大学力学振动

1、921刚体可绕水平轴摆动.已知刚体质量为 m其重心C和轴o间的距离为h,刚体对转动轴线的转动惯量为I问刚体围绕平衡位置 的微小摆动是否是简谐运动？如果是，求固有频率，不计一切阻力.解刚体受力如图所示，规定逆时针为转动正方向，为与OC铅垂 线（为平衡位置）的夹角，由对O的转动定理；I ： = M = -mghsin因J很小故sin d2 1 y - mgh =0dt2dt2 I2 = mgh/29.2.2轻弹簧与物体的连接如图所示，物体 质量为m轻弹簧的劲度系数为&和k2，支 承面是理想光滑面，求系统振动的固有频 率.解以物体m为隔离体，水平方向受kl，k2的弹性力F，F2,以平衡位置 为原点建

2、立坐标系O-X，水平向右为x轴正方向。设m处于O点对两 弹簧的伸长量为0，即两个弹簧都处于原长状态。 m发生一小位移x 之后，弹簧kl的伸长量为X，弹簧k2被压缩长也为x。故物体受力为：Fx kiX -k2X（kk2）x （线性恢复力）m相当于受到刚度系数为k=k1 k2的单一弹簧的作用由牛顿第二定律:d2xdt2=-(k1 k2)xd2xdF(k1 k2)x=02 k1 k2 0m923 垂直悬挂的弹簧振子，振子质量为m弹簧的劲度系数为ki.若在振子和弹簧ki之间串联另一弹簧，使系统的频率减少一半.串联 上的弹簧的劲度系数k2应是ki的多少倍？解未串时：平衡位置 mg二mg -ki(xmd2

3、xdt2d2xdt2k1x=0串联另一刚度系数为k2的弹簧: 此时弹簧组的劲度系数为k二？ki i 二 mgk2f：2 二 mgk1 k2mgmg =k1k2k1k2/(k1 k2)k = k1k2/(k1 k2)m(k1 k2),前 0已知：亠2,前0m(k1 k2)k1k21 k2k123 1解得:924单摆周期的研究.（1）单摆悬挂于以加速度a沿水平方向直线 行驶的车厢内.（2）单摆悬挂于以加速度a上升的电梯内.（3）单摆 悬挂于以加速度a（vg）下降的电梯内.求此三种情况下单摆的周期.摆 长为.解（1）以车为参照系，摆锤为隔离体，受重力 W，摆线张力T， 惯性力Fma。平衡位置处有：T

4、 mg = 0由此可得平衡位置时摆线铅直夹角4 a tg :g（1）由平衡位置发生小角位移由牛顿第二定律：在切线方向的分量式-mgs in（：-） macos（ 打=ma即 -g（sin ： cos： cos： sin a（cos： cos： - sin： sin） = a:9 角很小，故sin日=cos日F .于是得：-g（sin：亠 cos： ） a（cos： - ：sin： ） = a式 g sin。=a cosa,-(gcosa +asina)日=a “竽则dt2dS geos 展亠 a si n：2 0 即dt2si na =,cosa =g 二因为 .g2 a2. g2 a2所以、

5、g2a2(2) 以电梯为参照系，惯性力与重力沿铅垂方向，同于的分析摆线 为铅垂位置时为平衡态.T=2xJ 丄Yg+a(3)同的分析得： g -a9.2.5在通常温度下，固体内原子振动的频率数量级为103/s.设想各原子之间彼此以弹簧连结.一摩尔银的质量为108g且包含6.02 1023个 原子.现仅考虑一列原子，且假设只有一个原子以上述频率振动，其 它原子皆处于静止，计算一根弹簧的劲度系数.解由 9.2.2 知 m这里 匕我=kk =1 m = 354（N / m）2926 弹簧振子，弹簧的劲度系数为k=9.8N/m，物体质量为20g 现将弹簧自平衡位置拉长2jcm并给物体一远离平衡位置的速度

6、，其 大小为7.0m/s，求该振子的运动学方程（SI）.解以平衡位置为原点建立坐标系0-x,水平向右为正方向。弹簧振子的运动方程为：x 二 Acos( 0t ：叱),；k 二 9.8(N / m),m 二 200g= 7(rad /s)t =0 时，x =x()=2T2(cm),v *0 = 7.0(cm/s)=3 10(m)x0 二 Acos-T t = 0 时，70 = 一A0 sina J T a = -0.34( rad )弹簧振子的运动方程:x=3 10，cos（7t-0.34）9.2.7质量为Mg的物体悬挂在劲度系数为 仙106dyn/cm的弹簧下面.（1）求其振动的周期.（2）在

7、t=0时，物体距平衡位置的位移 为0.5cm，速度为15cm/s，求其运动学方程.解以平衡位置为原点，建立坐标系O-x，竖直向下为正方向(1) 0= 0.199(s)（2）设运动方程为:x = Acos( 0t 卜工)叽=q = 31.6Jx0 Acos：t=0时，0-.-0 - -A 0 sin :-co2A”726sin = -0.688_A%故：=-0.759(rad)二-43.49所以运动学方程为:x =6.89 10cos(31.6t -0.759)9.2.8 （ 1） 一简谐振动的运动规律为x=5cos（8t+?，若计时起点提前0.5s，其运动学方程如何表示？欲使其初相为零，计时起

8、点应提前或推迟若干？（2）一简谐振动的运动学方程为x二8sin（3t -二）.若计时起点推迟 1s，它的初相是多少？欲使其初相为零，应怎样调整计时起点？（3）画出上面两种简谐振动在计时起点改变前后t = 0时旋转矢量的位置.解（1）31x 二 5cos（8t ）4 （ 1）计时起点提前0.5，则tt 0.5，代入（1）式，运动方程为:x =5cos8(t-0.5)二)=5cos8t -4 二)44设计时起点提前t。秒，可使初相为零，即弋，代入（1）式得:x =5cos(8t -8to ) = 5cos(8t )4有血厂0,即=JI即提前32秒时计时可使其初相为零。(2)x =8sin(3t -

9、二)=8cos(3t )2计时起点提前to秒时t T弋代入x 二 8cos(3t 一 3to 一 3 二)若计时起点推迟一秒，则t1，此时初相为33:-=-3t03 - 一二223若要，视一丁，需t02即推迟2秒计时时，可使初相为零（3） 见图a,b2）9.2.9 画出某简谐振动的位移时间曲线，其运动规律为x 二 2 cos 2（SI 制）x=2cos2:（t）4（ SI 制）t =t 1令 4贝卩有x=2cos2：tt（s）9.2.10半径为R的薄圆环静止于刀口O上，令其在自身平面内作微为周期引的余弦曲线。画出x-f曲线，再根据小摆动.（1）求其振动的周期.（2）求与其振动周期相等的单摆的长

10、 度.（3）将圆环去掉3而刀口支于剩余圆弧的中央，求其周期与整圆环摆动周期之比.(1)该装置为物理摆，利用921对一般刚体得到的公式T =2二.mmgh 为薄圆球质量。h = R根据平行轴定理:.T =2二mgRI =|o=|0+mOO2=mR2+mR2=2mR2 2mR2 c2 二(2)根据单摆公式To=2g由T二T。，可得f =2R= 2兀 (3)该装置为物理摆，仍利用公式Imgh由对称性可知，质心位于oo上。m为剩余圆弧的质量，h = oc。根据平衡轴定理。ImRIc moc|c m(R-h)210 = lc m n 二 m R2 - m (R - h )2 m h 2 = 2 m Rh

11、T 七 2mRh =2二 故 ：m gh即T T可知不管圆环去掉多少，只要刀口高于剩余圆弧中央，其振动周 期均不变。9.2.11 1m长的杆绕过其一端的水平轴作微小摆动而成为物理摆.另 一线度极小的物体与杆的质量相等固定于杆上离转轴为 h的地方.用T。表示未加小物体时杆子的周期，用T表示加上小物体以后的周期T(1)求当h=50cm和h = 100cm时的比值To . ( 2)是否存在某一 h值,可令T =To，若有可能，求出h值并解释为什么h取此值时周期不变.(1)利用921T = 2兀得到的物理摆公式设m0为杆质量,-为杆长,未加小物体时,加小物体后,I =gmof1 2 3,m 二 m,h

12、mog-2:23g2 mh2mT =2-mo2 +mh2T 2)工一 3尸* 3g _严3hI m0F m0h , m = 2m0,hTo !2g(f h)22 2fhI 42f =100, h =50，即卩 h = 士时,工二.了 =o.935 2To丫8f =100, h =100,即 h =:时，工二 4 =1.155 To N3T _1(2)由 To，即 t2 3h.(2 - 2fh2m =代 h? = o可得：132讨论：由 3g，此物理摆的等效单摆长度为3,。在 3处加另 一物体，相当于使等效单摆的摆锤质量增加而摆长不变，故周期不变。6二0，即小物体置于转动轴上，对运动无影响。故周

13、期不变。 9.2.12天花板下以0.9m长的轻线悬挂一个质量为 0.9kg的小球.最 初小球静止，后另有一质量为 0.1kg的小球沿水平方向以1.0m/s的 速度与它发生完全非弹性碰撞。求两小球碰撞后的运动学方程.解以小球叫叫为物体系。碰撞前后的过程始末，在过程中认为mi，m2仍在原小球m2静止处。水平方向动量守恒：m2、2x =(mim2)、X口2、2xm1 m2-0.1(m/s)碰撞后成为一个单摆作简谐运动，设其运动方程为v - Acos( 0t、二)以碰后小球m1,m2获得速度0.1(m/s)，而二=0时为计时起点，即罰角速度)t =0 时 “0,t =0A 二-0.0337sina =

14、 = 1,o(=由 cos - 0 ,A 02- 0.0337 cos(3.3t ),-故运动方程2在二很小的条件下，x十，所以e,一 x = 0.03cos(3.3t)用线量描述的运动方程为2。9.2.13求第四章习题465题中铅块落入框架后的运动学方程.解以物体E为隔离体，根据自由落体的运动规律可知：m2落至盘上的速度为、0x. 2gh,h =0.30m在以框架m1，物体m2为物体系。完全非弹性碰撞前后为过程始 末，因外力(弹簧弹性力，重力)内力，故可用动量守恒定律求近似解：m2、0x 二伸1 m2) X,m1 =m2 =0.2kg1 1 所以x =2x =2、2gh设弹簧自由伸展的位置为

15、a,挂框架后平衡位置为b,碰后平衡位 置为Q O即为坐标系O-x之原点.依题意 f。=ab=0.10m因 k 二 me，k(f bo) = (mm2)g故 bo= i： 0 = 0.10m,而 kmg碰撞后系统为一数值悬挂的弹簧振子，舍弃运动方程为x=Acos( 0t )以碰撞之后m1，m2的共同速度x运动，而处于b处时为计时起点，即:二 7.0(rad/s)_ I 0 0cos - - -0.5,sin =-0.866, ： -4.19(rad)由 AA 0运动方程为：x = 0.2cos(7t 4.19)可选择适当的计时起点使初项为零，则运动方程可表示为x = 0.2cos 7t9.2.1

16、4 第四章习题465题中的框架若与一个由框架下方沿铅垂 方向飞来的小球发生完全弹性碰撞，碰后框架的运动学方程是怎样 的？已知小球20g,碰框架前的速度为10m/s.解以框架m1，小球m2为物体系。以框架平衡位置为原点建立坐标 系O-x，竖直向下为正方向：以完全弹性碰撞前后为过程始末，设小球的碰撞前速度为2x，小球框架碰后速度为2x,Lx，因外力 内力，故可用动量守恒定律近 似求解。又因碰撞为完全弹性碰撞，碰撞前后总动能相等。m 2x f x m 2x2 22m1-m_! = 0.20kg,m2 = 0.020kg,、& = T0(m/s)可以求得:20(m/s)11在一框架为隔离体。碰撞之后平

17、衡位置不变，仍未 0点。系统为一竖直悬挂的弹簧振子，设其运动方程为:x 二 Acos（ 0t 卜二）x，而处于O点时为计时起点，即:以碰撞后，框架获得速度2011故XoV ocos -二 0,sin0由AA omg .；根据题意，弹簧刚性系数 “700 .1兀1 a =157（rad） 知 2 I丿所以运动方程为x=0.184cos（9.9t 孑）9.2.15 质量为m的物体自倾角为二的光滑斜面顶点处由静止而滑 下，滑行了 远后与一质量为m 的物体发生完全非弹性碰撞.m与劲 度系数为k的弹簧相连.碰撞前m 静止于斜面上，如图所示.问两物体 碰撞后作何种运动，并解出其运动方程.已知 m = m

18、= 5 k g=, k 弘 9 0 (N / m ,ab k = m g sin v - mg sin vao k=(m+m )g sin v - 2mg sin v (m = m )以物体m为隔离体，物体m由斜面顶滑下，做匀加速运动滑行 远 后速度为0x=2gfsin * x 二,2gfsin再以m，m为物体系。以完全非弹性碰撞前后为过程始末，且近似 认为碰撞过程中m,m位置不变。m、x =(m m ) xm、0X 12gfs innm m _ ? 0X _ 2当m,m发生完全非弹性碰撞之后，沿ox方向的动力学方程为2mdt2=-k(x ao) 2mgsin 二:ao k 二 2mgsin

19、二故2md2xdt2=-kxm，m受线性恢复力，做简谐运动根据定义2mm,m 的运动方程为X二AcosCst*)若以碰撞后弹簧压缩最甚时为计时起点，设此时坐标为 x则x0 cos 0t Xq =Xj cos( 0 0什寫)，.：=0现在求Xo。以弹簧自由伸长位置a为重力势能、弹性势能零点在由碰撞后到达压缩最甚的过程中机械能守恒，有1 2 1 2(m m )、x kab -(m m )gabsin v2 22k( x0 ao) _(m m )g( x0 ao)sin 丁 2kx：二 mg.f sin vm2g2 sin2 寸kmgsind 丄 m2g2sin2日,Xo :k2代数，X。=0.11

20、8（m）.运动方程 Xo =0.118cos7t9.3.1 1851年佛科做证明地球自转的实验，摆长69m下悬重球28kg.设其振幅为5.0，求其周期和振动的总能量，重球最低处势能为零解根据单摆周期公式=2许2心14岛= 16.7(s)以悬线铅直时为势能零点，则振动的总能量即等于摆锤在最高点 时的势能E =mgf(1-cosr0) =72(J)932弹簧下面悬挂质量为50g的物体，物体沿竖直方向的运动学方程为x=2sin10t，平衡位置为势能零点（单位时间：s，长度单位:cm）.（1）求弹簧的劲度系数，（2）求最大动能，（3）总能量.解（1）根据弹簧振子kmk = m =50 1 0- 102

21、 = 5.0(N/ m),x=2sin10t(2)由TT= 2cos(10t 巧)d x20si n(10t)dt2速度最大值fax =20 10(m/s)123故最大动能丘咙 9m max .10一()(3)总能即等于最大动能E二Ekmax .00 10 (J)123E kA =1.00 10_(J)或2丿9.3.3 若单摆的振幅为厲，试证明悬线所受最大拉力等于mg(3 -2co叽)解设摆锤质量为m,摆长为，-为最大摆角。以摆锤为隔离体。受 重力W，张力T单摆的运动方程为当摆角为r时，沿法向方向的动力学方程为十2T -mg cos J - m十2T = mg cos 亠 mT单摆二很小，故C

22、OST -1v2T = mg m2Tmax =mg m*maxmax, =0;.-：0 Si n（ ；.T0t_：i ）j max -如 0Tmax = mg m （、 0）= mg - m, 0- -0max-Tmax 二 mg mJ0 g = mg（1 璋）又由抄mgfZZ机械能守恒1 .f max = g（1 _cos4）Io0 o =g（1-COS）-o = 1 - cos 入, -o = 2 - 2 cos 厲1 故Tmax =mg（3-2 cosf）941 在电子示波器中，由于互相垂直的电场的作用，使电子在荧 光屏上的位移为x 二 A cos ty = Acos（ t 叱）Tt JI求出一 0, 3,2时的轨迹方程并画图表示解由y = A cos（ t ：-：）：-=0时,x = y. gog（1-cosn。）当 一3时，x =