高等数学：1-7无穷的比较

1、第七节第七节 无穷小的比较无穷小的比较 一、无穷小的比较一、无穷小的比较 二、等价无穷小的性质二、等价无穷小的性质 三、小结三、小结 一、无穷小的比较 例如例如, x x x 3 lim 2 0 x x x sin lim 0 2 2 0 1 sin lim x x x x . 1 sin,sin,0 22 都是无穷小都是无穷小时时当当 x xxxxx 极限不同极限不同, 反映了反映了趋向于零的趋向于零的“快慢快慢”程度程度不不 同同. ;3 2 要快得多要快得多比比 xx ;sin大致相同大致相同与与xx 不可比不可比. , 0 , 1 x x 1 sinlim 0 .不存在不存在 观察各极

2、限观察各极限 );(, )()(, 0 )( )( lim)1( o xx x x 记作记作的无穷小的无穷小 高阶高阶是比是比就说就说如果如果 定义定义1:1:,)(),(穷穷小小是是同同一一过过程程中中的的两两个个无无设设xx 的无穷小。 是同阶与就说如果)()(, 0 )( )( lim)2(xxc x x 。记作的无穷小 是等价与就说如果 , )()(, 1 )( )( lim)3(xx x x 说明：说明： 无穷小的比较就是无穷小之间趋向无穷小的比较就是无穷小之间趋向0 0的速度的比较的速度的比较 度度几几乎乎是是相相同同的的。而而等等价价无无穷穷小小则则表表明明速速 倍倍差差。同同阶

3、阶，它它们们在在速速度度上上有有与与有有阶阶差差。 高高阶阶，它它们们在在速速度度上上比比时时比比如如：当当 33 35 43 ,0 xx xxx )(cos1 ,0, 2 1cos1 lim 2 2 0 xOxx x x x 时时 例如例如 xxx x x x sin,0, 1 sin lim 0 时时 ;)( , 0 )( )( lim )(2 00 0 0 阶的无穷小的是关于时则 且 是无穷小，时如果定义 kxxxxx L xx x xxx k ; 1 )( , 0 1 )( lim )(3 阶的无穷小的是关于时则 且 是无穷小，时如果定义 k x xx L x x xx k 说明：说明

4、： 即相对误差很小。即相对误差很小。 本身要小得多，本身要小得多，比比产生的误差产生的误差 时，所时，所代替其等价无穷小代替其等价无穷小用用 )()(xx 二、等价无穷小的性质 性质性质1 1).( o 证证 lim) 1lim(1lim 0lim1lim ).( o 性质性质2 2 则有：则有：存在存在且且设设,lim, 1 1 11 v u 证证 v u lim)lim( 1 1 1 1 v u 1 1 1 1 limlimlim v u .lim 1 1 v u ( (等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理) ) .limlimlimlim 1 11 1 v u v u v u v u 常

5、用等价无穷小常用等价无穷小: : 则则：值值的的无无穷穷小小是是不不取取假假设设,0)(x 说明说明: 在求极限的过程中，分子或分母中的在求极限的过程中，分子或分母中的因因子子， 可用其等价无穷小替换。可用其等价无穷小替换。 . 2 1 cos1 ,1)1(,)1ln( ,1 ,arcsinsin 2 e arctgtg 例例1 1. cos1 2tan lim 2 0 x x x 求求 解解 .22tan, 2 1 cos1,0 2 xxxxx 时时当当 2 2 0 2 1 )2( lim x x x 原式原式. 8 不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换. 对于代数和中各无穷小不要分

6、别替换对于代数和中各无穷小不要分别替换. 注意注意 只能分子或分母中的因子，才可替换。只能分子或分母中的因子，才可替换。 例例2 2. 2sin sintan lim 3 0 x xx x 求求 解解.sin,tan,0 xxxxx时时当当 3 0 )2( lim x xx x 原式原式. 0 解解 ,0时时当当 x )cos1(tansintanxxxx , 2 1 3 x ,22sinxx 3 3 0 )2( 2 1 lim x x x 原式原式. 16 1 错错 例例2 2. 3sin 1cos5tan lim 0 x xx x 求 解解,55tanxx,33sinxx . 2 1 co

7、s1 2 xx x x x x xx 3sin cos1 lim 3sin 5tan lim 00 原式 3 5 3 2 1 5 lim 2 0 x xx x 原式 . 3 5 0 3 5 x x x x xx 3 2 1 lim 3 5 lim 2 00 X 例例4 4. 2)ln( )sinln( lim 22 2 0 xxe xxe x x x 求求 解解 .)1ln( ,sin)sin1ln(,0 2222 22 xexe xexex xx xx 时时 )(lim sin lim 0 22 2 0 x x x x x e xe xe 原式原式. 1 )1ln( )sin1ln( 22)1ln( )sin1ln( 2)1(ln )sin1(ln 2)ln( )sinln( 22 2 22 2 222 2 22 2 xe xe xxxe xxxe xxee xxee xxe xxe x x x x xx xx x x 三、小结 1.无穷小的比较无穷小的比较: 反映了同一过程中反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度两无穷小趋于零的速度 快慢快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较但并不是所有的无穷小都可进行比较. 2.等价无穷小的替换等价无穷小的替换: 求极限的又一种方法求极限的又一种方法, 注意适用条件注意适用条件. 高阶