等差数列前n项和性质及应用

1、等差数列前n项和性质及应用 等差数列前n项和的性质及应用 2018年3月 等差数列前n项和性质及应用 知识回顾： 1. an为等差数列为等差数列 . ， an= ， 更一般的，更一般的，an= ，d= . a n+1 - an=d2a n+1 =a n+2 +an a1+(n-1)dan=an+b a、b为常数为常数 am+(n-m)d mn aa mn 2 )( 1n aan d nn na 2 )1( 1 2.等差数列前n 项和Sn = = . 等差数列前n项和性质及应用 复习：复习： 等差数列的前等差数列的前n项和公式项和公式 2 )( 1n n aan S 2 ) 1( 1 dnn n

2、aS n 等差数列前n项和性质及应用 1、通项公式与前、通项公式与前n项和的关系：项和的关系： nnS n 2 1 2 例例1、已知数列、已知数列a n的前的前n项和项和 为为 ，求这个数列的通项，求这个数列的通项 公式。这个数列是等差数列吗？如果是，公式。这个数列是等差数列吗？如果是， 它的首项与公差分别是什么？它的首项与公差分别是什么？ 等差数列前n项和性质及应用 分析：分析： nnn aaaaaS 1321 ) 1( 13211 naaaaS nn 所以当所以当n 1时，时， 2 1 2)1( 2 1 ) 1( 2 1 22 1 nnnnnSSa nnn 当当n = 1时，时， 2 3

3、11 Sa也满足上式。也满足上式。 因而，数列因而，数列 n a是一个首项为是一个首项为 2 3 ，公差为，公差为2的等差数列。的等差数列。 等差数列前n项和性质及应用 注：由上例得注：由上例得S n与与 n a之间的关系：之间的关系： 由由 n S的定义可知，当的定义可知，当n = 1时，时， 11 aS 当当n 2时，时， 1 nnn SSa )2( ) 1( 1 1 nSS nS a nn n 即 等差数列前n项和性质及应用 新课1 等差数列前n项和性质及应用 n a 2 n Spnqnr 0p 探究：如果一个数列探究：如果一个数列的前的前n项和为项和为 ，其中，其中p、q、r为常数，且

4、为常数，且 ，那么这个数列一定是，那么这个数列一定是 等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？ 1nnn aSS 2 n Spnqnr 11 Sapqr 分析：由分析：由 ，得，得 令令p + q + r = 2p (p + q)，得，得r = 0。 时当2n 22 () (1)(1)pnqnrp nq nr2()pnpq = = n a所以当所以当r = 0时，数列时，数列 是等差数列，首项是等差数列，首项a 1 = p + q， pqpnpqppnaad nn 2)() 1(2)(2 1 公差 等差数列前n项和性质及应用 有有最最大大值值

5、 n Sda, 0, 0 1 0 0 1n n a a 有有最最小小值值 n Sda, 0, 0 1 0 0 1n n a a 2 , n SAnBn二、配方，看对称轴 等差数列的前等差数列的前n项的最值问题项的最值问题 一、 11 =0 mmm SSa 三、特别的 等差数列前n项和性质及应用 例题：已知等差数列例题：已知等差数列 的前的前 n 项和项和 为为 ，求使得，求使得 最大的序号最大的序号 n 的值。的值。 n S 7 4 3 , 7 2 4 , 5 n S 的的值值。二二次次函函数数来来求求 以以利利用用一一些些点点。因因此此，我我们们可可的的图图象象是是一一条条抛抛物物线线的的

6、关关于于，容容易易知知道道时时的的函函数数值值。另另一一方方面面当当 可可以以看看成成函函数数，所所以以 项项和和公公式式可可以以写写成成等等差差数数列列的的前前 n n SnxNx x d ax d ySn d a n d Sn n n n )( ) 2 ( 2 ) 2 ( 2 1 2 1 2 分析：分析： 等差数列的前等差数列的前n项的最值问题项的最值问题 等差数列前n项和性质及应用 1：数列an是等差数列，是等差数列， 1 50,0.6ad （1）从第几项开始有）从第几项开始有0 n a （2）求此数列前）求此数列前n项和的最大值项和的最大值 练习： 1011 2 nS =S n n1

7、，设为等差数列a ，公差d=-2， S 为其前 项和，若则a 等差数列前n项和性质及应用 有有最最大大值值 n Sda, 0, 0 1 0 0 1n n a a 有有最最小小值值 n Sda, 0, 0 1 0 0 1n n a a 配方，看对称轴配方，看对称轴, 2 BnAnSn 小结：小结：aan n 为等差数列，求为等差数列，求S Sn n的最值。的最值。 等差数列前n项和性质及应用 已知等差数列已知等差数列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n 取何值时取何值时,Sn取最大值取最大值. 解法解法1由由S3=S11得得 11 3 133211 1311 10 22 dd d=2 1

8、 13(1) ( 2) 2 n Snn n 2 14nn 2 (7)49n 当当n=7时时,Sn取最大值取最大值49. 7 n 1 1 3 S n 能力提升 等差数列前n项和性质及应用 已知等差数列已知等差数列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n 取何值时取何值时,Sn取最大值取最大值. 解法解法2由由S3=S11得得d=2 当当n=7时时,Sn取最大值取最大值49. an=13+(n-1) (-2)=2n+15 由由 1 0 0 n n a a 得得 15 2 13 2 n n 等差数列前n项和性质及应用 已知等差数列已知等差数列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n 取何值时

9、取何值时,Sn取最大值取最大值. 解法解法3由由S3=S11得得d=20,S130 13a1+136d0 24 3 7 d 等差数列等差数列an前前n项和的性质项和的性质 等差数列前n项和性质及应用 (2) 1 1 (1) 2 n Snan nd 1 (122 )(1) 2 ndn nd 2 5 (12) 22 dd nn Sn图象的对称轴为图象的对称轴为 512 2 n d 由由(1)知知 24 3 7 d 由上得由上得 51213 6 22d 13 6 2 n即即 由于由于n为正整数为正整数,所以当所以当n=6时时Sn有最大值有最大值. Sn有最大值有最大值. 等差数列前n项和性质及应用

10、作业作业 求集合求集合 的元素个数，并求这些元素的和的元素个数，并求这些元素的和. . 60, 12 mNnnmmM 等差数列前n项和性质及应用 作业作业 1 1、已知等差数列、已知等差数列25,21,19, 25,21,19, 的前的前n项和为项和为Sn, ,求使求使 得得Sn最大的序号最大的序号n的值的值. . 2 2：已知在等差数列：已知在等差数列 an n 中中, ,a10=23, , a25=-22 , ,Sn为其前为其前n项和项和. . （1 1）问该数列从第几项开始为负？）问该数列从第几项开始为负？ （2 2）求）求S10 （3 3）求使）求使 Sn0的最小的正整数的最小的正整数

11、n. . (4) (4) 求求| |a1 1|+|+|a2 2|+|+|a3 3|+|+|+|a20 20| |的值 的值 等差数列前n项和性质及应用 1.1.根据等差数列前根据等差数列前n n项和，求通项公式项和，求通项公式. . 1 1 1 2 n nn an a SSn 2 2、结合二次函数图象和性质求、结合二次函数图象和性质求 的最值的最值. . n d an d Sn) 2 ( 2 1 2 等差数列前n项和性质及应用 3.等差数列等差数列an前前n项和的性质项和的性质 性质性质1:Sn,S2nSn,S3nS2n, 也在等差数列也在等差数列, 公差为公差为 在等差数列在等差数列an中中

12、,其前其前n项的和为项的和为Sn,则有则有 性质性质2:若若Sm=p,Sp=m(mp),则则Sm+p= 性质性质3:若若Sm=Sp (mp),则则 Sp+m= 性质性质4:(1)若项数为偶数若项数为偶数2n,则则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1为中为中 间两项间两项), 此时有此时有:S偶 偶 S奇 奇= , S S 奇奇 偶偶 n2d 0 nd 1 n n a a (m+p) 等差数列前n项和性质及应用 性质性质4:(1)若项数为奇数若项数为奇数2n1,则则 S2n-1=(2n 1)an (an为中间项为中间项), 此时有此时有:S偶 偶 S奇 奇= ,

13、S S 奇奇 偶偶 两等差数列前两等差数列前n项和与通项的关系项和与通项的关系 性质性质6:若数列若数列an与与bn都是等差数列都是等差数列,且且 前前n项的和分别为项的和分别为Sn和和Tn,则则 n n a b 性质性质5: 为等差数列为等差数列. n S n an 1 n n 21 21 n n S T 等差数列前n项和性质及应用 新课5 等差数列前n项和性质及应用 倒序法求和倒序法求和 倒序相加法：倒序相加法：将数列的顺序倒过来排列，与原数列两式将数列的顺序倒过来排列，与原数列两式 相加，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，这相加，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，这 样的数列

14、可用倒序相加法求和。样的数列可用倒序相加法求和。 等差数列前n项和性质及应用 倒序法求和倒序法求和 22 1 )( x xf 23 例例1.1.若若 )6()5()4()5(ffff ，则，则 的值为的值为 。 22 1 )( x xf x x x xf 222 2 22 1 )1 ( 1x x 22 2 2 1 2 2 22 2 2 1 1 )1 ()( x x xfxf 【解析】【解析】 等差数列前n项和性质及应用 裂项法求和裂项法求和 一些常用的裂项公式一些常用的裂项公式: : 1 1 ) 1 ( nn 12) 12( 1 )2( nn )2( 1 )3( nn nn 1 1 )4( 1

15、 11 nn ) 12 1 12 1 ( nn 2 1 nn1) 2 11 ( nn 2 1 等差数列前n项和性质及应用 1111 2. 11 21 231 2 n S n 例 求的值 解解： n an 21 1 设设 )1( 2 nn ) 1 11 (2 nn ) 1 11 () 1 1 1 () 3 1 2 1 () 2 1 1(2 nnnn 1 2 2) 1 1 1(2 nn Sn )1( 2 )1( 2 32 2 21 2 nnnn Sn 等差数列前n项和性质及应用 利用数列周期性求和利用数列周期性求和 有的数列是周期数列，把握了数列的周期则可顺利求和有的数列是周期数列，把握了数列的周

16、期则可顺利求和. .关关 键之处是寻找周期。键之处是寻找周期。 n a nnn aaaaaa 12321 , 2, 3, 1 2002 S 例例3 3：在数列：在数列中，中， 求求 nnn aaaaaa 12321 , 2, 3, 1 , 2, 3, 1 654 aaa , 2, 3, 1, 2, 3, 1 121110987 aaaaaa 解：由解：由 可得可得 等差数列前n项和性质及应用 利用数列周期性求和利用数列周期性求和 2, 3, 1, 2, 3, 1 665646362616 kkkkkk aaaaaa 0 665646362616 kkkkkk aaaaaa 2002 S)()()( 66261612876321 kkk aaaaaaaaaa 2002200120001999199819941993 )(aaaaaaa 2002200120001999 aaaa 5 4321 aaaa 而而 等差数列前n项和性质及应用 例例4 4：求和：求和 其它方法求和其它方法求和 合合 并 并 求 求 和 和 法 法 ) 12() 1(531n n 解：设解：设) 12() 1(531nS n n 当当n n为偶数时，设为偶数时，设n=2kn=2k，则，则 ) 14()34(531 2 kkS k )14