不确定度教材

1、不确定度教材 不确定度教材 第一章 基本术语和概念 第二章 测量不确定度的来源 第三章 几种常见的统计分布 第四章 标准不确定度的A类评定 第五章 标准不确定度的B类评定 第六章 不确定度评定的一般程序 不确定度教材 1.1 测量不确定度 与测量结果相关联的参数，表征合理地赋予被测量值的 分散性。 在测量结果的完整表述，应包括测量不确定度。 参数值可为标准偏差或其倍数，或是说明了置信水平 的区间的半宽。 不确定度教材 1.2标准不确定度(u) 以标准偏差表示的测量不确定度称为 标准不确定度。 1.3 扩展不确定度(U) 以标准偏差的倍数表示的不确定度称 为扩展不确定度。 体现测量值分布的区间

2、不确定度教材 1.4 不确定度的A类评定 通过对观测列进行统计分析对标准不确定 度进行估算的方法。 1.5 不确定度的B类评定 通过对数据进行非统计方法处理，对标准 不确定度进行估算的一种方法。 1.6 合成标准不确定度 当测量结果是由若干个其他量的值求得时， 按其他各量的方差（和）协方差算得的标准不 确定度。协方差是相关性导致的方差。 不确定度教材 1.7 自由度（ ） 在方差计算中，和的项数减去对和的限制 数。 1.8 置信概率（P） 与置信区间或统计包含区间有关的概率值 （1-），为显著性水平。当测量值服从某 分布时，落在某区间的概率P即为置信概率。 介于（0，1）之间。 不确定度教材

3、1.9 包含因子（K） 为获得扩展不确定度，而对合成标准不确定度所乘 的数字因子。 1.10 测量结果的表达 即 U，P，K，。 包括： 被测量的最佳估计值（或约定真值） 不确定度U 置信概率P（或包含因子K） 自由度 不确定度教材 = (3-1) 最佳估计值； n 数据的个数； x 第i 个测量值； n i i x n 1 1 x x x 不确定度教材 大量独立随机变量之和，具有近似于正态的分布，而不 管个别变量的分布如何。 大量： 对于有限次测量，单次测量的实验标准偏差或样本标 准差用s表示。 （3-2） 其中： 为x的残差 第i次测量结果 n次测量结果的算术平均值 n 1 1 2 n v

4、 s n i i i i x x 不确定度教材 对于有限次测量的最佳估计值的标准偏差（或 称为平均值的实验标准偏差） s = s 为 的实验标准偏差 n s x x x 不确定度教材 l在实践中，测量不确定度可能来源于以 下十个方面： l1对被测量的定义不完整或不完善； l2实现被测量的定义的方法不理想； l3取样的代表性不够，即被测量的样本不 能代表所定义的被测量； l4对测量过程受环境影响的认识不周全， 或对环境条件的测量与控制不完善； 不确定度教材 l5对模拟仪器的读数存在人为偏移； l6测量仪器的分辩力或鉴别力不够； l7赋予计量标准的值或标准物质的值不准； l8引用于数据计算的常量和

5、其它参量不准； l9测量方法和测量程序的近似性和假定性； l10在表面上看来完全相同的条件下，被 测量重复观测值的变化。 不确定度教材 3.1正态分布(高斯分布) 概率密度函数 f（x）= exp-( )2 （ ） 为数学期望值,是正态总体的平均值. 为标准偏差，表明总体的分散程度. 是随机误差最普遍的一种分布. 当0，1时称为标准正态分布 2 1 x x 不确定度教材 l服从正态分布的测量： l重复条件或复现条件下多次测量的算术平均值 的分布； l测量值用扩展不确定度给出，而又对其没有特 殊说明时； l相互独立的分量比较多，而且大小比较接近时； l量值较大的分量能够确定接近正态分布时。 不确

6、定度教材 3.2 T分布 当测量次数有限时，呈现t分布。当 测量次数无限大时，则T分布趋向为标准 正态分布。 T分布，t 变量处于t ,+t 内 的概率为P，t 为其临界值，临界值t 用于扩展不确定度评定中作为包含因子， 即k= t 。 )( p )( p )( p )( p )( p 不确定度教材 3.3 均匀分布(矩形分布) 在区间-a，a内，量值以等概率落入，而且 落于该区间外的概率为零，则称被测量值服从 均匀分布，通常记作-a，a。服从均匀分 布的测量有： 数字式仪器的读数分辨误差， 数据计算中的舍入误差,等。 在缺乏任何其他信息的情况下，一般假设为服从均匀分布。 不确定度教材 3.4

7、 三角分布 两个独立相同均匀分布U- , 之和服 从三角分布T-a ,a。 服从三角分布: 两次测量过程数据凑整误差 两次调零不准所引起的误差等 2 a 2 a 不确定度教材 3.5其他统计分布 反正弦分布（U形分布），梯形分布等。 EMC测量中经常是U形分布。 不确定度教材 4.1概述 该类不确定度是对测量列进行统计技术计算而得。 被测量X，在重复条件或复现性条件下进行n次独 立测量，观测值X ( ) ,则 算术平均值： = ； 标准偏差S： 自由度： = n-1 i ni, 2 , 1 x n i i x n 1 1 1 1 2 n v s n i i 不确定度教材 上述实验标准偏差S表示

8、实验测量列中任 一次测量结果的标准差。 通常以独立观测列的算术平均值作为测量 结果，则测量结果的标准不确定度，即A类标 准不确定度u（平均值的实验标准偏差）s u = s = (41) x n s x 不确定度教材 最佳估计值的扩展不确定度 U Uk s 一般测量结果的置信水平定为95，对 于有限次测量可查T表得包含因子K（见 附表）。 x 不确定度教材 4.2 直接测量 例1：用游标卡尺测直径，重复测量九次， 数据见表1，求测量结果（P95） 表1 序号 123456789 5.3 5.55.25.35.15.45.35.45.2 00.2 -0.10-0.20.100.1-0.1 cmxi

9、/ cm i / 不确定度教材 表1 解: 计算 =5.3cm 计算s =0.1225cm 序号 123456789 5.3 5.55.25.35.15.45.35.45.2 00.2-0.1 00.20.100.1-0.1 cmxi/ cm i / x n i i x n x 1 1 19 9 1 2 i i s 不确定度教材 计算 的标准差 标准不确定度 计算 的扩展不确定度 以自由度 ，置信概率P95，查t分布 表（见附表）得k2.31 测量结果报告 测量结果为5.30.1cm，其中 ，P0.95 9 s sx cm0408. 0 cmsu x 0408. 0 x x skU 819 0

10、408. 031. 2U cm0942. 0 8 x 不确定度教材 4.3 间接测量 实际测量中，许多量不能直接测量，或直 接测量难以保证精度，需采用间接测量。 例:面积测量M=LW 间接测量中需考虑各被测量的相关关系。相关 性检验用于判断两个随机变量之间是否存在相 关关系。 不确定度教材 相关性检验的方法较多，主要有经验法、 观察法、相关系数检验法等 经验法：凭经验主观判断，若测量过程中的测 量条件相同或部分相同，就有理由判 断存在相关关系。 用同一仪器测量不同的测量量。 不同测量量受用一种原因的影响（例如温度）。 不确定度教材 设间接测量量y的一般函数形式为： y=f（x1 ,x2 ,x3

11、 .xn） 式中，x 为直接测量量。则y的标准合成不确定度： 式中：u 合成标准不确定度。 1. 当两个输入量是互相关联的，则： 2 2. 如两个输入量毫无关联时 2 则 i 1 11 2 2 1 )( ),(2)( N i N ij ji ji i N i i yc xxu x f x f xu x f u c 0),( ji ji xxu x f x f N i i i yc xu x f u 1 )( )( )()(2),( ji ji ji ji xuxu x f x f xxu x f x f 不确定度教材 y的有效自由度用Welch-Satterthwaite式子估算 = 其中c

12、为x 的灵敏系数。 评估扩展不确定度 扩展不确定度U eff n NN yc xucxucxuc u 4 2 4 22 1 4 11 4 )( )( . )()( i i x f i KuU yc )( %),( )( ptu effyc 不确定度教材 例2：已知长方形面积的长与宽的测量结果如下： L：3.5, 3.4, 3.3 cm W：6.3, 6.5, 6.5 cm 求面积 步骤1：建立数学模型 面积 M=LW 步骤2：确定输入量的最佳估计值 40. 3L 43.6W 不确定度教材 步骤3：评估输入量的标准不确定度 长度标准偏差： 长度的标准不确定度 长度自由度 宽度的标准偏差： 宽度的

13、自由度 13 ) 4 . 33 . 3 () 4 . 34 . 3 () 4 . 35 . 3 ( 222 S 10. 0 cm n S u058. 0 3 10. 0 2 115. 0 13 )43. 65 . 6()43. 65 . 6()43. 63 . 6( 222 w S cmuw0667. 0 2 w 不确定度教材 步骤4：评估输入量的相关关系 无相关关系 步骤5：计算测量结果 A= =3.4cm6.43cm=21.86cm 步骤6：计算合成不确定度 U = = + = = wl 2 A 2222 wl u w A u l A 2 w 2 l u 22 w ul 22 )0667.

14、 04 . 3()058. 043. 6( 190. 00154. 0139. 0 cmu A 436. 0 不确定度教材 步骤7：评估扩展不确定度 有效自由度: =3.3 置信水平95%时，查T表可得自由度为3的包含因子K为3.18 扩展不确定度 =0.436cm 3.18=1.39cm=1.4cm 步骤8.结果报告 结果报告为：21.91.4；置信水平为95%，自由度为3.3 w W l l A A uluw u 44 4 )()( )( KuU yc )( 不确定度教材 5.1 概述 B类不确定度：通过对数据进行非统计方法处理， 对标准不确定度进行估算的一种方法。 当影响量不是由重复测量

15、得来时，其标准不确定度 只能根据涉及影响量变化的全部信息来评定.B类标准 不确定度信息： 以往的测量数据 对有关材料和机器性质的了解和知识 制造商的规格 校准证书提供的数据 来自手册或某些资料的参考数据及其不确定度 基于 科学判断（专家经验判断） 信息往往也是由统计方法得来 不确定度教材 l校准证书、检定证书或其他文件提供的信息表 明被测量之值 x分散区间的半宽度为a(相当于 传统的测量误差限)，且 x落在区间( x-a，x+a) 的概率为100 ，即全部落在此范围中，通过对 其概率分布的估计可以得出，则B类标准不确 定度度为： lu(x)=a/k lk的取值与分布状态有关. 不确定度教材 评

16、估B类不确定度时经常要用到分布及其标准不 确定度的公式如下： 分布类别区间 a内 的概率 K 正态50%0.67a/0.67 68.3%1a 90%1.65a/1.65 95%1.96a/1.95 95.42a/2 99%2.58a/2.58 99.7%3a/3 矩形（均匀）100%a/ 三角形100%a/ 梯形100%2a/2 U形100%a/ )( i xu 71.0 3 6 2 3 6 2 不确定度教材 l5.2 两者区别与联系 l不确定度的A类评定由观测列统计结果的 统计分布来估计，其分布来自观测列的 数据处理，具有客观性和统计学的严格 性。这两类标准不确定度仅是估算方法 不同，不存在

17、本质差异，它们都是基于 统计规律的概率分布，都可用标准偏差 来定量表达，合成时同等对待。 不确定度教材 l只不过A类是通过一组与观测得到的频率 分布近似的概率密度函数求得。而B类是 由基于事件发生的信任度（主观概率或 称为经验概率）的假定概率密度函数求 得。对某一项不确定度分量究竟用A类方 法评定，还是用B类方法评定，应由测量 人员根据具体情况选择。特别应当指出： A类、B类与随机、系统在性质上并无对 应关系，为避免混淆，不应再使用随机 不确定度和系统不确定度。 不确定度教材 不确定度评定的一般程序如下： 步骤1、建立数学模型 y=f（x1 ,x2 ,x3 .xn） 步骤2、决定变量xi（输入量）的最佳估计值 通过统计方法或其他方法获得，如引用数值、常值 （标准数值）等 步骤3、识别不确定度的来源及评估每个输入量的标准的 不确定度 分析不确定度来源，设备/人员/环境/方法及被测 对象 按照A类评估方法或B类评估方法来，计算xi 的标准 不确定度及有效自由度 i 不确定度教材 步骤4：评估输入量之间的关联关系 步骤5：计算测量的结果 从测量量X的最佳估计值得到Y的最值估计值 Y=(X1,X2,X3Xn) 步骤6：确定合成标准不确定度 式中：u 合成标准不确定度 该式适用于函数f是线性的 1 11 2 2 1 )( ),(2)( N i N ij ji ji i