曲率的计算公式PPT学习教案

1、会计学1 曲率的计算公式曲率的计算公式 设x ， x+ Dx 为(a，b)内两个邻近的点，它们在曲线 yf(x)上的对应点为M，M，并设对应于x的增量Dx ，弧 s 的增 量为Ds，于是 下面来求s(x)的导数及微分 M0 M M x0 x x+Dx Dx Dy x y O Ds 2 D D x s 2 D x MM ( 2 2 )( | x MM D 2 | MM MM ( 2 22 )( )()( x yx D DD 2 | MM MM ( D D 2 1 x y 2 | MM MM ( x s D D D D 2 2 1 |x y MM MM ( 第2页/共12页第1页/共12页 1，因

2、为 因此 由于ss(x)是单调增加函数，从而 于是 ds 这就是弧微分公式 x s D D D D 2 2 1 |x y MM MM ( 0 lim Dx| | MM MM ( MM lim | | MM MM ( 0 lim Dx x y D D y，又 dx ds 2 1 y dx ds 0, dx ds 2 1 y 2 1 y dx 第3页/共12页第2页/共12页 ) j M1 M2 N1 N2 观察曲线的弯曲线程度与切线的关系： 可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平 均 弯曲程度， 第4页/共12页第3页/共12页 M0 M M Ds Da x y O a+Da ) a

3、 ) s C 设曲线C是光滑的，曲线 线C上从点M 到点M 的弧 为Ds ，切线的转角为Da 平均曲率： 曲率： s K D D a 我们称为弧段 的平均曲率 MM ） s K s D D D a 0 lim 我们称为曲线C在点M处的曲率 在 存在的条件下 ds d s s aa D D D0 lim ds d K a 第5页/共12页第4页/共12页 曲率的计算公式： 设曲线的直角坐标方程是yf(x)，且f(x)具有二阶导数 于是 从而，有 因为tan a y ，所以 ds d K a sec 2a dx da y， dx da a 2 tan1 y 2 1y y dx da a 2 tan

4、1 y 2 1y y ， da 2 1y y dx又知 ds 2 1 y dx K 232 )1 ( | y y 第6页/共12页第5页/共12页 解 因此，y|x11，y|x12 曲线x y 1在点(1，1)处的曲率为 x 1 由y ，得 y 2 1 x ，y 2 1 x ，y 3 2 x K 232 )1 ( | y y 232 ) 1(1 ( 2 2 2 2 1 232 )1 ( | y y 232 ) 1(1 ( 2 2 2 2 1 232 )1 ( | y y 232 ) 1(1 ( 2 2 2 2 1 K 232 )1 ( | y y 第7页/共12页第6页/共12页 解 由yax

5、2bxc，得 y2axb ，y2a ， 代入曲率公式，得 要使K 最大，只须2axb0， 抛物线的顶点因此，抛物线在顶点处的曲率最大，最大曲率为 K|2a| K 232 )1 ( | y y K 232 )1 ( | y y 232 )2(1 |2| bax a 即 x a b 2 而 x a b 2 对应的点为 第8页/共12页第7页/共12页 2若曲线由参数方程给出，那么曲率如何计算？ 1直线上任一点的曲率等于什么？ 讨论： 提示：设直线方程为y=ax+b，则y =a， y = 0于是 )( )( ty tx j .0 )1 ( | 232 y y K 提示： 2322 )()( | )(

6、)()()(| tt tttt K j jj 第9页/共12页第8页/共12页 曲线在点M处的曲率K(K 0)与曲线在点M处的曲率半径 r 有如下关系： 曲线在M点的曲率中心 M y=f(x) x y O D r 曲线在M点的曲率半径 曲线在M点的曲率圆 r K 1 ， K r 1 |DM| K 1 r 第10页/共12页第9页/共12页 42 O 2 x y y=04 x2 第11页/共12页第10页/共12页 解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径 例3 设工件表面的截线为抛物线y04x 2现在要用砂 轮 磨削其内表面问用直径多大的砂轮才比较合适？ y08x ，y08， y|x00，y|x008 抛物线顶点处的曲率半径为 所以选用砂轮的半径不得超过125单位长，即直