2007统计学第五章

1、实用标准文案第五章概率与概率分布 1 随机事件及其概率一、随机事件的几个基本概念确定现象：在一定条件下必然出现某种结果。随机现象：在一定条件下，可能出现的结果不止一种，且不能事断定会出现那种结果。随机试验：对客观随机现象的观察，满足三个条件：（ 1） 相同条件下可重复；（ 2） 所有可能的结果已知，且不止一种结果；（ 3） 试验前，不能断定哪种结果出现。基本事件：随机试验的每一种可能的结果。样本空间：所有基本事件构成的集合，记为.事件：的子集。由若干基本事件构成的集合，记为A,B,C,.不可能事件：必然事件：注意不可能事件和概率为0 的事件的区别，必然事件和概率为1 的事件的区别。事件可以运算

2、，且运算律与集合相同。对立事件：如果不相容事件：如果二、事件的概率A ，则 AA 称为 A 的对立事件。AB，则称 A 与 B 互为不相容事件。概率是对事件发生的可能性大小的一种测度，记为P( A).古典定义：事件 A所包含的基本事件的个数P(A)样本空间所包含的基本事件的个数该定义对随机试验有两个基本假定：（ 1） 样本空间有限；（ 2） 基本事件发生的可能性完全相同。如抛掷均匀的骰子，均匀的硬币等。统计定义（试验概率）在可进行重复试验的条件下，用试验中各种结果出现的频率来估计对应事件的概率。如，产品合格率。精彩文档实用标准文案主观概率人们利用知识或经验对一个事件发生的可能性大小的判断。如对

3、第二天股市大盘走势的判断。个股的涨跌等。概率的数学定义：设E 是随机试验，是它的样本空间。对于E 的每一事件，赋予一个实数，记为P( A) 。如果集合函数P(?) 满足下列条件：1） 对每一事件 A，有 P(A)0 ；2）P( ) 1；3） 设 A1 , A2 ,两两互不相容，则有P( A1A2)P( A1)P( A2)，则称 P( A) 为事件 A 的概率。三、关于概率计算的几个例子例 5.1某钢铁公司所属三个厂的职工人数如下表：某钢铁公司所属企业职工人数单位：人工厂男职工女职工合计炼铁厂440018006200炼钢厂320016004800轧钢厂906001500合计85004000125

4、00从该公司中随机抽取一人，问：（ 1） 该职工为男性的概率？（ 2） 该职工为炼钢厂职工的概率？例 5.2某工厂为了节约用电，规定每天的用电量指标为1000 度，按照上个月的用电记录， 30 天中有 12 天的用电量超过指标，若第二个月仍没有具体的节电措施，试问该月的第一天用电量超过指标的概率。例 5.3 在例 5.2 中若第二个月采取了节措施，预计超过用电指标的概率将大大降低。因此上一个月超过用电指标的概率就不适用了。要预计下一个月第一天用电量超过指标的概率要请该厂管理用电的工程师根据采用节电措施后的情况进行预测。该工程师根据该厂过去的用电情况和采用节电措施后可以节电的程度判断，用电超过指

5、标的概率为 10%，这就属于主观概率。 2 概率的性质与运算规则一、概率的性质：见数学定义二、概率的运算规则：与集合运算律相同，略。精彩文档实用标准文案例 5.4 利用例 5.1 的资料，随机抽取一名职工，计算该职工为炼钢厂或轧钢厂的概率。P(AB)P( A)P(B)例 5.5设某地有甲、 乙两种报纸， 该地成年人中有20%读甲报纸， 16%读乙报纸，8%两种报纸都读，问成年人中有百分之几至少读一种报纸。P( AB)P( A)P(B)P( AB)三、条件概率与相互独立事件条件概率：一个事件发生条件下另一事件发生的概率，记为P(B| A).例 5.6100件产品中， 有 80 件正品， 20 件

6、次品； 而 80 件正品中有50 件一等品，30 件二等品。 现从这 100 件产品中任取1 件，用 A 表示“取到一等品” ，B 表示“取到正品”，求P（ A）及 P（A|B ）。条件概率的数学定义： P( B | A)P( AB)P(A)概率的乘法公式： P( AB) P( B | A) P( A) P( A | B)P(B)例 5.7 设有 1000 件产品，其中850 件是正品， 150 件是次品，从中依次抽取 2件， 2 件都是次品的概率是多少？相互独立事件：设A,B 为两个随机事件，如果P( AB )P( A)P( B)则称 A,B 相互独立。实际工作中， 往往先根据专业知识确定两

7、个事件是否有关系 （独立），然后利用上式计算两个事件的交的概率。如 A:男同学B:来自信管一班则 P( AB)P( A)P( B)例 5.8某工人同时看管三台机床，每单位时间（如30 分钟）机床不需要看管的概率：甲机床为0.9 ，乙机床为0.8 ， 丙机床为0.85 。若机床是自动机床且独立工作（三台机床能同时进行工作），求：（1）在 30 分钟内三台机床都不需要看管的概率；（ 2）在 30 分钟内甲、乙机床不需要看管，而丙机床需要看管的概率。四、全概率公式及贝叶斯公式1 全概率公式设 n 个 事 件 A1 , A2 ,An 互 不 相 容 ， P(Ai )0 ， i1,2, , n, 且精彩

8、文档实用标准文案BA1A2An ，则nP( B)P( B | Ai )P( Ai )i 1例 5.9 某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各台机床的次品率分别为：5%，4%， 2%，它们各自的产品分别占总产量的25%， 35%， 40%，将它们的产品混在一起，求任取一个产品是次品的概率。B: 次品 A1 : 甲车床 A2 : 乙车床 A3 : 丙车床2 贝叶斯公式设n 个 事 件 A1 , A2 ,An 互 不 相 容 ， P(Ai )0 ， i1,2, , n, 且B A1A2An ，则P( Ai | B)P( B | Ai )P( Ai )n.P( B | Ai )P(Ai )i1贝叶斯公

9、式的用途是：如果导致事件B 发生的所有可能原因有A1 , A2 , An ，则在事件 B 发生后，可用该公式帮助人们确定引起事件B 发生的最可能原因。例 5.10在例 5.9 中，如果取到的一件产品是次品，分别求这一次品是由甲、乙、丙生产的概率。B: 次品A1 : 甲车床A2 : 乙车床A3 : 丙车床 3 离散型随机变量及其分布一、随机变量的概念前面我们已经将到什么是随机试验。随机试验的例子随处可见，如从某厂生产的袋装白糖中任意抽取一袋，检测其重量；从一批同种产品中随机抽取一件，检测其是否合格；抛掷一枚硬币，观察是出现正面还是反面。随机试验的结果可能是数值，也可能不是数值，如：从一批产品中随

10、机抽取一件，结果可能是：正品或次品；抛掷一枚硬币，结果可能是：正面或反面；掷一枚骰子，可能出现的点数为：1， 2，3， 4， 5， 6；检测一袋标重为500 克的白糖，实际重量可能介于490 到 510 克之间。精彩文档实用标准文案随机变量就是用来统一表示各种随机试验结果的抽象数值变量，如：在抽检产品时，引入随机变量X，使正品对应X=1, 次品对应X=0;掷硬币时，引入随机变量X,使正面对应X=1,反面对应X=0;掷骰子时，引入随机变量Y,其取值范围为1， 2， 3， 4， 5， 6，使 Y 的每一个取值对应于一种抛掷结果；检测白糖重量时，引入随机变量Z,其取值范围为490510，使每一检测结

11、果都可由 Z 的一个取值表示。下面给出随机变量的定义。设 E 是随机试验，它的样本空间（即所有可能的试验结果）为S, 如果对每个e S, 即每一种试验结果，有一个实数 X(e) 与之对应，则称定义在 S 上的这个单值实函数 X=X(e) 为一个随机变量。随机变量可分为离散型和连续型两种。 离散型随机变量的全部取值可一一列举 （试验结果有有限种或可列种， 如某服务台前等待服务的顾客数） ，连续型随机变量可连续取值（对应于在一个区间内取值的情况，如电子元件的寿命，测量误差等）。二、离散型随机变量的概率分布（一）离散型随机变量的概率分布设离散型随机变量X 所有可能的取值为xk ( k1,2, ),记

12、P( Xxk ) pk , k1,2,( )则称（）为X 概率分布。实际上，概率分布就是给出随机变量取每个值的概率。描述离散型随机变量的概率分布有：公式法；描述法；列表法；图示法设随机变量 X 的可能取值只有0 和 1，且取值为 1 的概率为 p,取值为 0 的概率为 1-p,则其概率分布为P( Xk )p k (1p ) 1 k ,k0,1，或P(X1)p,P( X0)1 p ，或X10P(x)p1-p或精彩文档实用标准文案p1-p01我们称 X 服从 参数为 p 的 0-1 分布 。例 5.11如规定打靶中域 I 得 3 分，中域 II得 2分，中域 III 得 1 分，中域外得 0 分。

13、今某射手进行 100 次射击， 有 30 次中域 I ，55 次中域 II ，10 次中域 III，5 次中域外。考察每次射击得分为0，1，2，3 这一离散型随机变量，则其概率分布为：X=x0123iP(X=xi )=p i0.050.100.550.30例 5.12设已知一批产品的废品率为p=0.05 ，合格率为 q=1-p=1-0.05=0.95.并指定废品用1 代表，合格品用0 代表，则考察任抽取一件为废品或合格品，即1或 0 这一离散型随机变量的概率分布为：X=xi10P(X=x i )=p0.050.95i例 5.13抛掷一颗股子，出现点数是个离散型随机变量，其概率分布为：X1234

14、56P(x1/61/61/61/61/6)1/6（二）离散型随机变量的数学期望与方差对离散型随机变量X，定义其数学期望（简称期望）为E( X )xi P( Xxi )，即关于概率加权平均值。注意到随机变量的函数也是随机变量，故有E( f (X )f (xi )P( Xxi ) ，这里，f ( X ) 是 X 的函数。数学期望具有如下性质：精彩文档实用标准文案1. E(C) C ,2. E(CX) CE(X ),3.E(XY)E(X)E(Y) ,4.如果 X与 Y独立 ,则E( XY) E( X )E(Y).我们对性质3 加以证明：E( XY)(xiy j ) P( X xi ,Y y j )i

15、 , jxi P( X xi ,Y y j )y j P( X xi ,Y y j )i , ji ,jxiP(X xi ,Y y j )y jP( X xi ,Y y j )ijjixiP( Xxi )yj P(Yy j)ijE(X)E(Y)2) 为对离散型随机变量 X，定义其方差 ( 一般记为D(X )E( XE(X)2).容易证明 ,随机变量的方差亦可依如下公式计算:D(X) E(X 2) (E(X)2E(X 2) E2(X) .事实上，D(X)E( X2E(X) )E(X 22XE(X) E2(X)E(X 2) 2E(X)E(X) E2(X)E(X 2)E2(X)一个随机变量的方差的算

16、术平方根称为这个随机变量的标准差,记为.方差具有如下性质:1. D(C) 0 ,2.D(CX )C2D(X ) ,精彩文档实用标准文案3.若 X与 Y相互独立 ,则.D (XY)D(X )D(Y)方差或标准差可以衡量一个随机变量取值的分散程度，它们的值越大，变量的取值就越分散。在经济学和财务分析中，常用方差的大小描述“风险”的高低。风险表示不确定性。例 5.14一位投资者有一笔现金可用于投资, 现有两个投资项目可供选择。项目A和 B 有如下资料可供参考。试比较哪个投资项目较佳。项目 A持有期回报率 x(%)可能性（概率） p(x)x * p(x)40.050.250.10.560.150.97

17、0.42.880.151.290.10.9100.050.5合计17项目 B持有期回报率 x(%)可能性（概率） p(x)x * p(x)5.50.251.3756.50.251.6257.50.251.8758.50.252.125合计17例 5-14.xls为比较不同随机变量分布的离散程度， 我们引入随机变量的离散系数的概念，其定义为V.E(X)离散系数的值越大，随机变量取值的分布就越分散。例 5.15 如果投资项目 A 的预期回报率为 7%，标准差 为 5%；而投资项目 B 的预期回报率为 12%，标准差 为 7%，试问哪个投资项目风险较大？例 求 0-1 分布的期望和方差。解：设 X

18、服从参数为p 的 0-1 分布，则精彩文档实用标准文案E( X )xi P( Xxi )1 p0 (1p)p ，D( X )E( X 2 )E 2 ( X )12p02 (1p)p2p(1p)（三）二项分布和泊松分布1 二项分布设试验 E 只有两个可能结果：A 及 A ，P(A)p, P( A)1 p(0p 1) .将 E 独立地重复进行 n 次，则称这一串重复的试验为n 重贝努利试验。以 X 表示 n 重贝努利试验中事件A 发生的次数，则X 是一个随机变量，且其概率分布为P( X k)np)n k ,k0,1,n .pk (1k此时 , 我们称 X 服从参数为n 和 p 的二项分布 , 记为

19、X B(n, p) .如果 X B( n, p) , 则 E ( X )np,D( X )np(1p) .例 设有一批产品 , 次品率为 0.1. 随机地从这批产品中有放回地 ( 重复抽样 ) 抽出 10 件 , 问 : (1) 抽出的 10 件产品中恰有一件次品的概率 ;(2) 至少有一件次品的概率.解: 以 X 记抽出的产品中次品的个数XB(10, 0.1). 于是, 则 (1)P( X1)100.10.99=0.38742.1P( X1)1P(X0)100.100.910(2)1=0.6513220例 5.16已知 100件产品中有5 件次品，现从中任取1 件，有放回地取3 次，求在所取

20、的 3 件中恰有 2 件次品的概率。解：设 X 为所取的3 件产品中的次品数，则X B(3,0.05) 。于是， P( X2)30.0520.95 0.007125 .2精彩文档实用标准文案上例中，如果将“有放回”改为“不放回”，则三次抽取产品就不再是3 重贝努利试验，因而X 也就不再服从B(3, 0.05) 。59521此时，P(X 2)0.0059 .1003一般地，设有N 件产品，其中有M件次品，不放回地抽出n 件，以 X 表示抽出产品中次品的个数，则MNMP( Xmnmm)N，n此时，我们称随机变量服从超几何分布。在抽样数远远小于总体数时，“不放回”抽样可作为“有放回”抽样处理。利用

21、Excel 计算二项分布的概率值2 泊松（ Poisson ）分布如果随机变量X 的概率分布为kP( Xk)e, ( k0,1,0)k！则称 X 服从参数为的泊松分布，记为X ( ) .对参数为的泊松分布，E(X), D(X).现实生活中，泊松分布的应用非常广泛, 也就是说 , 现实生活中服从泊松分布的随机变量非常多, 如一个工厂在一个时间间隔内发生事故的次数; 传呼台服务人员在一个时间间隔内服务的呼叫次数; 一个银行柜台在一个时间间隔内接待的顾客人数 ; 某种放射性物质在一个时间间隔内发出的粒子数等。例 5.17假定某企业的职工在周一请事假的人数X 近似服从泊松分布， 且设周一请事假的平均人

22、数为 2.5人。求：（ 1） X 的均值与标准差； （ 2）在给定的某周一正好请事假是 5 人的概率。P( X5)2.55e 2 .50.067！5精彩文档实用标准文案利用 Excel 计算 Poisson 分布的概率值3 连续型随机变量的概率分布一、分布函数与概率密度连续型随机变量可在一个数值区间内连续取值。它取任何一个具体值的概率均为 0. 因而我们只能考虑它的取值落在某一范围内的概率，即P( X x)或 P( x1X x2 ) .如，在检测包装标准为500 克的袋白糖时，我们可以给出一袋白糖重量落在490-510 克的概率，即P(490X 510)，而 P( Xx) 0 （对任何 x）。

23、所以，对连续型随机变量，我们定义其分布函数为F ( x)P( Xx) .由概率的性质，有P( xX x)P( Xx) P(Xx)F ( x)F (x) 所以，若已知122121X 的分布函数，也就知道了X落在任一区间（x1, x2）内的概率。从这个意义上说，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性。另一方面，随机变量及其分布函数的引入也使得对事件发生的概率的研究更加简洁和系统。分布函数具有如下性质：1 F (x) 非减；2 0 F (x) 1 且 limF ( x) 0 ， lim F ( x)1xx如果存在定义在（，+）上的非负实函数f (x) , 使得，对任意实数x，有xf ( x)dx

24、，F ( x)则称 f ( x) 为随机变量X 的概率密度或密度函数。特别地，有，F ()f (x)dx1.对连续型随机变量，往往用概率密度描述其分布规律。精彩文档实用标准文案F(b)-F(a)的几何意义对连续型随机变量X，定义其期望和方差如下：E( X )xf (x)dx ，D ( X )E( XE( X ) 2 )( xE(X ) 2 f ( x)dx .容易证明 , 连续型随机变量的方差也可用下式计算D(X)E(X2)E2(X)x 2 f ( x)dx(xf ( x)dx) 2例 5.19设连续型随机变量X 在有限区间（ a,b ）内取值，其概率密度为：f (x)1, a X b(a b

25、)ba0,其它解：精彩文档实用标准文案0,xaxxaF ( x)f (x)dx,a x bba0,xbE(X)b xabxf (x)dxdx2a baD(X) E(X 2) E2(X)x 2 f ( x) dx(a b) 24bx 2(ab) 2a bdx4ab 3a 3( ab) 23(ba)4(ba) 212例 5.20某个电子装置，其寿命服从指数分布：ex , x0f (x)0, x0求 X 的期望值标准差。解：E(X)xf (x)dxx ex dx0xd ( e x )xex |e xdx1000D(X)E(X 2)E2(X)x2f ( x) dx12x2exdx120212212二、

26、正态分布精彩文档实用标准文案（一）正态分布的定义和性质如果随机变量X 的概率密度函数为1( x) 2f ( x)e 22,x,2则称 X 服从参数为,2XN( ,2特别地 N ( 0,1)称为的正态分布，记为).标准正态分布。正态随机变量的概率密度函数f (x) 具有如下性质：1 图形呈钟型，以x为对称轴；2x处，f ( x)取最大值。 x 值离越远，f ( x)值越 小，且以x轴为在渐近线。22越大，曲线越平缓。越小，曲线越陡峭；2 密度曲线与 x 轴围成的面积恒等于1.3 E(X),D(X)2F (x0 ) P( Xx0f (x)dx 的几何意义是曲线x0 )y=f ( x) 与 x 轴和

27、直线 x=x0 在 x=x0 左侧围成的面积。任何正态分布都可标准化，即如果XN( ,2X)，则Z N (0,1).对服从标准正态分布的随机变量X,当 x0时，P( Xx)( x) 的值可直接从正态分布表查出；当 x0时， P( Xx)1( x) .精彩文档实用标准文案2对其它任何正态变量XN(,) ，有P( Xx)P( Xx)( x).例 5.21设 XN（ 0， 1），求以下概率：（1） P（ X2);（3） P(-1X3);（ 4） P(|X|2)。解：P( X1.5)(1.5)0.9332P( X2)1P( X2)1( 2)1 0.97730.0227P( 1X3)(3)(1)(3)(1(1)0.8354P(|X|2)2(1(2)20.02270.0454例 5.222），求以下概率：设 XN（ 5， 3（1） P（ X 10） ;（2） P(2X10) 。解：因为 XN(5, 32) ，所以X5 N (0,1).3