复积分的计算方法综述-乐山师范学院

1、乐山师范学院毕业论文（设计）复积分的计算方法综述 王攀茜数学与信息科学学院 数学与应用数学 10290063【摘要】复变函数的积分是复变函数的重要内容之一。由复变函数的积分而得到的柯西积分定理与柯西积分公式是探讨解析函数相关理论的重要工具。解析函数的许多重要性质都要利用复积分来证明，所以有必要对复积分的计算方法进行探讨。这可以让我们更深刻地理解解析函数的性质。这篇文章就是对复变函数的积分的计算方法进行了归纳、总结，并通过具体的实例说明了这些方法的具体应用技巧。【关键词】复积分 计算方法 复变函数 0 引言复积分的计算方法对于解析函数来说是非常重要的内容。它对研究解析函数的局部性质起着关键的作用

2、。对于初学者来说,如果对复变函数的积分的正确处理方法掌握程度不够，就造成对解析函数的相关理论理解不通透，因此探究和分析复积分的计算方法具有一定的意义。我们常见的求复变函数的方法有很多。例如可以用参数方程法计算复积分，还可以用柯西积分定理和柯西积分公式计算复积分，还可以用柯西留数定理计算复积分。在我们的教材中常看到的也是上述几种方法。对于初学者来说，具体到某一道题中不知道用哪种方法比较妥当，甚至不能融会贯通。下面就针对这些问题做一些简单的归纳、整理。1 基础知识定义1.1 假设有曲线: ，把作为这段曲线的起点，把作为这段曲线的终点，沿这段曲线有定义，顺着曲线沿到的方向上在这段曲线上取出分点： 把

3、有向曲线分成多个弧段，由至的每一个弧段上任意取出 （）而当分点个数是无限增加的，这弧段长度的最大值又趋近于零时，若和数的极限是存在的并且等于，则叫做沿曲线（由至）是可积的，而把叫做沿（由至）的积分，用记号来表示： 叫做这个积分的积分路径。我们知道若某一个函数在某一闭区域内是处处解析的，则函数沿这闭区域内的任意一条封闭的曲线的积分值都为零，即 推论1 若是一条周线，为的内部，函数在闭域上是解析的，则 下面的定理也是从一个方面推广了的柯西积分定理。推论2 若是一条周线，为的内部，函数在内解析，在上连续（也可以说“连续到”）,则 注意：对于一个复变函数的积分，首先判断是否在某一区域内解析，一定要在解

4、析的基础上再求积分。推论3 （牛顿莱布尼兹公式）若在某个单连通域内是处处解析的，为的一个原函数，则对内任意两点有。定理1.2 若某一区域的边界是周线，而函数在内是处处解析的，并且在上是连续的，则有 也可写成 定理1.3若函数在周线所围成的某一区域内，除在点外是解析的，而在闭区域上除外是连续的，则有 2 复积分的计算方法2.1 利用参数方程法计算复积分如果有光滑曲线: ，这就表示在上连续且有不为零的导数,又设沿连续，令,于是 = =，即=或=这种方法是从积分路径入手的，称为参数方程法。例1 计算积分，为直线段0到1+i解 设参数方程为,故 此题中被积函数在区域内不解析，则与积分路径有关，可用参数

5、方程法解题，即先把积分路径写成,然后由计算右端关于实参数的积分。例2 计算积分，为圆周上从1到-1的上半圆周。解 设参数方程为，故例3 计算积分其中为：0到的直线段解 可用参数方程表示为,例4 计算积分，:左平面以原点为中心逆时针方向的单位半圆周。解： 令，则有， 故例5 计算积分，路径为直线段解 设，则例6 计算的值，其中为抛物线上从0到的一段弧。解 ，设参数方程为：，其中，所以有例7 计算积分的值，其中为正向圆周：解 的参数方程为：，。可得例8 计算积分，其中为扇形区域的周界。解 由两段光滑曲线组成：；，起点对应参数。而被积函数在上连续，只要补充定义，利用曲线的参数方程分别计算这两个复积分

6、。例9 证明。其中积分路径是从连接和的直线段。证 的参数方程为 也就是 沿，连续，并且有。而的长度是2，由定理可知2.2 利用柯西积分定理计算复积分 如果把柯西积分定理的条件改变一些在某些情况下还是可以的。例如可以不是简单的闭曲线；也可以是的边界，但要在上也解析；还可以是的边界，在内解析，上连续。但有一点必须满足单连通域是不能发生变化的。例9 计算下列积分：(1);(2) 其中为右半圆周：，,起点为-2i,终点为2i;(3),其中取那支解 （1）的支点为-1，它在闭圆上单值解析。于是由上述柯西积分定理得到： （2）在,上解析，i （3）的支点为0，它的单值分支在圆内解析，并连续到边界，由柯西积

7、分定理得到：例10 计算积分，为解 这两个函数在复平面内都是处处解析的，故例11 计算下列积分：（1） ； （2）； （2） ； （4）解 （1）在平面内处处解析，由牛顿-莱布尼兹公式可得 （2）在复平面内处处解析，由牛顿莱布尼兹公式可得 （3)在内处处解析，又因为点1与i都在内，由牛顿莱布尼兹公式可得 （4）在内处处解析，由牛顿莱布尼兹公式可得 例12 计算.解 因为在复平面上处处解析，所以积分与路径无关.2.3 利用柯西积分公式计算复积分在实际使用时，和柯西积分定理一样柯西积分公式的条件在某些条件下还可以做适当的调整，即的内部有奇点的多连通区域。例13 计算积分：，其中为：（1） （2）

8、（3）解 （1）: （2）： （3）: 在平面内有两个奇点，分别是和，再以，为圆心，以为半径作圆与，可得到：例14 设为圆周，则按有在闭圆周上是解析的，定理1.4的条件又是满足的，可以直接运用。例15 计算下列积分，其中为解 在这个积分中，内包含有两个奇点，分别是0和1.则有柯西积分公式和高阶导数公式可得，例16 计算积分，其中为绕一周的周线。解 在平面上处处解析 例17 计算，其中为圆周.解 因被积函数的两个奇点是，分别以这两点为心做两个完全含于且互不相交的圆周.则有.例18 计算，其中为圆周：解 由题可知，这个函数有一个奇点，在的外部。则函数在以为边界的闭圆上是解析的。所以可得：由以上例题

9、我们可以得出这样的结论：设函数在平面上的区域内处处解析，则在内具有各阶导数，并且各阶导数也在内解析。注意：如果一个被积函数在积分曲线的内部有两个及两个以上的奇点，就不能直接运用柯西积分公式。24 利用柯西留数定理计算复积分积分的另一种求法便是运用柯西留数定理来求。在求周线积分的情况下，内部有被积函数的多个孤立奇点，则用柯西留数定理计算。例19 利用柯西留数定理求下列积分：（1） ，n为正整数（2）解（1）被积函数在的孤立奇点为,而的根有6n个，这6n+1个孤立奇点均为的一级极点，所以由公式有所以由留数基本定理可得到：（2） 被积函数有一个奇点,并且在内的洛朗展开式为所以有，所以由柯西留数基本定

10、理=0注意：在利用柯西留数定理求复积分时，一般思路是先求出被积函数在积分路径里面的孤立奇点，并且要判断孤立奇点的类型，再次求出在奇点处的留数，最后利用柯西留数定理就可求得所求积分值。推而广之，这样的计算方法可以推广到复平面上全部孤立奇点留数之和为零的类型题上来，例如下面的例题。例20 计算下列积分，其中为正向的圆周： :解 被积函数在内，以为4级极点，以为它的三级极点。由于它们的极点级数比较高，所以利用如果利用留数公式直接计算就显得比较麻烦，但仔细观察在外有且仅有以为它的孤立奇点，并且有所以由留数之和为零知，可将其转化为被积函数在积分路径外部孤立奇点处的留数来计算可得例21 计算积分解 被积函

11、数在的内部只有一阶极点及二阶极点,所以有 所以由留数定理可得：例22 计算积分(为正整数)解 以为一阶极点，可得：例23 计算积分解 只以为三阶极点，可得：所以由留数定理可得: 3.小结上述各种方法对复变函数的积分的求法都有着重要的作用，他们相互联系又互相区别。而在具体解题时该用哪种计算方法比较合适是许多人比较迷茫的问题。现在就针对这一问题进行探讨。复积分的构成不外乎就是积分微元，积分路径，被积函数这三部分构成的。如果积分路径为直线段或圆周的一部分或闭曲线时，则用参数方程法计算复积分。如果积分路径为闭曲线且在其区域内处处解析，则该函数的积分值为0。如果积分路径是一段曲线，且含在被积函数的解析区

12、域内，则用牛顿莱布尼兹公式计算积分值。如果积分曲线内部有被积函数的有限个奇点，则可用柯西积分公式、柯西留数定理计算。 在某些复变函数的积分求值中，各种求积分的方法并不是独立的。例如某些题中需要单独的运用柯西积分公式或者单独运用柯西积分定理，又有些题会运用柯西留数定理和牛顿莱布尼兹公式相结合来求解。或者柯西积分定理及柯西积分公式及其推论的互相结合。由此可见，复变函数的积分的求值问题并不是独立的，而是相互联系的。【参考文献】1孙清华.复变函数与积分变换例题与习题解析M.湖南大学出版社, 2001：31-322钟玉泉.复变函数论(第三版)M.高等教育出版社,2005：45-503盖云英.复变函数与积

13、分变换M.科学出版社,2001：36-394陈静.复变函数积分的几种计算方法J.河南机电高等专科学校学报,2013,21(2):21-23.5张海莹.复积分的几种算法J.科技致富向导,2013,(2):41-41.6王艳琴.计算复积分的几种方法J.湖南工业职业技术学院学报,2011,11(5):8-11.7完巧玲.周线上复积分的几种算法J.陇东学院学报,2010,21(2):7-9.8邱双月.复积分的计算J.邯郸学院学报,2009,(3):-. The complex integral various calculation methods Wang Panxi College of math

14、ematics and Information Science mathematics and applied mathematic【Abstract】The complex integral is an important part for the integration of complex functions. Cauchys integral theorem by the integration of complex function obtained with the Cauchy integral formula are an important tools to explore the theory of analytic functions.Its many important properties are used prove complex integration. Therefore, it is necessary to explore the complex methods to calculate the integral method t. It makes us to gain a deeper understanding of the nature of analytic functions. This article is