22章二次函数复习课件（44张

1、 二次函数的定义：二次函数的定义： 形如形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，是常数， a0) 的函数叫做二次函数的函数叫做二次函数 想一想想一想:函数的自变量函数的自变量x是否可以取任何值是否可以取任何值 呢呢? 注意注意:当二次函数表示某个实际问题时当二次函数表示某个实际问题时,还必还必 须根据题意确定自变量的取值范围须根据题意确定自变量的取值范围. 函数函数yax2bxc 其中其中a、b、c是常数是常数 切记：切记：a0 右边一个右边一个x的二次多项式（不能是分式或根式）的二次多项式（不能是分式或根式） 二次函数的特殊形式：二次函数的特殊形式： 当当b0时，时， yax2c 当当

2、c0时，时， yax2bx 当当b0，c0时，时， yax2 知识运用知识运用 下列函数中，哪些是二次函数？下列函数中，哪些是二次函数？ (1)y=3x-1 (2)y=3x2 (3)y=3x3+2x2 (4)y=2x2-2x+1 (5)y=x -2 +x (6)y=x2-x(1+x) 驶向胜 利的彼 岸 当m取何值时，函数是取何值时，函数是y= (m+2)x 分别分别 是一次函数？是一次函数？ 反比例函数？反比例函数？ 知识运用知识运用 m2-2 二次函数？二次函数？ （一）形如y = ax 2(a0) 的二次函数 向上向上 向下向下 直线X=0 (0,0) （二）（二）形如y = ax 2+

3、k(a0) 的二次函数 直线X=0（0，K） 向上向上 向下向下 直线直线X=h（h，0） （三）、形如（三）、形如y = a (x - h) 2 ( a0 ) 的二次函数的二次函数 巩固练习巩固练习1： （1）抛物线）抛物线y = x 2的开口向的开口向 ,对称轴是对称轴是 , 顶点坐标是顶点坐标是 ,图象过第图象过第 象限象限 ； （2)已知已知y = - nx 2 (n0) , 则图象则图象 ( ) （填（填“可能可能”或或“不可能不可能”）过点）过点A（-2，3）。）。 上上Y轴轴 (0,0)一、二一、二 不可能不可能 3 2 （3）抛物线）抛物线y = x 2+3的开口向的开口向 ,

4、对称对称 轴是轴是 , 顶点坐标是顶点坐标是 ,是由抛物线是由抛物线 y = x 2向向 平移平移 个单位得到的；个单位得到的； 2 1 2 1 上 直线X=0 （0，3） 上 3 （2）已知（如图）抛物线）已知（如图）抛物线y = ax 2+k的图象，的图象， 则则a 0，k 0；若图象过；若图象过A (0,-2) 和和B (2,0) ， 则则a = ,k = ；函数关系式是；函数关系式是y = 。 0.5-2 0.5x 2-2 X Y A B O (四四) 形如形如y = a (x+h) 2 +k (a 0) 的二次函数的二次函数 a 0 a 0 直线X=-h （-h，k） 练习巩固练习巩

5、固2: （1）抛物线 y = 2 (x ) 2+1 的开口向 , 对称轴 , 顶点坐标是 （2）若抛物线y = a (x+m) 2+n开口向下，顶 点在第四象限，则a 0, m 0, n 0。 上上 X=（，（，1） 2、已知二次函数、已知二次函数y=- x2+bx-5的图象的的图象的 顶点在顶点在y轴上，则轴上，则b=_。 1 2 0 -1 -2 -3-4 01234 1 2 3 4 5 6 -1 -2 观察观察y=xy=x2 2与与y=xy=x2 2-6x+7-6x+7的函数图象，说说的函数图象，说说y=xy=x2 2-6x+7-6x+7的的 图象是怎样由图象是怎样由y=xy=x2 2的图

6、象平移得到的？的图象平移得到的？ y=xy=x2 2-6x+7-6x+7 =x=x2 2-6x+9-2-6x+9-2 =(x-3)=(x-3)2 2-2-2 平移规律：平移规律： h决定左右决定左右 左正右负左正右负 K决定上下决定上下 上正下负上正下负 基础练习基础练习 1.由由y=2x2的图象向左平移两个单位的图象向左平移两个单位,再向下平再向下平 移三个单位移三个单位,得到的图象的函数解析式为得到的图象的函数解析式为 _ 2.由函数由函数y= -3(x-1)2+2的图象向右平移的图象向右平移4个单位个单位, 再向上平移再向上平移3个单位个单位,得到的图象的函数解析式得到的图象的函数解析式

7、 为为_ y=2(x+2)2-3=2x2+8x+5 y= - 3(x-1-4)2+2+3=-3x=-3x2 2+30 x-70+30 x-70 3.抛物线抛物线y=ax2向左平移一个单位向左平移一个单位,再向下再向下 平移平移8个单位且个单位且y=ax2过点过点(1,2).则平移后则平移后 的解析式为的解析式为_;y=2(x+1)2-8 4.将抛物线将抛物线y=x2-6x+4如何移动才能得到如何移动才能得到y=x2. 逆向思考逆向思考,由由y=x2-6x+4 =(x-3)2-5知知:先向左平移先向左平移3个个 单位单位,再向上平移再向上平移5个单位个单位. 二次二次函数函数y=axy=ax2

8、2+bx+c+bx+c(a0)(a0)的图象和性质的图象和性质 .顶点坐标与对称轴顶点坐标与对称轴 .位置与开口方向位置与开口方向 .增减性与最值增减性与最值 抛物线抛物线 顶点坐标顶点坐标 对称轴对称轴 位置位置 开口方向开口方向 增减性增减性 最值最值 y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0) y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0 开口向下开口向下 a0 交点在交点在x轴下方轴下方c0 与与x轴有一个交点轴有一个交点b2-4ac=0 与与x轴无交点轴无交点 b2-4ac0； 当当0 x1x22时，时，y1 y2 你认为其中正确的个数有你认为其中正确的个数有 （ ） A

9、2 B3 C4 D5 C 3 3、已知二次函数、已知二次函数 的图象如图所示，则函数的图象如图所示，则函数 的图象只可能是（的图象只可能是（ ） yaxc 2 (1)ya xc x y 0 1 x y 0 x y 0 x y 0 x y 0 ( )A( )B( )C ()D D 2、已知抛物线顶点坐标（、已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设），通常设 抛物线解析式为抛物线解析式为_ 3、已知抛物线与、已知抛物线与x 轴的两个交点轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为通常设解析式为_ 1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为、已知抛物线上的三点，通常设解析式为 _ y=ax2+

10、bx+c(a0) y=a(x-h)2+k(a0) y=a(x-x1)(x-x2) (a0) 求抛物线解析式的三种方法求抛物线解析式的三种方法 练习根据下列条件，求二次函数的解析式。练习根据下列条件，求二次函数的解析式。 (1)、图象经过、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点；三点； (2)、图象的顶点、图象的顶点(2，3)， 且经过点且经过点(3，1) ； (3)、图象经过、图象经过(-2，0)， (3，0) ，且最高点，且最高点 的纵坐标是的纵坐标是3 。 1.1.已知一个二次函数的图象经过点已知一个二次函数的图象经过点 （0 0，0 0），（），（1 1，3 3），（）

11、，（2 2，8 8）。）。 如何求下列条件下的二次函数的解析式如何求下列条件下的二次函数的解析式: 3.3.已知二次函数的图象的对称轴是直线已知二次函数的图象的对称轴是直线x=3,x=3, 并且经过点并且经过点(6,0),(6,0),和和(2,12)(2,12) 2.2.已知二次函数的图象的顶点坐标为已知二次函数的图象的顶点坐标为 （2 2，3 3），且图象过点（），且图象过点（3 3，2 2）。）。 4.4.矩形的周长为矩形的周长为6060，长为，长为x x，面积为，面积为y y，则，则y y关于关于 x x的函数关系式的函数关系式 。 1 1、函数、函数y=axy=ax2 2-ax+3x+

12、1-ax+3x+1的图象与的图象与x x轴有且只有一轴有且只有一 个交点，那么个交点，那么a a的值和交点坐标分别为的值和交点坐标分别为 。9 9或或1 1 2 2、写出一个开口向下，对称轴是直线、写出一个开口向下，对称轴是直线x=3x=3， 且与且与y y轴交于（轴交于（0 0，-2-2）的抛物线解析式。）的抛物线解析式。 练一练练一练 3 3、把抛物线、把抛物线y=-3xy=-3x2 2绕着它的顶点旋转绕着它的顶点旋转1801800 0后所后所 得的图象解析式是得的图象解析式是 。y=3xy=3x2 2 4 4、已知二次函数、已知二次函数y=ay=a（x-hx-h）2 2+k+k的图象过原

13、点，的图象过原点， 最小值是最小值是-8-8，且形状与抛物线，且形状与抛物线y=0.5xy=0.5x2 2-3x-5-3x-5的形的形 状相同，其解析式为状相同，其解析式为 。 y=0.5y=0.5（x x4 4）2 2-8-8 5 5、若、若x x为任意实数，则二次函数为任意实数，则二次函数y=xy=x2 2+2x+3+2x+3的函的函 数值数值y y的取值范围是的取值范围是 。 y2y2 6 6、抛物线、抛物线y=2xy=2x2 2-4x-1-4x-1是由抛物线是由抛物线y=2xy=2x2 2-bx+c-bx+c向向 左平移左平移1 1个单位，再向下平移个单位，再向下平移2 2个单位得到的

14、，个单位得到的， 则则b=b= ，c=c= 。 7 7、已知抛物线、已知抛物线y=2xy=2x2 2+bx+8+bx+8的顶点在的顶点在x x轴上，轴上， 则则b=b= 。 8 83 3 8 8 8 8、已知、已知y=xy=x2 2- -（12-k12-k）x+12x+12，当，当x x1 1时，时，y y随随 x x的增大而增大，当的增大而增大，当x x1 1时，时，y y随随x x的增大而减的增大而减 小，则小，则k k的值为的值为 。1010 例例1、已知二次函数、已知二次函数y=ax2+bx+c的最的最 大值是大值是2，图象顶点在直线，图象顶点在直线y=x+1上，并上，并 且图象经过点

15、（且图象经过点（3，-6）。求）。求a、b、c。 解：解：二次函数的最大值是二次函数的最大值是2 抛物线的顶点纵坐标为抛物线的顶点纵坐标为2 又又抛物线的顶点在直线抛物线的顶点在直线y=x+1上上 当当y=2时，时，x=1 顶点坐标为（顶点坐标为（ 1 ， 2） 设二次函数的解析式为设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又又图象经过点（图象经过点（3，-6） -6=a (3-1)2+2 a=-2 二次函数的解析式为二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2 即：即： y=-2x2+4x w二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象和的图象和x x轴交点有三种情况轴交

16、点有三种情况: :有两个交点有两个交点, , 有一个交点有一个交点, ,没有交点没有交点. .当二次函数当二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象和的图象和x x轴有交轴有交 点时点时, ,交点的横坐标就是当交点的横坐标就是当y=0y=0时自变量时自变量x x的值的值, ,即一元二次方程即一元二次方程 axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根的根. . 有两个交点有两个交点 有两个相异的实数根有两个相异的实数根b b2 2-4ac 0-4ac 0 有一个交点有一个交点有两个相等的实数根有两个相等的实数根 b b2 2-4ac = 0-4ac = 0 没有交点没有交点没有实

17、数根没有实数根 b b2 2-4ac 0-4ac 0 4.根据下列表格中二次函数根据下列表格中二次函数yax2+bx+c的自变量的自变量 与函数值的对应值，判断方程与函数值的对应值，判断方程ax2+bx+c =0 （a0, a, b, c为常数）的一个解的范围是（为常数）的一个解的范围是（ ） A6.17 X 6.18 B6.18 X 6.19 C- -0.01 X 0.02 D6.19 X 6.20 B 选择选择 (1)抛物线抛物线y=x2-4x+3的对称轴是的对称轴是_. A 直线直线x=1 B直线直线x= -1 C 直线直线x=2 D直线直线x= -2 (2)抛物线抛物线y=3x2-1的

18、的_ A 开口向上开口向上,有最高点有最高点 B 开口向上开口向上,有最低点有最低点 C 开口向下开口向下,有最高点有最高点 D 开口向下开口向下,有最低点有最低点 (3)若若y=ax2+bx+c(a 0)与轴交于点与轴交于点A(2,0), B(4,0), 则对称轴是则对称轴是_ A 直线直线x=2 B直线直线x=4 C 直线直线x=3 D直线直线x= -3 (4)若若y=ax2+bx+c(a 0)与轴交于点与轴交于点A(2,m), B(4,m), 则对称轴是则对称轴是_ A 直线直线x=3 B 直线直线x=4 C 直线直线x= -3 D直线直线x=2 c c B B C A A 综合创新综合

19、创新: : 1.1.已知抛物线已知抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与抛物线与抛物线y=-xy=-x2 2-3x+7-3x+7的的 形状相同形状相同, ,顶点在直线顶点在直线x=1x=1上上, ,且顶点到且顶点到x x轴的距离轴的距离 为为5,5,请写出满足此条件的抛物线的解析式请写出满足此条件的抛物线的解析式. . 解解: :抛物线抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与抛物线与抛物线y=-xy=-x2 2-3x+7-3x+7的形状的形状 相同相同 a=1a=1或或-1-1 又又顶点在直线顶点在直线x=1x=1上上, ,且顶点到且顶点到x x轴的距离为轴的距离为5,5

20、, 顶点为顶点为(1,5)(1,5)或或(1,-5)(1,-5) 所以其解析式为所以其解析式为: : (1) y=(x-1) (1) y=(x-1)2 2+5 (2) y=(x-1)+5 (2) y=(x-1)2 2-5-5 (3) y=-(x-1) (3) y=-(x-1)2 2+5 (4) y=-(x-1)+5 (4) y=-(x-1)2 2-5-5 2.2.若若a+b+c=0,aa+b+c=0,a 0,0,把抛物线把抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c向下向下 平移平移4 4个单位个单位, ,再向左平移再向左平移5 5个单位所到的新个单位所到的新 抛物线的顶点是抛物线的顶点是

21、(-2,0),(-2,0),求原抛物线的解析式求原抛物线的解析式. . 分析分析: :(1) (1)由由a+b+c=0a+b+c=0可知可知, ,原抛物线的图象经过原抛物线的图象经过(1,0)(1,0) (2) (2) 新抛物线向右平移新抛物线向右平移5 5个单位个单位, , 再向上平移再向上平移4 4个单位即得原抛物线个单位即得原抛物线 答案答案:y=-x:y=-x2 2+6x-5+6x-5 练习练习1、已知抛物线、已知抛物线y=ax2+bx-1的对称轴是的对称轴是x=1 ， 最高点在直线最高点在直线y=2x+4上。上。 (1) 求此抛物线的顶点坐标求此抛物线的顶点坐标. （2）求抛物线解析

22、式）求抛物线解析式. （3）求抛物线与直线的交点坐标）求抛物线与直线的交点坐标. 解：解：二次函数的对称轴是二次函数的对称轴是x=1 图象的顶点横坐标为图象的顶点横坐标为1 又又图象的最高点在直线图象的最高点在直线y=2x+4 上上 当当x=1时，时，y=6 顶点坐标为（顶点坐标为（ 1 ， 6） 例例2 2、已知抛物线已知抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与与x x轴正、负半轴分轴正、负半轴分 别交于别交于A A、B B两点，与两点，与y y轴负半轴交于点轴负半轴交于点C C。若。若OA=4OA=4， OB=1OB=1，ACB=90ACB=90，求抛物线解析式。，求抛物线解析式

23、。 解：解： 点点A在正半轴，点在正半轴，点B在负半轴在负半轴 OA=4，点点A（4，0） OB=1， 点点B（-1，0） ACB=90 CAO=BCO CAO+OCA=90,OCA+BCO=90 BOC=COA, CO OC=2，点，点C（0，-2） 由题意可设由题意可设ya（x）（）（x）得：）得： a（）（）（）（） a. y.（x）（）（x） ABx y O C 练习、已知二次函数练习、已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图。的图象如图。 (1)、当、当x为何值时，为何值时，y随随x的增大而增大的增大而增大; (2)、当、当x为何值时，为何值时，y0。 y O x (3)、求它的解

24、析式和顶点坐标；、求它的解析式和顶点坐标； 2.5 河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型，建立如图所河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型，建立如图所 示的坐标系，其函数的表达式为示的坐标系，其函数的表达式为y= - xy= - x2 2 ， ， 当水位线在当水位线在ABAB位位 置时，水面宽置时，水面宽 AB = 30AB = 30米米，这时水面离桥顶的高度这时水面离桥顶的高度h h是（是（ ） A A、5 5米米 B B、6 6米；米； C C、8 8米；米； D D、9 9米米 解：当解：当x=15时时， Y=-1/25 152 =-9 问题1： 练习练习. .你知道吗？平时我们在跳绳时，绳甩

25、到最高处的你知道吗？平时我们在跳绳时，绳甩到最高处的 形状可近似的看为抛物线，如图所示，正在甩绳的甲、形状可近似的看为抛物线，如图所示，正在甩绳的甲、 乙两名学生拿绳的手间距为乙两名学生拿绳的手间距为4 4米米，距地面均为，距地面均为1 1米米，学生，学生 丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1 1米米、2.52.5米米处，处， 绳子甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，已知学生丙绳子甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，已知学生丙 的身高是的身高是1.51.5米米，请你算一算学生丁的身高。，请你算一算学生丁的身高。 1m 2.5m 4m 1m 甲甲乙乙 丙丙丁丁 x

26、y o (0,1)(0,1) (4,1)(4,1) (1,1.5)(1,1.5) （3）销售量可以表示为）销售量可以表示为 （1）销售价可以表示为）销售价可以表示为 （50+x）元）元 个个 （2）一个商品所获利）一个商品所获利可以表示为可以表示为（50+x-40）元）元 （4）共获利）共获利可以表示为可以表示为 解解： =- 10（x-20）2 +9000 某企业投资某企业投资100100万元引进一条产品加工生产线，若不计万元引进一条产品加工生产线，若不计 维修、保养费用，预计投产后每年可创利维修、保养费用，预计投产后每年可创利3333万。该生万。该生 产线投产后，从第产线投产后，从第1 1

27、年到第年到第x x年的维修、保养费用累计年的维修、保养费用累计 为为y(y(万元万元) )，且，且y=axy=ax2 2+bx,+bx,若第若第1 1年的维修、保养年的维修、保养 费费 用为用为2 2万元，到第万元，到第2 2年为年为6 6万元。万元。 （1 1）求）求y y的解析式；的解析式； （2 2）投产后，这个企业在第几年就能收回投资？）投产后，这个企业在第几年就能收回投资？ 解解:（1）由题意，）由题意，x=1时，时，y=2；x=2时，时，y=2+4=6,分别代入分别代入 y=ax2+bx,得得a+b=2,4a+2b=6, 解得解得:a=1,b=1, y=x2+x. （2）设）设g3

28、3x-100-x2-x,则则 g=-x2+32x-100=-(x-16)2+156. 由于当由于当1x16时，时，g随随x的增大而增大，故当的增大而增大，故当x=4时，即第时，即第4年可年可 收回投资。收回投资。 问题问题5:如图，在一面靠墙的空地上用长为如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔米的篱笆，围成中间隔 有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为为x米，面积为米，面积为S平方平方 米。米。 (1)求求S与与x的函数关系式及自变量的取值范围；的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？取何值时

29、所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。米，则求围成花圃的最大面积。 A BC D 解解： (1) AB为为x米、篱笆长为米、篱笆长为24米米 花圃另一边为（花圃另一边为（244x）米）米 (3) 墙的可用长度为墙的可用长度为8米米 (2)当x 时，S最大值 36（平方米） 3 2 a b a bac 4 4 2 Sx（244x） 4x224 x （0 x6） 0244x 8 4x6 当当x4m时，时，S最大值 最大值 32 平方米平方米 小试牛刀小试牛刀 如图，在如图，在ABC中，中，AB=8cm，BC=6cm，B B

30、9090， 点点P P从点从点A A开始沿开始沿ABAB边向点边向点B B以以2 2厘米秒的速度移动，厘米秒的速度移动， 点点Q Q从点从点B B开始沿开始沿BCBC边向点边向点C C以以1 1厘米秒的速度厘米秒的速度 移动，如果移动，如果P,QP,Q分别从分别从A,BA,B同时出发，同时出发， 几秒后几秒后PBQPBQ的面积最大？的面积最大？ 最大面积是多少？最大面积是多少？ A B C P Q 解：根据题意，设经过解：根据题意，设经过x秒秒后后PBQPBQ的面积的面积y y最大最大, ,则：则： AP=2x cm PB=（8-2x ） cm QB=x cm 则则 y=1/2 x（8-2x）

31、 =-x2 +4x =-（x2 -4x +4 -4） = -（x - 2）2 + 4 所以，当所以，当P、Q同时运动同时运动2秒后秒后PBQPBQ的面积的面积y y最大最大最大面积是最大面积是 4cm2 （0 x4） A B C P Q 如图，在如图，在ABC中，中，AB=8cm，BC=6cm，B B9090，点，点P P 从点从点A A开始沿开始沿ABAB边向点边向点B B以以2 2厘米秒的速度移动，点厘米秒的速度移动，点Q Q从点从点B B 开始沿开始沿BCBC边向点边向点C C以以1 1厘米秒的速度移动，如果厘米秒的速度移动，如果P,QP,Q分别从分别从 A,BA,B同时出发，几秒后同时

32、出发，几秒后PBQPBQ的面积最大？最大面积是多少？的面积最大？最大面积是多少？ 7. 7. 如图，已知直线如图，已知直线 y= -y= - x+3x+3与与X X轴、轴、y y轴分别交于点轴分别交于点 B B、C C，抛物线，抛物线y= -xy= -x2 2+bx+c+bx+c 经过点经过点B B、C C，点，点A A是抛物线是抛物线 与与x x轴的另一个交点。轴的另一个交点。 （1）求抛物线的解析式；）求抛物线的解析式； 解：令解：令y=0，则，则 x+3=0，x=3， B（3，0），）， 令令x=0， 则则y=3，C（0，3），）， b=2 c=3 解得解得 -9+3b+c=0 c=3 得得 y= -x2+2x+3 （3，0） （0，3） x y o AB C 7.7.如图，已知直线如图，已知直线 y= -y= - x+3x+3与与X X轴、轴、y y轴分别交于点轴分别交于点 B B、C C，抛物线，抛物线y= -xy= -x2 2+