相似三角形培优试题

1、1、(本题满分7分)如图10,四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接 AE、CG,AE与CG相交于点M ,CG与AD相交于点N .求证：(1) AE =CG ；(2) AN DN =CN MN.51102、(本题满分7分)ABC沿CA方向平移CA长如图11,已知 ABC的面积为3,且AB=AC，现将度得到 EFA .(1 )求四边形 CEFB的面积；(2) 试判断AF与BE的位置关系，并说明理由;(3) 若 BEC =15 求 AC 的长.图113、如图，在平行四边形 ABCD中,过点A作AE丄BC,垂足为E,连接DE F为线段DE上一点，且/ AFE=Z(1) 求证： ADDA DEC(2

2、) 若 AB= 4,AD= 3 . 3 ,AE = 3,求 AF 的长.如图(4 ),在正方形ABCD中，E、F分别是边AD图(4)1AE-ED, DFjDC,连结EF并延长交BC的延长线于点G.(1) 求证： ABEDEF ；(2) 若正方形的边长为 4,求BG的长.5如图（15）,在梯形 ABCD 中，DC / AB, NA =90 AD = 6厘米，DC = 4 厘米，BC的坡度i =3：4,动点P从A出发以2厘米/秒的速度沿 AB方向向点B运动，动点Q从点B出发以3厘米/秒的速度沿 B-； C-； D方向向点D运动，两个动点同时出发，当其中 一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止.设

3、动点运动的时间为t秒.（1）求边BC的长；（2 ）当t为何值时，PC与BQ相互平分；（3）连结卩0,设厶PBQ的面积为y,探求y与t的函数关系式，求t为何值时，y有最大 值？最大值是多少？图（5）6.（本题满分9分）一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5m，面积为1.5m2, 工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案，甲设计方案如图1,乙设计方案如图2.你认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由.（加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数）厂GF第6题图7、如图1,0为正方形ABCD的中心，分别延长OA、0D到点F、E,使0F=20A, 0E=20D,连

4、接EF.将厶EOF绕点0逆时针旋转a角得到 E10F1 (如图2).(1) 探究AE1与BF1的数量关系，并给予证明；(2) 当a =30时，求证： A0E1为直角三角形.E8、(本题满分 12分)将矩形ABCD纸片沿对角线 AC剪开，得到ABC和ACD如图1所示将ACD的 顶点A与点A重合，并绕点 A按逆时针方向旋转，使点D、A(A)、B在同一条直线上，如图2所示.观察图2可知：与BC相等的线段是，/ CAC= .图1图2问题探究如图3, ABC中，AG丄BC于点G,以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向ABC 外作等腰RtA ABE和等腰RtA ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂

5、足分别为 P、Q.试 探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论 图3拓展延伸如图4, ABC中，AG丄BC于点G,分别以 AB、AC为一边向AABC外作矩形 ABME和矩形ACNF，射线GA交EF 于点H.若AB = k AE, AC= k AF，试探究 HE与HF之间的数量关系，并说明理由9.（本小题12分）如图，有一块塑料矩形模板 ABCD长为10cm宽为4cm将 你手中足够大的直角三角板 PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A D重合）， 在AD上适当移动三角板顶点P:（1） 、能否使你的三角板两直角边分别通过点 B与点C?若能，请你求出这时AP 的长；若不能，请说明理由；（2）、再

6、次移动三角板的位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通 过点B,另一直角边PF与DC的延长线交于点Q,与BC交于点E,能否使CE=2cm 若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由。CANCNMNDN即ANDN =CNMN参考答案1、证明：(1)幕四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形AD 二CD, DE 二 DG, ADC EDG =90 ,ADE =/CDG, ADECDG, 3 分AE =CG(2)由(1 )得 ADE = CDG, DAE 二 DCG,又 ANM 二 CND,2、解：（1）由平移的性质得AF/BC且AF =BCAEFA ABC,.四边形AFBC为平行四

7、边形，S EFA - S BAF - S ABC - 3.四边形EFBC的面积为9 .（2）BE _ AF 证明如下：由（1）知四边形AFBC为平行四边形.BF / AC且 BF =AC,又 AE =CA, BF / AE且BF =AE,.四边形EFBA为平行四边形又已知 AB =AC, AB =AE,平行四边形EFBA为菱形，BE _ AF(3) 作BD _AC于DBEC =15 , AE =AB, ZEBA /BEC =15 , /BAC =2./BEC =30 ,.在Rt BAD中，AB =2BD.设BD =x,贝U AC =AB =2x, S ABC =3,且S ABC*BD=1*2x

8、x=X2,X2=3,x为正数，x=3,AC =2.37分2 23、( 1)证明：四边形 ABCD是平行四边形 AD/ BC AB / CD/ ADF玄 CED / B+Z C=180/ AFE+Z AFD=180 Z AFE=Z B Z AFD=Z C ADFS DEC 解：四边形 ABCD是平行四边形 AD/ BC CD=AB=4在 Rt ADE中，DE=.、AD2 AE2 = . (3、3)2 32 = 6/ ADFA DECADAF3.3 AFDE CDAF= 2 3AD = AB = DC=BC,.A D =90.1分AE1AE 二 ED,3分AB2十1DF1又 DFDC,4DE24、

9、(1 )证明：幕ABCD为正方形,AEAB(2)解:DF. ABEDEF .DE ABCD为正方形，.ED /ED DF BG.CG CF又 DF=丄DC,正方形的边长为44.ED =2, CG =6.BG =BC CG =10.AECD为矩形.5解：(1)作CE _ AB于点E，如图(3)所示，则四边形.AE =CD =4, CE =DA =6.又.i =3：4,CEEB.EB =8, AB =12.在Rt CEB中，由勾股定理得： BC二.CE2 EB2 =10.B图(3)(2)假设PC与BQ相互平分.由 DC / AB,则PBCQ是平行四边形(此时 Q在CD 上).即 CQ =BP, 3

10、t _10 =12 _2t. 2222解得t，即t秒时，PC与BQ相互平分.7分5510(3)当Q在BC上，即卩0 t 时，3作 QF _ AB 于 F，则 CE / QF.QF BQ QF 3t ，即BC 61PB-QF281+ 5 CES pbq3t “ 9t1051 9t =丄(12_2t)込2 59=(t -3)581.SBq有最大值为一厘米2.51014当Q在CD上，即w t w 时，3311 S pbqPB-CE(12-2t) 622=36 6t.易知S随t的增大而减小.10故当t二一秒时，.Sapbq有最大值为3当t =3秒时,103663=16厘米8分9分10分11分81 16

11、, y 二512分图19+2*54+,o 10t + t, 0 t nBGCAP. ep=fq.= AG9.解：结论：能.设 AP=xcm 贝y PD=(10-x)cm.因为/ A二/ D=90，/ BPC=90 ,所以/ DPCy ABP所以 ABPA DPC则 AB/PD二AP/DC 即 AB- DC=PD AP.所以 4X 4=X(10-X),即 x 2-10x+16=0 .解得 x i=2, X2=8.所以 AP=2cn或 8 cm.结论：能.设 AP=Xcm CQ=y cm由于 ABCD是矩形，/ HPF=90 ,所以 BAPA ECQ BAPA PDQ所以 AP- CE=AB CO

12、 AP- PD=AB DQ所以2x=4y，即y=x/2 ,x(10-x)=4(4+y).消去 y,得 x2-8x+16=0,解得 X1=X2=4, 即卩 AP=4cm一、选择题（每小题 6分，共48分）1.在 ABC中，D、F是AB上的点，E、FH将厶ABC分成面积相等的三部分，若线段H是AC上的点，直线 DE/FH/BC，且FH= 5. 6，则BC的长为（）15,622 .在 ABC 中，DE/BC , DE 交 AB 于 D，交 AC 于 E,且梯形的高与三角形的边1: 21: C-.3 -1）Rt ABC 中，）58B . 10C.BC上的高的比为（C.DE、3 .在为（/ C=90 ,

13、CD是斜边4.如图 ABCA.C.5 6，则BC的长为(D. -Vt53S ADE : S 四边形 DBCE =1 :)1： (.2 -1)(3-1): 、3AB 上的高，AC=5 , BC=8 ,SACD :2,则Sa CBD253925B.64E、F是厶ABC的三边中点，设 DEF的面积为4,25D.89的周长为9,则厶DEF的周长与厶ABC的面积分别是（9 , 1629 , 82B. 9, 4D. 9，165 .如图1 5 2,在厶ABC中，AD丄BC于D，下列条件:(1)(2)(3)/ B+ / DAC=90 ; / B= / DAC ;CD ACAD -AB ；2AB =BD BC。

14、（4）其中一定能够判定 ABC是直角三角形的共有（A. 3个图 1-5-26 .如图1 5 3，在正三角形AD 1”,AE=BE，则有（AC 3B . 2个ABCC. 1个 中，D , E分别在AC ,D. 0个AB上，且A. AED BED AED CBDC. AED ABD图 1-5-3 BAD BCD7.如图1 54,PQ/RS/AC ,RS=6,PQ=9, QCSC，贝U AB 等于3A.514B. 64C. 7iD. 51JA图 1-5-4&如图1 55,平行四边形 ABCD中，01、。2、O3是BD的四等分点,AD长交BC于E,连接EO2,并延长交AD于F,则等于（）FD连接 AO

15、 i，并延A .3 : 19.如果一个三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形, 这个三角形必是（）A. 等腰三角形B. 任意三角形C. 直角三角形D .直角三角形或等腰三角形10 .在厶ABC和厶ABC中，AB :A.相似，但不全等C. 一定相似11 .如图 1 6 1,F,贝U巨为（BE2A .2B. 3: 1D. 7 : 3那么AD图 1-5-5正方形ABCDAC=AB : AC，/ B= / B，则这两个三角形（B .全等D 无法判断是否相似中，E是AB上的任一点，作 EF丄BD于12 .如图1 62,把厶ABC沿边AB平移到 ABC的位置，它们的 重叠部分（图中阴影部分）的面积是厶

16、ABC的面积的一半，若AB 则此三角形移动的距离 AA是（、2B .2A.2 -1C. 11D2=2 ,Br13.如图1 6 3,在四边形 ABCD中，/ A=135AD=2，则四边形 ABCD的面积是（，/ B= / D=90),BC= 2 3 ,B. 4.3C. 4E14.如图1 6 4，平行四边形 与BD交于点E,与DC交于点A . 3对B . 4对对ABCD中，G是BC延长线上一点,F,则图中相似三角形共有（C. 5对AGADF15.在直角三角形中，斜边上的高为 则斜边上的中线的长为（）5恵A. cm26cm，且把斜边分成3: 2两段,C. 5 6 cmD . IE16. AD为Rt

17、ABC斜边BC上的高，作 DE丄AC于E,ABAC164A.B.(25517 .如图 1 65,A ABC 中，AB=AC5C.4，/ A=36 ,BD平分/冲CE，则 =(EA2516ABC，已2知AB=m , BC=n,求CD的长。甲同学求得CD=m n,乙同学求得 CD =亠mF列判断正确的是（）A .甲、乙都正确B.甲正确、乙不正确图 1-6-5x=。C. 甲不正确、乙正确图 1-6-6D. 甲、乙都不正确18.如图1 6 6,在直角梯形 ABCD中，AB=7 , AD=2 , BC=3。如果边 AB上的 点P使得以P、A、D为顶点的三角形和以 P、B、C为顶点的三角形相似，那么这 样

18、的点P有（ ）A . 1个B . 2个C. 3个D . 4个、填空题（每小题 4分，共16 分）20 .如图 1 56，在 Rt ABC 中，/ ACB=90 , CD丄 AB , AC=6 ,AD=3.6 ,贝y bc=。21 .等腰三角形底边上的高为8,周长为 32，则此三角形的面积是图 1-5-622.在 ABC中，BD , CE分别为 AC、AB边上的中线， M、N分别是 BD,CE的中点，贝H MN : BC=。23 .在 ABC 中，DE/BC , D、E 分别在 AB、AC 边上，若 AD=1 , DB=2，那么DE BC= 。DE24. 平行于厶ABC的边AB的直线交CA于E,

19、交CB于F,若直线EF把厶ABC分成面积相等的两部分，则 CE : CA=。25. Rt ABC中，CD是斜边 AB上的高，该图中共有 x个三角形与 ABC相似，则26 .在 ABC 中，点 D 在线段 BC 上，/ BAC= / ADC , AC=8 , BC=16 ,则 CD=。三、计算题（本大题共 86分）27 .如图1 5 7, ABC为直角三角形，/ ABC=90。，以AB为边向外作正方形 ABDE , 连接EC交AB于P点，过P作PQ/BC交AC于点Q。证明PQ=PB。28 .如图 1 5 8,已知 DE/AB , EF/BC。求证： DEF ABC。BC图 1-5-729 .在

20、Rt ABC 中，/ C=90 , CD 丄 AB 于 D , S%bcd=Ssbc ADC。求证：BD=AC。图 1-5-830 .如图1 59,在平行四边形 ABCD中，E为AB的中点，AF11在AD上取一点F,使 二，连接FE交CB的延长线于H，交AC于G,求证AG = AC。FD 25图 1-5-934.如图1 510 ,已知AD是厶ABC的中线，过厶ABC的顶点C任作一直线分别交 AB、 AD 于点 F 和点 E，证明：AE FB=2AF ED。AD图 1-5-1032 .如图1 5 11,在厶ABC中，/ A、/ B、/ C的对边分别是 a、b、c。点P是AB 上一个动点（P与A、

21、B不重合）。连接PC,过P作PQ/AC交BC于Q点。33 .如图1 6 7,在厶ABC中，BD是AC边上的中线，BE=AB,且AE与BD交于F点,求证：AB EFBC AF。34 .如图1 68，/ APD=90 , AP=PB=BC=CD，找出图中两个相似的三角形，并给出证明。图 1-6-835 如图1 69, AD、BE是厶ABC的高，DF丄AB于F, DF交BE于G , FD的延长 线交AC的延长线于H，求证DF2=FG FH。图 1-6-936 .如图1 6 10, AP是厶ABC的高，点D、G分别在 AB、AC上，点E、F在BC上, 四边形 DEFG 是矩形，AP=h，BC=a， (

22、 1)设 DG=x，S 矩形 DEFG=y，试用 a、h、x 表示 y; ( 2) 按题设要求得到的无数个矩形中是否能找到两个不同的矩形，使它们的面积和等于厶ABC的面积？A图 1-6-10选修4-1第一讲相似三角形的判定及有关性质综合测试【试题答案】-、选择题（每小题 6分，共60分）1. A2. D3. B4. A解析：如图D 1 24所示，/ D、E、F分别为 ABC三边中点1/. EF/ BC , ：AEF . ：ABC2且=-BC 21 EF1 , ABC=BC =2，1 ABC=9I又 sdef -S, ABCEF2BC24,sdef =4- S ABC =16故1.DEF选 A1

23、2 ,S . ABC=16图 D-l-24 ,5. A解析：验证法：（1）不能判定厶ABC为直角三角形/ B+ / DAC=I0 ，而/ B+ / DAB=I0 , / BAD= / DAC同理/ B= / C,不能判定/ BAD+ / DAC等于90;（2）中/ B= / DAC，/ C 为公共角， ABC DAC。 DAC为直角三角形， ABC为直角三角形；CD AC在（3）中，可得 ACD BAD ,AD AB / BAD= / C ,Z B= / DAC ,/ BAD+ / DAC=90亠 2BD AB(4)中AB =BD BC,即卩，/ B为公共角,AB BC ABC s DBA，即

24、 ABC为直角三角形。正确命题有3个选A。6. B解析：直接法。注意到/ A= / C=60 可设 AD=a，贝U AC=3a，而 AB=AC=BC=3a3所以 AE=BE= a ,2ADa2所以-:。AE3 a23p CD2a 2又-BC3a 3ADCD所以- / A= / C=60AE CB故厶 AED CBD，选 B。7. A8. B9. D10. D11. A12. C13. C解析：由/ B= / D=90。，于是设想构造直角三角形，延长BA与CD，它们的延长线交于 E,则得到 Rt BCE和Rt ADE 由题目条件知， ADE为等腰直角三角形， DE=AD=2 , c1-Saade

25、 = X 2X 2=2.22又可证 Rt EBC s Rt EDA ,S. ebc _ BCS .Eda飞AD丿S ebc - 3S edaS四边形ABCD = Se BC - S ADE = 4选C14. D解析：由 AB/CD，可得 CGFs BGA , ABE FDE 又由 AD/BC ,可得 CGFDAF , AED GEB还可得 DAF BGA , ABD CDB ,故共有 6 对。15. A 16. A17. A18. C解析：直接法。假设有一点P ,连接PD、PC设 AP=x,贝U PB=7 x图 D 1 26(1) 若厶 PADs pbc，贝U= -PB 即二AD BC 231

26、4得x75符合条件。(2) 若厶 PADCBP,x3即，x2 _7x 6 =027 -x解得x1,x6也符合条件故满足条件的点 P有3个。二、填空题（每小题 4分，16分）319. -5解析：设三边长 a d, a, a+d （d0）, 则（a+d） 2=a2+ （a d） 2, a=4d.三边之比为 3: 4: 5.20. 821.4822. 1: 423. 425. 2解析:ACD ABC , CBDABC26. 4解析：由厶BCBAC ADC 可知AC（本大题共 74分）ACCD三、解答题27.证明：T PQ/BC , BC/AE , PQ/AE / CPQ= / CEA，/ CQP=Z

27、 CAE . CPQs CEA . PQ _CPEACE同理可得PBCPPQPBEDCE AEED、224.2DF ODAC - OA28. 证明：T DE/AB ,DEODOEABOAOB又 t EF/BC ,EFOEOF =BCOBOC DEEFAB -BC由知ODOF而/ FOD= / COA ,OAOC FODs COA ,在厶ABC和厶DEF中, ABC DEF29. 证明：如图D 1 25图 D-l-25S.A BCSdcS ,BDC S ADCAB CD _ BD CD AD CD AD CD即AB =_BD BD2 二AB AD BD AD由射影定理得， AC2二AD AB A

28、C2=BD2, 即卩 AC=BD .AF1AF1AF130. 证明：T, ，即FD2AD3BC3/ AE=EB，/ AEF= / HEB ,Z FAE= / EBH AFE BHE , AF=BH , AF _ 1CH 4/ AGFCGH ,AF _ AGCH CGAGAC11，即 AG AC5531. 证明：过 D作DH/CF交AB于点H, 则/ BDH= / BCF，/ B= / B，： BDH s BCF 又D为BC的中点BDBH1= =BCBF2BH=1 BF即FH :BF22同理可证厶AEFs ADHAE AF AF15 甘 GF2AE _ 2AFED 一 BF，即 AE BF =2AFED2 232.解：（1） a b - 12a - 16