222一元二次方程的几种解法

1、一元二次方程的几种解法一元二次方程的几种解法 引例 剪一块面积为150cm2的长方形铁片，使 它的长比宽多5cm，这块铁片应怎样剪？ 解：设这块铁片的宽为x cm，那么它的 长为（x+5) cm. 根据题意，得 x（x+5)=150. 去括号，得 x2+5x=150. 第十二章第十二章 一元二次方程一元二次方程 12.1 用公式解一元二次方程用公式解一元二次方程 第一节 一、一元二次方程的定义一、一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最只含有一个未知数，并且未知数的最 高次数是高次数是2的整式方程叫做一元二次方程的整式方程叫做一元二次方程. 1、只含一个未知数的只含一个未知数的 一

2、元方程一元方程； 2、未知数的最高次数是未知数的最高次数是2的的 二次方程二次方程； 3、整式方程整式方程. 1505 2 xx01505 2 xx 7)3( 2 x026 2 xx 053 2 xx 01 2 1 2 x 04 2 x 3 5 2 2 x 5 xx 032 2 yx 1232 2 xxx （不是整式方程）（不是整式方程） （不是整式方程）（不是整式方程） （不是一元方程）（不是一元方程） .16 1262 22 x xxx 合并同类项： 去括号： 3 5 2 2 x 5 xx 032 2 yx 1232 2 xxx （不是整式方程）（不是整式方程） （不是整式方程）（不是整式

3、方程） （不是一元方程）（不是一元方程） （不是二次方程）（不是二次方程） 一元二次方一元二次方 程的一般形式程的一般形式 ax2+bx+c=0 (a0) 完全的一元二次方程完全的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0, b0, c0) 不完全的不完全的 一元二次方程一元二次方程 ax2+c=0 (a0,c0) ax2+bx=0 (a0,b0) ax2=0 (a0) （）（）化为一般形式后化为一般形式后， （）（）二次项的系数是否为二次项的系数是否为0 是判断一元二次方程的关键是判断一元二次方程的关键. . 例、方程是否例、方程是否 为一元二次方程？如果不是，说明理由；为一元二次方程？如果

4、不是，说明理由； 如果是，指出它的二次项、一次项系数如果是，指出它的二次项、一次项系数 及常数项及常数项. . 82213xxx 解：去括号，得解：去括号，得 3x2-3x=2x+4+8. 移项，得移项，得 3x2-3x-2x-4-8=0. 合并同类项，得合并同类项，得 3x2-5x-12=0. 原方程是一元二次方程；二次项系数是原方程是一元二次方程；二次项系数是， 一次项系数是一次项系数是 - 5- 5，常数项是常数项是 12 12. . . 023 2 xx . 0352 2 xx . 253 2 xx . 32312xx （1） （2） （3） （4） 答：答：a=1, b=3, c=

5、-2. 答：答：a=3, b=-5, c= 2. 答：答：a=-2, b=-5, c= 3. . 0253 2 xx . 056 , 32346 2 2 xx xxx 答：答：a=6, b=1, c= -5. 练习：说出下列方程的二次项系数、一练习：说出下列方程的二次项系数、一 次项系数和常数项次项系数和常数项： 例例2 2、 已知：关于已知：关于x的方程的方程 (2m-1)x2-(m-1)x=5m 是一元二次方程是一元二次方程, 求：求：m的取值范围的取值范围. 解：解：原方程是一元二次方程，原方程是一元二次方程， 2m-10， m . 2 1 二、一元二次方程的解法二、一元二次方程的解法

6、形如形如 的一元二次方程的解法：的一元二次方程的解法： ax2=0 (a0) ax2=0 (a0) 2x2=0, 解：解：x2=0， x=0. 形如形如 的一元二次方程的解法：的一元二次方程的解法： ax2=0 (a0) 5x2=0, 解：解：x2=0， x=0. 形如形如 的一元二次方程的解法：的一元二次方程的解法： ax2=0 (a0) -3x2=0, 解：解：x2=0， x=0. 形如形如 的一元二次方程的解法：的一元二次方程的解法： ax2=0 (a0) ax2=0, 解：解：x2=0， x=0. 形如形如 的一元二次方程的解法：的一元二次方程的解法： 4x2=36, 解：解：x2=9

7、， x=3. 即即x1=3, x2= -3. 4x2=36, x2=9， 4x2-36=0. 解：解： x=3. 即即x1=3, x2= -3. 0 2 cax . 2 cax . 2 a c x . a c x当ac0时 ， 形如形如 （a0，c 0）的的 一元二次方程的解法：一元二次方程的解法： 当ac0时 ，此方程无实数解此方程无实数解. 解法解法1、直接开平方法、直接开平方法 如如 x2=8, 2x2=9, -3x2+7=0,等等等等. x2=8. . 22 , 8 x x解： 2x2=9. . 2 23 , 2 23 , 2 23 , 2 9 , 2 9 21 2 xx x x x解

8、： -3x2+7=0. 解： . 3 21 , 3 21 , 3 21 , 3 7 , 3 7 ,73 21 2 2 xx x x x x . 52 2 x . 52x . 52x . 52,52 21 xx即： 将将(x-2)看作一个看作一个 整体整体, 开平方，得开平方，得: . 522 2 x , 2 5 2 2 x解：系数化解：系数化1，得，得 . 522 2 x . 2 5 2x , 2 10 2 1 x , 2 5 2 2 x解：解：系数化系数化1，得，得 2 10 2 x 开平方开平方，得，得 解这两个一元一次方程解这两个一元一次方程，得，得 . 2 10 2x或或 . 2 10

9、 2 2 x 解法解法1：直接开平方法：直接开平方法 凡形如凡形如 ax2+c=0 (a0, ac0) 或或 a(x+p)2+q=0 (a0, aq0) 的一元二次方程都可用直接开平方法解的一元二次方程都可用直接开平方法解. . 52 2 x . 544 2 xx . 52 2 x . 544 2 xx 写成（）写成（）2 的形式，的形式，得得 . 52 2 x . 544 2 xx 写成（）写成（）2 的形式，的形式，得得 .14 2 xx . 52 2 x . 544 2 xx 写成（）写成（）2 的形式，的形式，得得 配方：配方：左右两边同时加上一个常左右两边同时加上一个常 数，凑成完全

10、平方，得数，凑成完全平方，得 . 4144 2 xx .14 2 xx . 52 2 x . 544 2 xx . 014 2 xx 写成（）写成（）2 的形式，的形式，得得 . 4144 2 xx .14 2 xx 配方：配方：左右两边同时加上一个常左右两边同时加上一个常 数，凑成完全平方，得数，凑成完全平方，得 . 52 2 x . 544 2 xx . 014 2 xx 写成（）写成（）2 的形式，的形式，得得 . 4144 2 xx .14 2 xx 解：解： 移项：移项：将常数项移到等号一边，得将常数项移到等号一边，得 配方：配方：左右两边同时加上一个常左右两边同时加上一个常 数，凑

11、成完全平方，得数，凑成完全平方，得 . 52 2 x . 544 2 xx . 014 2 xx 写成（）写成（）2 的形式，的形式，得得 . 4144 2 xx .14 2 xx 解：解： 移项：移项：将常数项移到等号一边，得将常数项移到等号一边，得 开平方，开平方，得得. 52x . 52,52 21 xx 解这两个方程，解这两个方程，得得 配方：配方：左右两边同时加上一个常左右两边同时加上一个常 数，凑成完全平方，得数，凑成完全平方，得 怎样配方：怎样配方：常数项是一次项常数项是一次项 系数一半的平方系数一半的平方. . a22ab+b2=(ab)2. . 52 2 x . 544 2

12、xx . 014 2 xx 写成（）写成（）2 的形式的形式，得得 配方配方：左右两边同时加上一次项左右两边同时加上一次项 系数一半的平方，得系数一半的平方，得 . 4144 2 xx .14 2 xx 解：解： 移项移项：将常数项移到等号一边，得将常数项移到等号一边，得 开平方开平方，得得. 52x . 52,52 21 xx 解这两个方程解这两个方程，得得 二次项系数化二次项系数化1：两边同时两边同时 除以二次项系数，得除以二次项系数，得 . 03123 2 xx 写成（）写成（）2 的形式，的形式，得得 配方：配方：左右两边同时加上一次项左右两边同时加上一次项 系数一半的平方，得系数一半

13、的平方，得 解：解： 移项：移项：将常数项移到等号一边，得将常数项移到等号一边，得 开平方，开平方，得得 解这两个方程，解这两个方程，得得 二次项系数化二次项系数化1：两边同时两边同时 除以二次项系数，得除以二次项系数，得 . 076 2 xx练习： . 23 2 x . 296 2 xx 写成（）写成（）2 的形式，的形式，得得 配方：配方：左右两边同时加上一次项左右两边同时加上一次项 系数一半的平方，得系数一半的平方，得 . 9796 2 xx .76 2 xx 解：解： 移项：移项：将常数项移到等号一边，得将常数项移到等号一边，得 开平方，开平方，得得. 23x . 23,23 21 x

14、x 解这两个方程，解这两个方程，得得 . 076 2 xx练习： 写成（）写成（）2 的形式，的形式，得得 配方：配方：左右两边同时加上一次项左右两边同时加上一次项 系数一半的平方，得系数一半的平方，得 解：解： 移项：移项：将常数项移到等号一边，得将常数项移到等号一边，得 开平方，开平方，得得 解这两个方程，解这两个方程，得得 二次项系数化二次项系数化1：两边同时两边同时 除以二次项系数，得除以二次项系数，得 .732 2 xx练习： . 16 24 16 49 4 7 2 x . 2 7 2 3 2 xx 写成（）写成（）2 的形式，的形式，得得 配方：配方：左右两边同时加上一次项左右两边

15、同时加上一次项 系数一半的平方，得系数一半的平方，得 . 2 3 4 7 4 7 2 7 22 2 xx . 2 3 2 7 2 xx 解：解： 移项：移项：将常数项移到等号一边，得将常数项移到等号一边，得 开平方，开平方，得得 . 16 25 4 7 x . 3, 2 1 . 4 5 4 7 , 4 5 4 7 21 21 xx xx 解这两个方程，解这两个方程，得得 二次项系数化二次项系数化1：两边同时两边同时 除以二次项系数，得除以二次项系数，得 .732 2 xx练习： 解法解法2 2：配方法：配方法 1、将二次项系数化为、将二次项系数化为1：两边同时除以二次项系数；：两边同时除以二次

16、项系数； 2、移项：将常数项移到等号一边；、移项：将常数项移到等号一边； 3、配方：配方：左右两边同时加上一次项系数一半的平方；左右两边同时加上一次项系数一半的平方； 4、等号左边写成（、等号左边写成（ ）2 的形式；的形式； 5、开平方：化成一元一次方程；、开平方：化成一元一次方程； 6、解一元一次方程；、解一元一次方程； 配方法的基本步骤配方法的基本步骤： 7、写出方程的解、写出方程的解. 三、练习三、练习 ._8 2 2 xxx ._5 2 2 xxx ._ 3 4 2 2 xxx ._ 4 3 2 2 xxx ._ 2 2 xpxx 练习练习 1、填空：、填空： （1） （2） （3）

17、 （4） （5） ._8 2 2 xxx ._5 2 2 xxx ._ 3 4 2 2 xxx ._ 4 3 2 2 xxx ._ 2 2 xpxx 164 4 25 2 5 3 2 9 4 8 3 64 9 2 p 4 2 p 练习练习 1、填空、填空： （1） （2） （3） （4） （5） 2、用配方法解下列方程、用配方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) .613 ; 065 ; 0472 ; 046 2 2 2 2 yy xx tt xx (1). 046 2 xx . 53,53 , 53 , 53 , 9496 , 46 21 2 2 2 xx x x xx xx 解：

18、解： (2) . 0472 2 tt . 2 1 , 4 , 4 9 4 7 , 4 9 4 7 , 16 81 4 7 , 16 49 16 32 4 7 , 4 7 2 4 7 2 7 , 2 2 7 , 472 21 21 2 22 2 22 tt tt tt tt tttt解：解： (3). 065 2 xx . 6, 1, 2 7 2 5 , 2 7 2 5 , 4 49 2 5 , 4 25 6 2 5 , 2 5 6 2 5 5 , 65 2121 2 22 2 2 xxxx x x xx xx解：解： (4) .613 2 yy . 3 323 , 3 323 , 3 32 1, 3 32 1 , 3 4 1, 3 4 1 , 1 3 1 12 , 3 1 2, 0163 21 21 2 2 22 yy yy yy yy yyyy 或写成 解：解： 四、小结四、小结 1、一元二次方程的概念；、一元二次方程的概念； 2、两种解法：（、两种解法：（1）直接开平方法；）直接开平方法； （2）配方法）配方法. 3、转化的数学思想、转化的数学思想. 五、作业五、作业 . 3 4 34 ;0 2 1 23 ;12822 ;01211 .1 2 2 2 2 y x x y .10064 ; 1733 ;49172 ;1651 . 2 2 2 2 2 y