正方形内的半角模型22问

1、正方形内的半角模型22问正方形内的半角模型22问何为半角模型？如图a，在ABC中，BAC=2DAE，AB=AC。这种模型就叫做“半角模型”。“半角模型”通常解题的方法是“旋转”。【例1】如图a，ABC中，AB=AC，BAC=120，D、E是BC边上的点，DAE=60，BD=5，CE=8，求DE的长。【提示】将，AEC绕点A顺时针旋转120得到APB，过点P作PMBC于点M，连接PD（如图a-1）。则APDAED，PBM=60。正方形中的半角模型：【例2】已知正方形ABCD，AB=6，点P在对角线BD上，AP交DC于点G，PHDC，PEPA交BC于点E，PFBC于点F，连接EG交PF于点N，连接

2、AN交PE于点M，EKBD于点K，连接AE交BD于点Q。则有以下结论：（1）PAE是等腰直角三角形；（2）EF=FC（四边形EFHP为平行四边形）；（3）PB-PD=2BE；（4）EG=EB+DG；（5）BC+BE=2BP；（6）GA平分DGE；（7）A到EG的距离为定值；（8）EFN的周长为定值；（9）FH=AP；（10）BAE=BPE；（11）NE=NG=NP（NEP=NPE，NPG=NGP）；（12）KEQ=PEN；（13）APB=AEG；（14）DGE=2AQD；（15）PQ=BQ+PD；（16）AB=2PK（PK=32）；（17）若BE=2，则PF=4且DG=GC；（18）若EPF=

3、22.5，则PF=PK；（19）若PEC是等边三角形，则PE=63-6（PF=9-33，PD=36-32）；（20）SABE=6，则SECG=6；（21）若ANEG，则PD=62-6；（22）若ANEG，则NA-NE=2NP。【解析】（1）延长FP（如图1-1），则PIDH为正方形，EPF=PAI，EPFPAI，PA=PE，又PEAP，PAE为等腰直角三角形；（2）EF=IP=ID=FC，PHEF，故四边形EFHP为平行四边形；（3）PB-PD=2BF-2PH=2（BF-PH）=2（BF-EF）=2BE；（4）将ADG绕点A顺时针旋转90得到ABJ（如图1-2）。则AJ=AG，GAE=JAE=

4、45，AE=AE，GAEJAE，JE=EG，JE=JB+BE，JB=DG，EG=EB+DG；（5）BP=BD-PD=2BC-2FC，2BP=2BC-2FC=BC+（BC-FC-EF）=BC+BE；（6）由（4），AJB=AGE=AGD，故GA平分DGE；（7）由（4），AEB=AEG=AGD，故A到EG的距离=AB=6，为定值；（8）CECG=EC+CG+EG=EC+CG+GD+BE=BC+CD=12，EF=FC，FNCG，N为EG中点，CEFN=CECG2=6，为定值；（9）连接PC（如图1-3），根据对称性，PA=PC，四边形FCHP为矩形，PC=FH，PA=FH；（10）BAE+DAG=

5、45，BPE+EPF=45，EPF=DAG（参照（1）的证明），BAE=BPE；（11）由（8）知，点N为EG中点，EPG为直角三角形，NE=NG=NP（NEP=NPE，NPG=NGP）；（12）KEQ=AEB-45=90-BAE -45=45-BAE=DAG；PEN=EPN=DAG，KEQ=PEN；（13）APB=BPC=45+FPC=45+EPN=45+PEN=AEG；（14）AQD=45+BAE=45+45-DAG=90-DAG=AGD，2AQD=2AGD=DGE；（15）将ABQ绕点A逆时针旋转90得到ADR，连接RP（如图1-4）。则AR=AQ，RAP=QAP=45，AP=AP，RA

6、PQAP，PQ=PR，RD=BQ；ADR=ADP=45，PDR=90，PR=RD+PD，即：PR=RD+PD；（16）PK=BD-BK-PD=2AB-2BE/2-2PH=2AB-2BE/2-2FC=2AB-（2/2）（BE+2FC）=2AB-（2/2）AB=（2/2）AB，AB=2PK；或6=2PK，PK=32；（17）FC=（6-2）2=2，PI=2，PF=4；设DG=x，则：（6-x）+4=(2+x)，解得：x=3，GC=6-3=3，故DG=GC；（18）EPF=22.5，DAG=BAE=22.5，则ADGABE，DG=BE，CE=CG，GEC=45，KEG=90，AEP=45，KEQ=P

7、EN（第12问），KEQ=PEN=22.5，PEK=PEF=67.5，又PFEF，PKEK，PK=PF；（19）设FC=a，则PI=a，PC=PE=2a，PF=3a，IF=（3+1）a=6，a=6（3+1）=3（3-1）；PE=6（3-1）；PF=33（3-1）=9-33，PD=23（3-1）=36-32；（20）SABE=6，BE=2，由（17），GC=3；EC=4，SECG=342=6；（21）点N为EG中点，又ANEG，AG=AE，ADGABE。DAG=BAE=22.5，EPF=FPC=22.5；PCF=67.5，PBC=45，BPC=67.5，BP=BC=6，BD=62，PD=62-6；（22）由（21），AE=AG，DPG=DGP=67.5，PD=DG=62-6，PDNG，PNDG，四边形DGNP为平行四边形，NP=DG=62-6，NE=NG=PD=62-6；ANGN，ADDG，AG=AG，ADGANG，AN=AD=6，NA-NE=6-（62-6）=12-62，2NP=2（62-6）=12-62，NA-NE=2NP。【点评】正方形既是轴对称图形，又