14度量空间的列紧性与紧性

1、1.4度量空间的列紧性与紧性度量空间的紧性 Compactness在微积分中，闭区间上的连续函数具有最大值、最小值、一致连续等，这些性质的成立基于一个重要的事实：R的紧性，即有界数列必有收敛子列但这一事实在度量空间中却未必成立.例1.4.1 设XL1 2, f |(L)| f(x)|2dx，对于 f,gX，定义12od(f, g) (| f (x) g(x) | dx),令fn (x)sin nx,证明由于那么fn(X)是有界的发散点列.1d(fn,0)(| fn(x)0|2dX)1(sin nx)2dx)2dx1cos2nx 2dx2所以 fn (X)为有界点列对于任意的n,mN，有1d (

2、fn, fm)(| sin nx sinmx | dx)22cos 2n . n m x sin x212 2dx1 cos(n m)xcos(n m)xdx(12(3) 列紧集必是有界集，反之不真.证明 、易证.下面仅证(3).假设A X是列紧集，但 A无界取Xi A固定，则存在X2 A，使得d(Xi,xO 1 .对于 XX，必存在X3 A，使得d(Xi,X3) 1、d(X2, X3) 1 .由于A是无界集，可依此类推得到X的点列Xn满足：只要i j，就有d(X,Xj) 1 .显然点列Xn无收敛子列，从而 A不是列紧集 导致矛盾，故 A是有界集.反过来，A是有界集，A未必列紧.反例：空间 X

3、 L2,上的闭球B O(o,.、)有界， 而不是列紧集(见例1.1) .注2: R中的开区间(0,1)是列紧集，却不是紧集.(由于R中的有界数列必有收敛子列， 所以(0,1)中的数列必有收敛子列，但(0,1)不是闭集，故列紧不紧.)注3:自然数N=1,2,L, n,L不是列紧集.(N无界)推论(1)紧空间是有界空间；(2)紧空间是完备空间.证明(1)若X为紧空间，那么X本身为列紧集，而列紧集有界，故X为有界空间.(2)若X为紧空间，即它的任何点列有收敛子列， 从而知X中的基本列有收敛子列， 根据 基本列的性质(若基本列含有收敛子列， 则该基本列收敛，且收敛到子列的极限 )，可得X中的 基本列收

4、敛，因此 X为完备的空间.口关于n维殴氏空间Rn中的列紧集、紧集的特性有如下定理.定理设A Rn , Rn是n维殴氏空间，那么(1) A是列紧集当且仅当 A是有界集；(2) A是紧集当且仅当 A是有界闭集.证明(1)必要性显然成立；利用闭球套定理可以证明：如果A是有界的无限集，则 A具有极限点，从而可证充分性.(2)由(1)易得.口注4:由于R中的非空紧集A就是有界闭集，定义A上的连续函数具有最大与最小值，这一事实在度量(距离)空间中依然成立.首先说明连续映射将紧集映射为紧集.弓I理设f是从度量空间(X,d)到(Y,)上的连续映射(称为算子)，A是X中的紧集， 那么f (A)是丫中的紧集.证明

5、 设E f(A),首先证明E是丫中的列紧集.yn E , Xn A，使得yn f() , n 1,2,L .由于A是紧集，所以点列 Xn存在 收敛的子列XnJ，且XnkXo A，又知f是X上的连续映射，于是lim ynk lim f 他)f (x。) E .kk即yn有收敛于E的子列ynk，因此E为丫中的列紧集.再证E是闭集.设yn E , ynyo(n)，根据A的紧性和连续映射f可得，对应的点列(yn f(Xn)存在收敛的子列Xnk , XnkXo A .从而y nim yn kim ynk kim f(Xnk) f(X。) E ,即E是闭集.口定理最值定理设A是度量空间X中的紧集，f是定义

6、在X上的实值连续函数(泛函)，即f：X R，那 么f在A上取得最大值与最小值.证明 设E f(A)，由上述引理知 E是R中的紧集.所以E是R中的有界集，于是上、 下确界存在，设M supf(x)|x A , m inf f(x)|x A.下证M是f在A上取得的最大值，同理可证m是f在A上取得的最小值.由确界性的定义知，n ,xnA，使得f(Xn)M -n，即可得M-f(xJ nMM-n再由A为紧集知存在xnk) Xn,使得乂氐x*A(k),于F是Mf(X% ) nkM M1 nk令k，有 f (x*)M ,因此M是f在A上取得的最大值.度量空间中的全有界性刻画列紧性的重要概念之一是全有界性，通

7、过以下的讨论可知：(1)度量空间中的列紧集必是全有界集；(2)在完备度量空间中，列紧集和全有界集二者等价.定义网设X是度量空间，A,B X，给定 0 .如果对于A中任何点x,必存在B中点x，使得d(x,x)，则称B是A的一个网即AUO(x,)x B(X,d)BA图4.1 B是A的一个 网示意图例如：全体整数集是全体有理数的0.6网；平面上坐标为整数的点集是R2的0.8网.定义全有界集设X是度量空间，A X，如果对于任给的0, A总存在 有限的 网,则称A是X中的全有界集注5 :根据定义可知A是X中的全有界集等价于0, 为必丄x X ,使得nA U（x,），其中O（x,）表示以x中心，以 为半径

8、的开邻域.1引理1.4.2A是度量空间X的全有界集当且仅当0 ,X1,X2 ,L ,XnA,使得nA UO(X,).i 1证明当A是全有界集时，0， X1,X2,L ,XnX ,使得nA UO(X,)1 2.不妨设1 i n有 O(Xi,：2)l A,选取 y O(x, )I A2,显然y, y2,l ,ynY以及O(xi, 2)O（y,），因此AnnUO(x) UO(y,).12i 1注6:在Rn中，不难证明全有界集与有界集等价，那么在一般的度量空间中这样的结论 成立吗？还是只在完备的度量空间中成立？下面给出有界集和全有界集的关系.定理全有界集的特性设X是度量空间，A X，若A是全有界集，则

9、（1） A是有界集；（2） A是可分集.证明（1）设A是全有界集，取1，由定义知，n N及Xi*,L ,斗 X ,使得nA U（X，1） 1现令M 1 max d（X1, x），则易知A O（X1, M），可见A是有界集.2 i n（2）设A是全有界集，下证A有可列的稠密子集.1,使得由引理知对于n n （ n 1,2,L ），存在Bn 娇卅）,L ,xk：） AknA UO（n）,_），下面证明UQ是A的稠密子集. i 1nXnBn0UBn，i 1110 ,存在n0N，使得一 ，由于Bn。是A的一网，故nn使 d(X,Xn。)n，从而，心O（x,），即UBn在A中稠密，显然UBn是可列集,i

10、 1i 1分.口，定是全有界集.注7:由上述定理知全有界集一定是有界集，然而有界集却不例如全体实数对应的离散度量空间（R,d0）中的子集N =1,2 ,3丄是有界集，却不是全有界集.定理全有界的充要条件设X是度量空间，A X ,则A是全有界集当且仅当 A中的任何点列必有基本子列. 证明（1）充分性 ：反证法.若A不是全有界集，则存在 0 , A没有有限的网,取x A，再取x2 A，使d(x，x2)o ,(这样的x，存在，否则x1为A的0网).再取x3 A ,使d(Xi,X3)o , d(X,X3)o (这样的X3存在，否则Xi,X,为A的网).以此类推，可得xnA，而xn没有基本子列，产生矛盾

11、，故A是全有界集.1(2)必要性 ：设Xn是A的任一点列，取k - , k 1,2,L，因为A是全有界集，故A存 k在有限k网，记为Bk .以有限集B-的各点为中心，以-为半径作开球，那么这有限个开球覆盖了A，从而覆盖了 Xn，于是至少有一个开球(记为S)中含有X.的一个子列xk-) S .同样以有限集B,的各点为中心，以2为半径作开球，那么这有限个开球覆盖了X&，于是至少有一个开球(记为S2)中含有xk的一个子列xk2) S2 .依次可得一系列点列：xk-) : x；1),x21),x31),L ,xk-),L .xk2) : x-2),x22),x32)丄，xk2)丄.L丄丄丄.xk。 :

12、 x；i),x2i),x(),L ,x,L .且每一个点列是前一个点列的子列，取对角线元素作为X.的子列，即xkk) x-),x22),x33)丄，妒,L是Xn的子列.下证Xkk)是基本列.10 ,取K ,使得K -，那么当k, p K时，不妨设p k，则有xpp) ，记开K 2球Sk的中心为xk，那么有d(xPP),xkk) d(x(pp),x；)+d(x；,xkk)k k 2 k ,故xkk)是Xn的基本子列.口推论豪斯道夫(Hausdorff)定理 设X是度量空间，A X .(1) 若A是列紧集，则 A是全有界集；(2) 若X是完备的度量空间，则A是列紧集当且仅当 A是全有界集.证明(1

13、)因为列紧集中的任何点列都有收敛子列，故它必是基本子列，由上述定理145知A是全有界集；(2)必要性：由(1)知，度量空间中的列紧集一定是全有界集.充分性 ：X. A，因为A是全有界集，所以Xn含有基本子列Xnk，又知X完备， 于是Xnk在X中收敛，可见A的任何点列都有收敛 X的子列，即A是列紧集.口注9:对于一般的度量空间：列紧集是全有界集；全有界集是有界集，有界集却不一定是 全有界集，全有界集却不一定是列紧集.例如：让X表示0,1上的有理数全体，在欧氏距离定义下，由于lim-(1 -)n -，所以Xn 3 n 3不是完备的度量空间、X不是列紧集.由于 0 ,存在正整数 n，使得1 ，那么1

14、 2 n 10,-,-,L ,1是X的 网，所以X是全有界.n n n综上所述，紧集、列紧集、全有界集及有界集、可分集有如下的关系：有界集紧集 列紧集 全有界集可分集紧集、列紧集宀全有界集闭完备定理146 Ca,b中点集列紧的的充要条件设A Ca,b，则A是列紧集的充要条件为以下两条成立.(1) A 一致有界：M 0, x A，对任何t a,b有x(t) M成立；(2) A等度连续：0,0(与t及x无关)，当t!,t2 a,b及1 t2时，x A有 x(t1) x(t2)注意区别等度连续与映射的一致连续两个概念.推论143 阿尔采拉(Arzela)引理 设F Ca,b,i 1是Ca,b的一致有

15、界且等 度连续的函数族，则从 F中必可选出在C a, b上一致连续的子序列fn (t).定理147 设A lp(p 1)，则A是列紧集的充要条件为以下两条成立.1(1) A 一致有界：M 0, x (为必,L ,xk ,L ) A，有(& 于 M ；k 11(2) A 等度连续：0 , N , x (xK ,L，人,L ) A,有(Xk 于 .k N 1例设(X,d。)为离散的度量空间，A X，证明：A是紧集的充要条件为 A是有限点集. (2-18)证明(1)充分性 ：设A是有限点集，则 A必为闭集，又无点列，故为紧集.必要性：反证法假设 A为无限点集，则必有可列子集A A，且A种元素各不相同

16、，不妨设为A xx, L ,x. ,L xn，当m n时，根据离散度量空间中距离的定义知d(Xm,Xn) 1，从而Xn无收敛子列，这与 A的紧性矛盾，故 A必为有限集口例设X为紧的度量空间， M是X的闭子集，证明 M是紧集.(2-21)证明1由于M是闭子集，所以只需证明M是列紧集.设人是M的一个点列，显然Xn X，又知X是紧的度量空间，于是xn存在收敛于X的子列xnk，即M是列紧集.口证明2由于X是列紧集，且列紧集的子集是列紧集，所以M是列紧集又知 M是闭子集，因此M是紧集.口注10 :在离散的度量空间中，A是紧集A是有限点集在n维欧氏空间Rn中，A是紧集 A是有界闭集.在完备度量空间中,A是紧集A是全有界闭集.紧的度量空间的闭子集是紧集.完备的度量空间的闭子集是完备的.12cos(n m)x) (1 cos(n m)x)dx因此 fn (x)不是基本列，当然不是收敛列.口定义 列紧集、紧集与紧空间 Sequ