基本不等式的应用教案

1、基本不等式的应用教案 篇一：高三一轮复习 基本不等式及其应用的教学设计 (树德中学 彭春波)高三数学一轮复习基本不等式及其应用 树德中学 彭春波 一、 教学背景分析 1.高考考纲要求： 理解基本不等式及成立条件 能应用基本不等式判断大小和求最值 应用基本不等式解决实际问题和综合问题 2.学生情况介绍 高2012级5班是理科平行班，现已具备了必要的感知能力、概括能力、逻辑推理能力，但比较复杂的举一反三的灵活变通、综合能力还有待提高，通过本节课的教学，学生能达到对基本不等式的常见应用题型的熟练化、综合问题的解题思维提升化。 二 教学目标 1.知识与技能 （1）通过本节课的学习，能掌握基本不等式并能

2、理解等号成立的条件及几何意义 （2）通过基本不等式的复习，能灵活比较大小、求有关最值等应用 2.过程与方法 （1）通过本节课的学习，能体会基本不等式应用的条件：一正二定三相等 （2）通过本节课的学习，能体会应用基本不等式求最值问题解题策略的构建过程 （3）能体会例题的变式改变过程，达到灵活应用的能力 3.情感态度与价值观 （1）通过变式教学，逐步培养学生的探索研究精神 （2）通过解题后的反思，逐步培养学生养成解题反思的习惯 （3）通过高考试题与教材例题对比教学，培养学生重视基础，勿好高骛远的习惯 三 教学重难点: 1重点：正确应用基本不等式进行判断和计算。 2难点：基本不等式的变形应用。 四、

3、教学方法: 以启发引导，探索发现为主导，讲解练习为主线，用一题多解，一题多变突出重点、突破难点，以综合应用提高分析解决问题的能力，培养创新能力。 五、 教学过程 234六、课后备注 本堂课是在高三第一轮复习中关于“基本不等式”的一节复习课。通过递进式的问题设置，让学生对基本不等式的掌握能达到灵活应用的程度。 5 篇二：基本不等式及其应用第一轮复习教案 基本不等式及其应用第一轮复习教案 一、教学三维目标： 1、 知识与能力目标：掌握基本不等式及会应用基本不等式求最值。 2、 过程与方法目标：体会基本不等式应用的条件：一正二定三相等；体会应用基本不等式求最值问题解题策略的构建过程；体会高考题的改编

4、过程。 3、 情感态度与价值观目标：通过解题后反思，培养学生的解题反思习惯；通过改编题目，培养学生的探索研究精神；通过解答高考题，培养学生面对高考的自信心。 二、重点：基本不等式在解决最值问题中的应用。 难点：利用基本不等式失效（等号取不到）的情况下可采用函数的单调性求最值。 三、教学过程： 一、引入（回归课本） 问题1：（数学必修5第100页习题3.4A组第1题改编） （1）把4写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？ （2）把4写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？ 符号语言表示： (1)设x，y?0，xy?4,求x,y的值，使x?y值最小. (2)设x,

5、y?0，x?y?4,求x,y的值，使xy值最大. 二、基本不等式的概念 基本不等式 1、背景：a?b?ab(a,b?0)（当且仅当a=b时，上式取到等号） 2 22代数背景：a?b?2ab(a,b?R) （用代换思想得到基本不等式） 几何背景：半径不小于半弦。(a?b)2a?b222)(a,b?R) 2)a?b?(a,b?R) 2、常见变形：1)ab?(22 a2?b2a?b2ba3)?2(a,b同号,且不为0) ?ab?ab22?ab 三、基本不等式在求最值中的应用 1、思想方法：再由问题1得出基本不等式求解最值问题的两种模式 (a,b?0) （1）“积定和最小”：如果积xy是定值P,那么当

6、x=y时，和x+y有最小值 （2）“和定积最大”：如果和x+y是定值S,那么当x=y时，积xy有最大值 2、典例分析 A组题 12S.43，求y?x(3?2x)的最大值. （配系数） 2 32（2）已知x?，求y?x?的最小值. (添项) 22x?3（1）已知0?x? x2?3x?6（3）已知x?2，求y?的最小值.（拆项） x?2 （4）已知正数x,y满足2x?y?1,求 B组题 （1）已知正数x,y,z满足x?y?z?1，求12?的最小值.（“1”的代换） xy149?的最小值.（“1”的代换） xyz x?1的最大值.（换元） x2?5x?8 a?ca?c?（3）已知a?b?c,求w?的

7、最小值. （换元） a?bb?c（2）已知x?1,求y? （4）已知正数x,y,z满足x?y?z?1，求2x?1?2y?1?2z?1的最大值. （对称性） 一般地,如果条件式与结论式都是关于各个元素轮换对称的,则最值必定是在各个元素相等时取到.利用这一思想往往可给解题者提供解题的方向与思路.四、探索提高 已知x?0,y?0且x?y?xy?8, (1)求x?y的取值范围；（2）求xy的取值范围. 引导学生自主编题。归纳一般形式： 已知x?0,y?0且ax?by?cxy?d,求x?y的最小值.c?0,且dc?ab?a2,dc?ab?b2） 五、高考演练 2010重庆理数7） 已知x?0,y?0，x

8、?2y?2xy?8,求x?2y的最小值.2010浙江文数15） 若正实数x,y满足2x?y?6=xy,则xy的最小值为 . （2010四川理数12） 设a?b?c?0，则2a2?1?1?10ac?25c2 aba(a?b)的最小值是（ （A）2 （B）4 （C）（D）5 六、小结作业 （ ）篇三：数学：2.4基本不等式及其应用教案(2)(沪教版高一上) 2.4（2）基本不等式及其应用 一、教学目标设计 1、进一步掌握两个基本不等式：a?b?2ab（a、b?R）、意正数）. 2、利用基本不等式解决一些简单问题，如求最值或求取值范围的简单问题以及简单不等式的证明. 3、进一步理解代换的数学方法.

9、二、教学重点及难点 基本不等式的简单应用. 三、教学流程设计 四、教学过程设计 一、复习 基本不等式1 对于任意实数a和b，有a?b?2ab，当且仅当a?b时等号成立. 基本不等式2 对于任意正数a、b，有我们把 2 2 22 a?b ?ab（a、b为任2a?b ?ab，当且仅当a?b时等号成立. 2 a?b 和ab分别叫做正数a、b的算术平均数和几何平均数.因此基本不等式22 也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 说明 复习过程中需强调三点： 1、两个基本不等式各自适用的范围. 2、两个基本不等式各自等号成立的条件. 3、两个基本不等式之间的联系. 二、新课讲授 （2）几

10、何问题 根据上节课的讨论，我们知道在周长保持不变的条件下，当且仅当矩形相邻两边相等即为正方形时，其面积最大.很自然我们会考虑下面的问题. 例3 在面积保持不变的条件下，何时矩形的周长最小？ 解：设矩形的长、宽分别为a、b（a、b?R）且ab?m（定值），则同样面积的正方形矩形周长C?2?a?b?，正方形周长C? 由基本不等式2，得 ? a?b ?ab，又由不等式的性质得2?a?b?C?C?. 2 由题意，ab?m（定值），所以C?.当且仅当a?b，即矩形为正方形时，矩形的周长最小. 说明 当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值. 例如，若x?0时，x? 1 ?2，当且仅当x?1时等号成立.（

11、一方面当x?0时，有x x?x? 1?1? ?2，当且仅当x?1时等号成立.另一方面当x?0时，有?x?2，即x?x?1 ?2，当且仅当x?1时等号成立.） x 两个正数的和为定值，则它们的积有最大值；两个正数的积为定值，则它们的和有最小值.这两个结论常常用于求解最值问题.在具体应用时，要注意“一正、二定、三等号”. （2）代数证明 例4 求证：对于任意实数a、b、c，有a?b?c?ab?bc?ca，当且仅当a?b?c时等号成立. 证明：由基本不等式1，得 2 2 2a2?b2?2ab，b2?c2?2bc，a2?c2?2ac， 把上述三个式子的两边分别相加，得2a?b?c ? 222 ?2?a

12、b?bc?ca?，即 a2?b2?c2?ab?bc?，当且仅当caa?b?c时等号成立. 另证：a2?b2?c2?ab?bc?ca? ? 1 2a2?2b2?2c2?2ab?2bc?2ca? ?2 ? 1?222 a?b?b?c?a?c?0. ?2? 2 2 2 即a?b?c?ab?bc?ca，当且仅当a?b?c时等号成立. 例5 均值不等式链 a?b设a、b?R， 则?几何均值?算术均值? 2?ab ? 2 平方均值），当且仅当a?b时等号成立. 11 ? 2? 证明：（1）由a、b? R，得?a?b时等? 112?ab 号成立. （2? a?b ，当且仅当a?b时等号成立，已证. 2 2

13、2 a2?b2?a?b?2222 ?（3）由a?b?2ab?2?a?b?a?b?24 ? a?b2 ? a?b . 2 a?b ? 所以，当a、b?R时，有2 ? a?b时等号成立. ? a?b? 综合（1）、（2）、（3）得，当a、b? R时，有2?ab 2 仅当a?b时等号成立. 说明 事实上当a、b?R时，有：?a?b? ab?，当且仅当a?b时等号成立. 2?a?ba?b?. 22 证明： 由a?b?2ab?a?b? 2 2 2 2 ?a?b? ?4ab?ab?，当且仅当a?b 时等号成 ?2? 2 立. a2?b2?a?b?2222 ? 由a?b?2ab?2?a?b?a?b?24 2

14、 2 ? a?b2 ? a?b .2 a?ba?b? .22 a?b? 等号成立当且仅当a?b. 2 不等式 a?b2 ? a?b 等号成立当且仅当a?b?0.2 a?b ? 等号成立当且仅当a?b?0. 2 例6 甲、乙两人同时从A地出发，沿同一条路线行到B地。甲在前一半时间的行走速度为a，后一半时间的行走速度为b；乙用速度a走完前半段路程，用速度b走完后半段路程；问：谁先到达B地？ 解：设A、B两地的距离为S，甲、乙两人用时分别为t1、t2，则S?a? t1t1 ?b?1?t1?a?b?。 222 SS 1ab?11?1? 因此t2?t1?a?b?t1?2?t1。 ab4ba?ab?4?

15、所以，当a?b时，t2?t1，甲、乙两人同时到达B地；当a?b时，t2?t1，甲先到B地。 另解：设A、B两地的距离为S，甲、乙两人用时分别为t1、t2，平均速度分别为v1、v2，则Sa?b?t1t1?v?S?a?b?1t?2122? S12?v1?v2。 SS? ?v2?t?1?11?11?2t1?ab?2?ab?ab? 因而，当a?b时，v1?v2，甲、乙两人同时到达B地；当a?b时，v1?v2，甲先到B地。 三、课堂小结 略 四、作业布置 1、习题2.4 1、2、4、7 2、思考题 均值不等式链的几何解释. 五、教学设计说明 本堂课是基本不等式及其应用的第二节课，在学生掌握两个基本不等式的前提下，介绍了基本不等式的简单应用. 从上堂课的最后一个几何问题入手，得出例3的结论，并在此基础上归纳出利用基本不等式求最值（最大值、最小值）的基本方法. 在讲解完例4有关利用不等式进行简单代数证明后，结合上堂课留给学生的思考题（整理一些基本不等式的常用变式并给出证明）给出“基本不等式链”.有关“基本不等式