试验的次又试验的次 数比较多数比较多,概率近似于频率概率近似于频率,填填0.03. 0.03 600 0.03 20000 ， 5.某家庭电话某家庭电话,打进的电话响第一声时被接打进的电话响第一声时被接 的概率为的概率为,响第二声时被接的概率为响第二声时被接的概率为,响第响第 三声时被接的概率为三声时被接的概率为,响第四声时被接的概响第四声时被接的概 率为率为,则电话在响前四声内被接的概率为则电话在响

5、前四声内被接的概率为 . 四个事件为彼此互斥事件四个事件为彼此互斥事件,所以电所以电 话在响前四声内被接的概率为话在响前四声内被接的概率为 1 10 3 10 2 5 1 10 9 10 13219 . 101051010 1.随机事件和确定事件随机事件和确定事件 (1)必然事件必然事件:在条件在条件S下下,一定会发生的事一定会发生的事 件件,叫相对于条件叫相对于条件S的必然事件的必然事件; (2)不可能事件不可能事件:在条件在条件S下下,一定不会发生一定不会发生 的事件的事件,叫相对于条件叫相对于条件S的不可能事件的不可能事件; (3)确定事件确定事件:必然事件和不可能事件统称必然事件和不可

6、能事件统称 为相对于条件为相对于条件S的确定事件的确定事件; (4)随机事件随机事件:在条件在条件S下下,可能发生也可能可能发生也可能 不发生的事件不发生的事件,叫相对于条件叫相对于条件S的随机事件的随机事件. 2.频数与频率频数与频率 在相同的条件在相同的条件S下重复下重复n次试验次试验,观察某观察某 一事件一事件A是否出现是否出现,称称n次试验中事件次试验中事件A出现出现 的次数的次数nA为事件为事件A出现的频数出现的频数;称事件称事件A出现出现 的比例的比例fn(A)= 为事件为事件A出现的频率出现的频率. 3.概率概率 对于给定的随机事件对于给定的随机事件A,如果随着试验次如果随着试验

7、次 数的增加数的增加,事件事件A发生的频率发生的频率fn(A)稳定在某个稳定在某个 常数上常数上,把这个常数记作把这个常数记作P(A),称为事件称为事件A的的 概率概率. A n n 4.事件的关系与运算事件的关系与运算 (1)包含关系包含关系:对于事件对于事件A与事件与事件B,如果事如果事 件件A发生发生,则事件则事件B一定发生一定发生,这时称事件这时称事件B包含包含 事件事件A(或称事件或称事件A包含于事件包含于事件B),记作记作BA或或 AB. (2)相等关系相等关系:若若BA,且且AB,那么称事件那么称事件 A与事件与事件B相等相等,记作记作A=B. (3)并事件并事件:若某事件发生当

8、且仅当事件若某事件发生当且仅当事件A 发生或事件发生或事件B发生发生,则称此事件为事件则称此事件为事件A与事件与事件 B的并事件的并事件(或和事件或和事件),记作记作AB(或或A+B). (4)交事件交事件:若某事件发生当且仅当事件若某事件发生当且仅当事件A 发生且事件发生且事件B发生发生,则称此事件为事件则称此事件为事件A与事件与事件 B的交事件的交事件(或积事件或积事件),记作记作AB(或或AB). (5)互斥事件互斥事件:若若AB为不可能事件为不可能事件,即即 AB=,那么称事件那么称事件A与事件与事件B互斥互斥,其含义是其含义是: 事件事件A与事件与事件B在任何一次试验中不会同时发在任

9、何一次试验中不会同时发 生生. (6)对立事件对立事件:若若AB为不可能事件为不可能事件,AB 为必然事件为必然事件,那么称事件那么称事件A与事件与事件B互为对立事互为对立事 件件,其含义是其含义是:事件事件A与事件与事件B在任何一次试验中在任何一次试验中 有且仅有一个发生有且仅有一个发生. 5.概率的几个基本性质概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围为概率的取值范围为0P(A)1; (2)必然事件的概率为必然事件的概率为1; (3)不可能事件的概率为不可能事件的概率为0; (4)互斥事件概率的加法公式互斥事件概率的加法公式:如果事件如果事件A与与 事件事件B互斥互斥,满足加法公式满足加法公

10、式:P(A+B)=P(A)+P(B); 特别地特别地,若事件若事件A与与B为对立事件为对立事件,则则AB为必然为必然 事件事件,所以所以P(AB)=P(A)+P(B)=1,于是有于是有P(A)=1- P(B). 重点突破重点突破:随机事件及概率随机事件及概率 盒中装有盒中装有4只白球和只白球和5只黑球只黑球,从中任从中任 意取出一只球意取出一只球 ()“取出的球是黄球取出的球是黄球”是什么事件是什么事件?它的它的 概率是多少概率是多少? ()“取出的球是白球取出的球是白球”是什么事件是什么事件?它的它的 概率是多少概率是多少? ()“取出的球是白球或黑球取出的球是白球或黑球”是什么事是什么事

11、件件?它的概率是多少它的概率是多少? 可根据随机事件、必然事件、可根据随机事件、必然事件、 不可能事件这三种事件的分类标准进行判断不可能事件这三种事件的分类标准进行判断. ()因为盒中只装有因为盒中只装有4只白球和只白球和5只只 黑球黑球,所以所以“取出的球是黄球取出的球是黄球”在题设条件下在题设条件下 根本不可能发生根本不可能发生,因此因此,它是不可能事件它是不可能事件,它的概它的概 率是率是0. ()“取出的球是白球取出的球是白球”是随机事件是随机事件,它的它的 概率是概率是. ()“取出的球是白球或黑球取出的球是白球或黑球”在题设条在题设条 件下必然发生件下必然发生,因此因此,它是必然事

12、件它是必然事件,它的概率为它的概率为 1. 4 9 判断一个事件是必然事件、不可判断一个事件是必然事件、不可 能事件、随机事件的依据是在一定的条件下能事件、随机事件的依据是在一定的条件下, 所要求的结果是一定出现、不可能出现或可所要求的结果是一定出现、不可能出现或可 能出现、可能不出现能出现、可能不出现.随机事件发生的概率等随机事件发生的概率等 于事件发生所包含的结果数与该试验包含的于事件发生所包含的结果数与该试验包含的 所有结果数的比所有结果数的比. 在在12件瓷器中件瓷器中,有有10件一级件一级 品品,2件是二级品件是二级品,从中任取从中任取3件件: ()“3件都是二级品件都是二级品”是什

13、么事件是什么事件? ()“3件都是一级品件都是一级品”是什么事件是什么事件? ()“至少有一件是一级品至少有一件是一级品”是什么事是什么事 件件? ()因为因为12件瓷器中件瓷器中,只有只有2件二级件二级 品品,取出取出3件都是二级品是不可能发生的件都是二级品是不可能发生的,故是故是 不可能事件不可能事件. ()“3件都是一级品件都是一级品”在题设条件下是在题设条件下是 可能发生也可能不发生的可能发生也可能不发生的,故是随机事件故是随机事件. ()“至少有一件是一级品至少有一件是一级品”是必然事件是必然事件. 因为因为12件瓷器中只有件瓷器中只有2件二级品件二级品,取三件必有取三件必有1 件一

14、级品件一级品. 重点突破重点突破:互斥事件的概率互斥事件的概率 一个盒子中有一个盒子中有10个完全相同的球个完全相同的球,分别标分别标 以号码以号码1,2,10,从中任取一球从中任取一球,求求: ()球的标号数不大于球的标号数不大于3的概率的概率; ()球的标号数是球的标号数是3的倍数的概率的倍数的概率; ()球的标号数为质数的概率球的标号数为质数的概率. 可考虑利用互斥事件的概率加法公可考虑利用互斥事件的概率加法公 式式. ()设球的标号数不大于设球的标号数不大于3的事件为的事件为A, 球的标号数不大于球的标号数不大于3包括三种情形包括三种情形,即球的标即球的标 号数分别为号数分别为1,2,

15、3. ()设球的标号数是设球的标号数是3的倍数的事件为的倍数的事件为B, 球的标号数是球的标号数是3的倍数包括球的标号数为的倍数包括球的标号数为3 6,9三种情况三种情况, 1113 (). 10101010 P A , 1113 (). 10101010 P B ()设球的标号数为质数的事件为设球的标号数为质数的事件为C, 球的标号数为质数包括四种情况球的标号数为质数包括四种情况,即球的即球的 标号为标号为2,3,5,7, 运用互斥事件的概率加法公式解题运用互斥事件的概率加法公式解题 时时,要把一个事件分拆为几个互斥事件要把一个事件分拆为几个互斥事件,应注意应注意 考虑周全考虑周全,不重不漏

16、不重不漏.本题解决过程中本题解决过程中,要注意分要注意分 类讨论和化归与转化思想的运用类讨论和化归与转化思想的运用. 111142 . 10101010105 P C 一盒中装有一盒中装有12只球只球,其中其中5个红个红 球、球、4个黑球、个黑球、2个白球、个白球、1个绿球个绿球.从中随机取从中随机取 出出1球球,求求: ()取出取出1球是红球或黑球的概率球是红球或黑球的概率; ()取出的取出的1球是红球或黑球或白球的概率球是红球或黑球或白球的概率. 记任取记任取1球为红球是事件球为红球是事件A1,任取任取1 球是黑球为事件球是黑球为事件A2,任取任取1球是白球为事件球是白球为事件A3,任任

17、取取1球是绿球为事件球是绿球为事件A4, 1234 5421 (),(),(),(). 12121212 P AP AP AP A 则则 解法解法1(利用互斥事件求概率利用互斥事件求概率) 根据题意知根据题意知,事件事件A1,A2,A3,A4彼此互斥彼此互斥,由由 互斥事件概率公式互斥事件概率公式,得得 ()取出取出1球为红球或黑球的概率为球为红球或黑球的概率为 ()取出取出1球为红球或黑球或白球的概率球为红球或黑球或白球的概率 为为 1212 543 ()()(). 12124 P AAP AP A 123 54211 (). 12121212 P AAA 解法解法2(利用对立事件求概率的方

18、法利用对立事件求概率的方法) ()取出取出1球为红球或黑球的对立事件为取球为红球或黑球的对立事件为取 出出1球是白球或绿球球是白球或绿球,即即A1A2的对立事件为的对立事件为 A3A4,所以取出所以取出1球为红球或黑球的概率为球为红球或黑球的概率为: ()A1+A2+A3的对立事件为的对立事件为A4 所以所以 1234 213 ()1()1. 12124 P AAP AA 1234 111 ()1()1. 1212 P AAAP A 重点突破重点突破:对立事件的概率对立事件的概率 甲、乙两人下棋甲、乙两人下棋,和棋的概率为和棋的概率为12, 乙获胜的概率为乙获胜的概率为13. 求求:()甲获胜

19、的概率甲获胜的概率; ()甲不输的概率甲不输的概率. 甲、乙两人下棋甲、乙两人下棋,其结果有甲其结果有甲 胜胜,和棋和棋,乙胜三种乙胜三种,它们是互斥事件它们是互斥事件.甲获胜看甲获胜看 做是做是“和棋或乙胜和棋或乙胜”的对立事件的对立事件.“甲不输甲不输” 可看做是可看做是“甲胜甲胜”“”“和棋和棋”这两个互斥事件这两个互斥事件 的并事件的并事件,亦可看做亦可看做“乙胜乙胜”的对立事件的对立事件. ()“甲获胜甲获胜”是是“和棋或乙胜和棋或乙胜”的对立的对立 事件所以事件所以“甲获胜甲获胜”的概率的概率 ()解法解法1(利用对立事件求概率的方法利用对立事件求概率的方法): 设事件设事件A为为

20、“甲不输甲不输”,看做是看做是“乙胜乙胜”的对立的对立 事件事件, 所以所以 111 1. 236 12 ( )1. 33 P A 解法解法2(利用互斥事件求概率利用互斥事件求概率): 设事件设事件A为为“甲不输甲不输”,看做是看做是“甲胜甲胜”“和棋和棋” 这两个互斥事件的并事件这两个互斥事件的并事件, 所以甲不输的概率为所以甲不输的概率为 解决本题的关键在于将事件解决本题的关键在于将事件“甲获甲获 胜胜”看做是看做是“和棋或乙胜和棋或乙胜”的对立事件的对立事件.“甲不甲不 输输”看做是看做是“甲胜甲胜”“”“和棋和棋”这两个互斥事件这两个互斥事件 的并事件的并事件. 112 . 623 黄

21、种人群中各种血型的人所黄种人群中各种血型的人所 占比例如下占比例如下: 血型血型ABABO 该血型的人占的比例该血型的人占的比例(%)2829835 已知同种血型的人可以输血已知同种血型的人可以输血,O型血可以型血可以 输给任一种血型的人输给任一种血型的人,其他不同血型的人不能其他不同血型的人不能 互相输血互相输血,小明是小明是B型血型血,若小明因病需要输血若小明因病需要输血, 问问: ()任找一个人任找一个人,其血可以输给小明的概其血可以输给小明的概 率是多少率是多少? ()任找一个人任找一个人,其血不能输给小明的概其血不能输给小明的概 率是多少率是多少? ()对任一人对任一人,其血型为其血

22、型为A,B,AB,O 型血的事件分别记为型血的事件分别记为A,B,C,D,它们是互斥的它们是互斥的. 由已知由已知,有有: P(A)=0.28,P(B)=0.29,P(C)= 0.08,P(D)=0.35. 因为因为B、O型血可以输给型血可以输给B型血的人型血的人,故故 “可以输给可以输给B型血的人型血的人”为事件为事件BD, 根据互斥事件的加法公式根据互斥事件的加法公式, 有有P(BD)=P(B)+P(D0=0.29+ 0.35=0.64. ()解法解法1:BD的对立事件为的对立事件为AC, 所以所以P(AC)=1-P(BD)=0.36. 解法解法2:由于由于A,AB型血不能输给型血不能输给

23、B型血的人型血的人, 故故“不能输血给不能输血给B型血的人型血的人”为事件为事件AC, 且且 P ( A C ) = P ( A ) + P ( C ) = 0 28+0.08=0.36. 由于小明是由于小明是B型血型血,所以任找一人所以任找一人,其血可以其血可以 输给小明的概率为输给小明的概率为0.64,其血不能输给小明的概其血不能输给小明的概 率为率为0.36. 盒中有盒中有12张花色齐全的纸牌张花色齐全的纸牌,从中任从中任 取一张取一张,得到红桃的概率为得到红桃的概率为,得到黑桃或方片得到黑桃或方片 的概率是的概率是,得到方片或梅花的概率也是得到方片或梅花的概率也是. 则任取一张则任取一

24、张,得到梅花或黑桃的概率为多少得到梅花或黑桃的概率为多少? 1 3 5 12 5 12 由题意可知由题意可知,任抽一张得到红桃、任抽一张得到红桃、 黑桃、方片、梅花的事件为互斥事件黑桃、方片、梅花的事件为互斥事件.注意到注意到 任取一张任取一张,得到红桃这一事件与得到的是黑桃得到红桃这一事件与得到的是黑桃 或方片或梅花的事件为对立事件或方片或梅花的事件为对立事件,从而可得从而可得,任任 取一张取一张,得到的是黑桃或方片或梅花的事件的得到的是黑桃或方片或梅花的事件的 概率概率.又任取一张又任取一张,得到黑桃或方片的和事件的得到黑桃或方片的和事件的 概率、得到方片或梅花的和事件的概率是已知概率、得

25、到方片或梅花的和事件的概率是已知, 从而可求得从而可求得,任取一张任取一张,得到梅花、黑桃的概率得到梅花、黑桃的概率, 进而求得任取一张进而求得任取一张,得到梅花或黑桃的概率得到梅花或黑桃的概率. 设任抽一张得到红桃、黑桃、方设任抽一张得到红桃、黑桃、方 片、梅花的事件分别为片、梅花的事件分别为A,B,C,D,它们是互斥它们是互斥 事件事件.由条件可得由条件可得P(A)=, P(B+C)=P(B)+P(C)=, P(C+D)=P(C)+P(D)=. 由对立事件的概率公式知由对立事件的概率公式知 P(B+C+D)=1-P(A)=1-=. 故故P(D)=P(B+C+D)-P(B)-P(C)= 1

26、3 5 12 5 12 1 3 2 3 251 . 3124 又由又由,可得可得P(B)=, 所以所以P(B+D)=P(B)+P(D)=. 解决此类问题解决此类问题,应结合互斥事件应结合互斥事件 和对立事件的定义分析出是不是互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件 和对立事件和对立事件,再决定使用什么公式再决定使用什么公式,不要乱套不要乱套 公式而导致出错公式而导致出错.已知互斥事件和事件的概已知互斥事件和事件的概 率率,求互斥事件的概率是本题的本质特征求互斥事件的概率是本题的本质特征,解解 决这类问题的关键在于灵活运用函数与方决这类问题的关键在于灵活运用函数与方 程思想和化归与转化思想进

27、行解题程思想和化归与转化思想进行解题. 1 4 1 2 1.频率与概率的关系与区别频率与概率的关系与区别 (1)频率在一定程度上可以反映事件发生频率在一定程度上可以反映事件发生 的可能性的大小的可能性的大小.但频率又不是一个完全确定但频率又不是一个完全确定 的数的数,随着试验次数的不同产生的频率也可能随着试验次数的不同产生的频率也可能 不同不同,所以频率无法从根本上来刻画事件发生所以频率无法从根本上来刻画事件发生 的可能性的大小的可能性的大小.但从大量的重复试验中发现但从大量的重复试验中发现, 随着试验次数的增多随着试验次数的增多,频率就稳定在某一固定频率就稳定在某一固定 的值上的值上,频率具

28、有某种稳定性频率具有某种稳定性. (2)概率是一个常数概率是一个常数,它是频率的科学抽象它是频率的科学抽象, 当试验次数增多时当试验次数增多时,所得的频率就近似地当作事所得的频率就近似地当作事 件的概率件的概率. 2.互斥事件与对立事件的区别与联系互斥事件与对立事件的区别与联系 互斥事件与对立事件都是两个事件的关系互斥事件与对立事件都是两个事件的关系, 互斥事件是不可能同时发生的两个事件互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而对立而对立 事件除要求这两个事件不同时发生外事件除要求这两个事件不同时发生外,还要求二还要求二 者之一必须有一个发生者之一必须有一个发生.因此因此,对立事件是互斥对立事件是

29、互斥 事件的特殊情况事件的特殊情况,而互斥事件未必是对立事件而互斥事件未必是对立事件. 从集合角度来看从集合角度来看,A、B两个事件互斥两个事件互斥,则则 表示表示A、B这两个事件所含结果组成的集合这两个事件所含结果组成的集合 的交集是空集的交集是空集.对立事件是互斥事件的一种特对立事件是互斥事件的一种特 殊情况殊情况,是指在一次试验中有且仅有一个发生是指在一次试验中有且仅有一个发生 的两个事件的两个事件,集合集合的对立事件记作的对立事件记作,从集合从集合 的角度来看的角度来看,事件所含结果的集合正是全集事件所含结果的集合正是全集U 中由事件中由事件A所含结果组成集合的补集所含结果组成集合的补

30、集,即即A =U,A=,对立事件一定是互斥事件对立事件一定是互斥事件,但互但互 斥事件不一定是对立事件斥事件不一定是对立事件. A AA 3.求较复杂的事件的概率的方法求较复杂的事件的概率的方法 通常有两种方法通常有两种方法:一是将所求事件的概率一是将所求事件的概率 化成一些彼此互斥的事件的概率的和化成一些彼此互斥的事件的概率的和,若采用若采用 此方法此方法,一定要将事件分拆成若干个互斥的事一定要将事件分拆成若干个互斥的事 件件,不能重复和遗漏不能重复和遗漏;二是先求此事件的对立二是先求此事件的对立 事件的概率事件的概率,若采用此方法若采用此方法,一定要找准其对一定要找准其对 立事件立事件,否

31、则容易出现错误否则容易出现错误. 1.一个容量一个容量100的样本的样本,其数据的分组与各其数据的分组与各 组的频数如下表组的频数如下表 组组 别别 (0,10 (10,20 (20,30 (30,40 (40,50 (50,60 (60,70 频频 数数 1213241516137 则样本数据落在则样本数据落在(10,40上的频率为（上的频率为（ ） A.0.13B.0.39 C.0.52D.0.64 C 由题意可知频数在由题意可知频数在(10,40的有的有 :13+24+15=52,故样本数据落在故样本数据落在(10,40上的上的 频率为频率为=0.52,选选C. 本题以图表为背景本题以图表为背景,通过读表通过读表,进进 行数据处理行数据处理,考查统计中频率的定义及求解考查统计中频率的定义及求解 方法方法.数据处理能力是新课程高考考查的热数据处理能力是新课程高考考查的热 点点,需要引起重视需要引起重视. 52 100 2.（2008山东卷）山东卷）现有现有8名奥运会志愿名奥运会志愿 者者,其中志愿者其中志愿者A1,A2,A3通晓日语通晓日语,B1,B2,B3通通 晓俄语晓俄语,C1,C2通晓韩语通晓韩语.从中选出通晓日语、从中选出通晓日语、 俄语和韩语的志愿者各俄语和韩语的志愿者各1名名,组成一个小组组成一个小组. ()求求A1被选中的概率被选中的