高等数学：2-3(隐函数和参数式函数的求导法)

1、一、隐函数的求导法一、隐函数的求导法 三、参数式函数的求导法三、参数式函数的求导法 四、相关变化率四、相关变化率 二、对数求导法二、对数求导法 第三节第三节 隐函数和参数式隐函数和参数式 函数的求导法函数的求导法 定义定义由二元方程由二元方程 )(xfy 0),( yxF)(xfy 1. 隐函数的定义隐函数的定义 )(xyy 所确定的函数所确定的函数 0),( yxF 称为称为隐函数隐函数(implicit function). 的形式称为的形式称为显函数显函数. 隐函数的隐函数的 01 3 yx 可确定显函数可确定显函数;1 3 xy 例例 ),10(sin yxy开普勒方程开普勒方程 开普

2、勒开普勒( (J.Kepler)1571-1630)1571-1630 德国数学家德国数学家, ,天文学家天文学家. . xy关于关于 的隐函数客观存在的隐函数客观存在, ,但无法将但无法将 yx表达成表达成的的显式显式 表达式表达式. . 显化显化. . 一、隐函数的求导法一、隐函数的求导法 2. 隐函数求导法隐函数求导法 隐函数求导法则隐函数求导法则 用用复合函数求导法则复合函数求导法则, 并注意到其中并注意到其中 将方程两边对将方程两边对x求导求导. 变量变量y是是x的函数的函数. 隐函数不易显化或不能显化隐函数不易显化或不能显化如何求导如何求导 例例 解解 0 yx eexy设想把设想

3、把 ., 0 0 x yx yyy eexy 的导数的导数 所确定的隐函数所确定的隐函数求由方程求由方程 则得恒等式则得恒等式代入方程代入方程, )(xyy 所确定的函数所确定的函数 0)( )( xyx eexxy 将此恒等式两边同时对将此恒等式两边同时对x求导求导,得得 x xy)( x x e )( x y e )( )0( 因为因为y是是x的函数的函数, 是是x的复合函数的复合函数,所以所以 y e 求导时要用复合函数求导法求导时要用复合函数求导法, y y x x e y e y 0 . 1 0, 0 yx 0 00 y x y x x ex ye y 虽然隐函数没解出来虽然隐函数没

4、解出来,但它的导数求出来但它的导数求出来 了了,当然结果中仍含有变量当然结果中仍含有变量y. 允许在允许在 的表达式中含有变量的表达式中含有变量y. y 一般来说一般来说,隐函数隐函数 求导求导, 求求隐函数的导数时隐函数的导数时,只要记住只要记住x是自变量是自变量, 将方程两边同时对将方程两边同时对x求导求导,就得到一个含有导数就得到一个含有导数 从中解出即可从中解出即可. 于是于是y的函数便是的函数便是x的复合函数的复合函数, 的方程的方程. y是是x的函数的函数, y 例例 解解 , 0sin y xey设设. x y 求求 法一法一 利用利用隐函数求导法隐函数求导法. 将恒等式两边对将

5、恒等式两边对x求导求导,得得 ycos x y y e 1 y ex x y 0 y y x xey e y cos 解出解出, x y 得得 法二法二 从原方程中解出从原方程中解出,x得得 y e y x sin ye y sin ye e y x y y sin sin 先求先求x对对y的导数的导数,得得 y x )sin(cosyye y y e yysincos 再利用再利用反函数求导法则反函数求导法则,得得 y x x y 1 y y xey e cos cossin)1(yeye yy 例例 . , 2 3 , 2 3 ,3 33 线线通通过过原原点点 在在该该点点的的法法并并证证

6、明明曲曲线线的的切切线线方方程程点点 上上求求过过的的方方程程为为设设曲曲线线 C CxyyxC 解解 ,求导求导方程两边对方程两边对x 2 3x xy xy y 2 2 . 1 切线方程切线方程) 2 3 ( 2 3 xy . 03 yx即即 2 3 2 3 xy, xy 即即 2 3y y3 y x 3 y 法线方程法线方程 通过原点通过原点. 2 3 , 2 3 2 3 , 2 3 利用隐函数求导法来证明曲线族的正交问题利用隐函数求导法来证明曲线族的正交问题. 如果两条曲线在它们的交点处的切线互相垂直如果两条曲线在它们的交点处的切线互相垂直, 正交轨线正交轨线. . 称这两条曲线是称这两

7、条曲线是正交的正交的. . 如果一个曲线如果一个曲线族族中的每条曲线与另一个曲线中的每条曲线与另一个曲线族族 中的所有与它相交的曲线均正交中的所有与它相交的曲线均正交, 称这称这 是正交的是正交的 两个曲线族两个曲线族 或互为或互为 正交曲线族在很多物理现象中出现正交曲线族在很多物理现象中出现,例如例如, 静电场中的电力线与等电位线正交静电场中的电力线与等电位线正交,热力学中的热力学中的 等温线与热流线正交等温线与热流线正交, 等等等等. ).()2, 2( 2282 222 正交正交处垂直相交处垂直相交在点在点 与曲线与曲线试证曲线试证曲线yxyx 证证 :82 22 求导得求导得两边关于两

8、边关于对对xyx , 042 yyx )2,2( y :22 2 求导得求导得两边关于两边关于再对再对xyx ,222yx )2, 2( y即证即证. 两条曲线在该点的两条曲线在该点的 现只须证明现只须证明 切线斜率互为负倒数切线斜率互为负倒数. . 2 1 . 2 ,)2, 2(是是两两曲曲线线的的交交点点易易验验证证点点 .)()2( )(xv xu幂指函数幂指函数 作为隐函数求导法的一个简单应用作为隐函数求导法的一个简单应用, 介绍介绍 (1) 许多因子相乘除、乘方、开方的函数许多因子相乘除、乘方、开方的函数. , )4( 1)1( 2 3 x ex xx y 如如 对数求导法对数求导法

9、,它可以利用对数性质使某些函数的它可以利用对数性质使某些函数的 求导变得更为简单求导变得更为简单. . sinx xy 适用于 适用于 方方 法法 先在方程两边取对数先在方程两边取对数, -对数求导法对数求导法 然后利用隐函数的然后利用隐函数的 求导法求出导数求导法求出导数. 二、对数求导法二、对数求导法 例例 解解 yln 求导得求导得上式两边对上式两边对 x y 1 ., )4( 1)1( 2 3 y ex xx y x 求求设设 1 4 2 )1(3 1 1 1 xxx y 等式两边取对数得等式两边取对数得 1 4 2 )1(3 1 1 1 )4( 1)1( 2 3 xxxex xx y

10、 x )1ln( xx )1ln( 3 1 x)4ln(2 x 隐函数隐函数 )(xu )( )()( )(ln)()()( )( xu xuxv xuxvxuxf xv )(ln)()(lnxuxvxf 两边对两边对x求导得求导得 )(x f :幂指函数幂指函数 )(xf )(xv )0)( xu 等式两边取对数得等式两边取对数得 )( )( )( xu xu xv )(xf )(ln)(xuxv 例例 解解 .),0( sin yxxy x 求求设设 xxylnsinln 求导得求导得上式两边对上式两边对x x xxxy y 1 sinlncos 1 ) 1 sinln(cos x xxx

11、yy ) sin ln(cos sin x x xxx x 等式两边取对数得等式两边取对数得 注注 复合函数复合函数 )0)()( )( xuxuy xv 改写成改写成 )(ln)(xuxv ey .),0( sin yxxy x 求求 如上例如上例 ),0( sin xxy x 将将则则 xx ey lnsin xx ln(cos ) sin x x 只要将只要将 , lnsinxx ey 改改写写成成 幂指函数也可以利用对数性质化为幂指函数也可以利用对数性质化为: 再求导再求导, 有些显函数用对数求导法很方便有些显函数用对数求导法很方便. . 例如例如, ,)1,0,0( b a ba a

12、 x x b b a y bax 两边取对数两边取对数 yln 两边对两边对x求导求导 y y b a ln x a x b x a b a a x x b b a y bax ln b a xln lnlnxbalnlnaxb x b ., 1 . 1 2 sin y x x y x 求求设设 解答解答 求导得求导得上式两边对上式两边对x )1ln(lnln 2sin xxy x )1ln(lnsin 2 xxx 2 1 2sin lncos x x x x xx y y ) 1 2sin ln(cos 2 x x x x xxyy 等式两边取对数等式两边取对数 .,. 2yyx xy 求求

13、设设 解答解答,lnlnyxxy ,lnlny y x y x y xy . ln ln 2 2 xxxy yyxy y . 3yxy x ，求，求设设 三、参数式函数的求导法三、参数式函数的求导法 . , )( )( 定的函数定的函数称此为由参数方程所确称此为由参数方程所确 间的函数关系间的函数关系与与确定确定若参数方程若参数方程xy ty tx 例如例如 , ,2 2 ty tx 2 x t 22 ) 2 ( x ty 4 2 x xy 2 1 消去参数消去参数 问题问题: : 消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导? t ,)(),(都都可可导导再再设设函函数数tytx x

14、 y d d t y d d )( )( t t t x t y x y d d d d d d 即即 , )( )( 中中在方程在方程 ty tx 具有具有设函数设函数)(tx 所以所以, t y d d x t d d ),( 1 xt 单调连续的单调连续的反函数反函数 由由复合函数及反函数的求导法则复合函数及反函数的求导法则得得 t x d d 1 , 0)( t 且且 y)( 1 x 例例 解解 t x t y x y d d d d d d t t cos1 sin taa ta cos sin 2 cos1 2 sin d d 2 t x y . 1 .方方程程 处的切线处的切线在

15、在求摆线求摆线 2)cos1( )sin( t tay ttax , 2 时时当当 t 所求切线方程为所求切线方程为 )1 2 ( axay ) 2 2( axy即即 )cos1( )sin( tay ttax ),1 2 ( ax. ay 设由方程设由方程 )10(1sin 2 2 2 yyt ttx 确定函数确定函数, )(xyy 求求. d d x y 方程组两边对方程组两边对t 求导求导, ,得得 故故 x y d d )cos1)(1(yt t t x d d t 2 y t cos1 2 22 t ycos t y d d 0 例例 解解 t x d d t x d d t y d

16、 d t y d d t y d d )1(2 t 若曲线由极坐标方程若曲线由极坐标方程)( rr 给出给出, ,利用 利用 可化为极角可化为极角 参数方程参数方程, , 因此曲线因此曲线 y sin)( r cos)( r cos)( r d dy d dx )( rr 切线的斜率为切线的斜率为 o A M r ,cos)( rx sin)( ry sin)( r 例例. 4 2sin处处的的法法线线方方程程在在求求曲曲线线 ar 解解 将曲线的极坐标方程转换成将曲线的极坐标方程转换成 cos)( rx cos2sina sin)( ry sin2sina )( 为参数为参数 则曲线的切线斜

17、率为则曲线的切线斜率为 x y d d cos2sinsin2cos2aa 1 所以法线斜率为所以法线斜率为又切点为又切点为 4 4 , 2 2 4 ax ay 2 2 4 sin2sincos2cos2aa 故法线方程为故法线方程为axay 2 2 2 2 即即0 yx , 1 参数方程参数方程 这种将极坐标方程化为参数方程这种将极坐标方程化为参数方程,借助借助 参数方程处理问题的方法参数方程处理问题的方法,在高等数学中将在高等数学中将 多次遇到多次遇到. )(, )(tyytxx 为两可导函数为两可导函数 yx ,之间有联系之间有联系 t y t x d d , d d 之间也有联系之间也

18、有联系 称为称为 相关变化率解法三步骤相关变化率解法三步骤 找出相关变量的关系式找出相关变量的关系式 对对t 求导求导 相关变化率相关变化率 求出未知的相关变化率求出未知的相关变化率 四、相关变化率四、相关变化率 相关变化率相关变化率 0),( yxF t y t x d d d d 和和之间的关系式之间的关系式 代入指定时刻的变量值及已知变化率代入指定时刻的变量值及已知变化率, (1) (2) (3) 例例 解解,秒后秒后设气球上升设气球上升t 500 tan h 求求导导得得两两边边对对t 2 sec 0),( hF (1) (2) ? ,500./140 ,500 多多少少员员视视线线的

19、的仰仰角角增增加加率率是是 观观察察米米时时当当气气球球高高度度为为秒秒米米其其速速率率为为 米米处处离离地地面面铅铅直直上上升升一一气气球球从从离离开开观观察察员员 ),(th其高度为其高度为 则则的仰角为的仰角为观察员视线观察员视线),(t td d 500 1 t h d d ,/140 d d 秒秒米米 t h td d 仰角增加率仰角增加率 (3) 2sec2 140 500 1 2 1 )/(14. 0分分弧度弧度 h 500 , 1tan,500 时时当当h 22 tan1sec 例例 解解 , 2 1 sin ,cos , , 2 0 0 0 gttvy tvx v 其运动方程

20、为其运动方程为发射炮弹发射炮弹 发射角发射角以初速度以初速度不计空气的阻力不计空气的阻力 , 0时刻的切线方向 时刻的切线方向轨迹在轨迹在t ;)1( 0的运动方向 的运动方向炮弹在时刻炮弹在时刻求求t .)2( 0的速度大小 的速度大小炮弹在时刻炮弹在时刻 t 可由可由切线的斜率切线的斜率来反映来反映. 即即 x y O 0 v 时刻的运动方向时刻的运动方向在在 0 )1(t x y d d cos sin 0 0 v gtv , 2 1 sin ,cos 2 0 0 gttvy tvx . cos sin 0 00 v gtv t t tv gttv )cos( ) 2 1 sin( 0

21、2 0 x y d d 0 tt 轴方向的分速度为轴方向的分速度为时刻沿时刻沿炮弹在炮弹在yxt,)2( 0 0 d d tt x t x v 0 d d tt y t y v 00 singtv 时刻炮弹的速度为时刻炮弹的速度为在在 0 t 22 yx vvv 2 0 2 00 2 0 sin2tggtvv , 2 1 sin ,cos 2 0 0 gttvy tvx cos 0 v 0 )cos( 0tt tv 0 ) 2 1 sin( 2 0tt gttv x y O 0 v v x v y v ).( ,10, 100 假定气体压力不变假定气体压力不变加的速率加的速率 气球半径增气球半

22、径增厘米时厘米时求在半径为求在半径为的气球的气球 的速率注入球状的速率注入球状秒秒立方厘米立方厘米设气体以设气体以 设自开始充气以来的时间设自开始充气以来的时间t, 3 3 4 )1(rV ,)2(求求导导两两边边对对t 秒秒立方厘米立方厘米100 d d )3( t V 解解 体积为体积为 在在t时刻气体的时刻气体的 半径为半径为 t r r t V d d 3 3 4 d d 2 得得 ),(tVV ),(trr )( 4 1 秒秒厘米厘米 t r d d 10 r 小结小结 隐函数求导法则隐函数求导法则 工具工具: :复合函数复合函数链导法则链导法则; 对数求导法对数求导法 对方程两边取

23、对数对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导按隐函数的求导法则求导. 参数方程求导参数方程求导 注意注意: :变量变量y是是x的函数的函数. 将方程两边对将方程两边对x求导求导. 工具工具: :复合函数复合函数链导法则链导法则、反函数的求导法则、反函数的求导法则. 相关变化率相关变化率 通过函数关系确定两个变化率通过函数关系确定两个变化率之间的之间的 解法解法: : 三个步骤三个步骤. . 关系关系,从其中一个变化率从其中一个变化率( (已知已知) )求出一个变化率求出一个变化率; 一般地一般地 )0)()()( )( xuxuxf xv )( )()( )(ln)()()( )( xu xuxv xuxvxuxf xv )(ln)()(lnxuxvxf 1.对数求导法对数求导法