第二章隐函数与参量函数微分法

1、第二章隐函数与参量函数微分法 隐函数与参量函数微分法隐函数与参量函数微分法 一、隐函数的导数一、隐函数的导数 定义定义: : .)(称称为为隐隐函函数数由由方方程程所所确确定定的的函函数数xyy .)(形形式式称称为为显显函函数数xfy 0),( yxF )(xfy 隐函数的显化隐函数的显化 问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则隐函数求导法则: : 用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导. 第二章隐函数与参量函数微分法 )(0),(xyyyxF 确定了一元隐函数确定了一元隐函数设设 得得代代入入将将0),

2、()( yxFxyy 0)(, xyxFu 0 dx du 则则 两边对两边对 x 求导，当遇到求导，当遇到 y 的函数的函数 f(y)时时 )(yf dx d 要要求求的的是是 )(yfz 记记 xyz dx dy dy dz dx dz dx dy yf )( 第二章隐函数与参量函数微分法 将求出的这些导数代入将求出的这些导数代入 0 dx du 得到关于得到关于 dx dy 的代数方程，的代数方程， 即即为为所所求求解解得得),(yxg dx dy 至于隐函数求二阶导数，与上同理至于隐函数求二阶导数，与上同理 求求导导两两边边再再对对在在xyxg dx dy ),( ),( 2 2 yy

3、xG dx yd 代入代入再将再将),(yxg dx dy 第二章隐函数与参量函数微分法 例例1 1 ., 0 0 x yx dx dy dx dy y eexy 的的导导数数 所所确确定定的的隐隐函函数数求求由由方方程程 解解,求求导导方方程程两两边边对对x 0 dx dy ee dx dy xy yx 解得解得 , y x ex ye dx dy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知 0 00 y x y x x ex ye dx dy . 1 第二章隐函数与参量函数微分法 例例2 2 . ,) 2 3 , 2 3 ( ,3 33 线线通通过过原原点点 在在该该点点的的法法并并证证明明曲

4、曲线线的的切切线线方方程程点点 上上求求过过的的方方程程为为设设曲曲线线 C CxyyxC 解解,求导求导方程两边对方程两边对 xyxyyyx 3333 22 ) 2 3 , 2 3 ( 2 2 ) 2 3 , 2 3 ( xy xy y . 1 所求切线方程为所求切线方程为 ) 2 3 ( 2 3 xy . 03 yx即即 2 3 2 3 xy法线方程为法线方程为,xy 即即显然通过原点显然通过原点. 第二章隐函数与参量函数微分法 例例3 3 .)1 , 0(, 1 44 处处的的值值在在点点求求设设yyxyx 解解 求求导导得得方方程程两两边边对对x )1(044 33 yyyxyx 得得

5、代入代入1, 0 yx; 4 1 1 0 y x y 求求导导得得两两边边再再对对将将方方程程x)1( 04)(12212 3222 yyyyyxyx , 1, 0 yx代代入入得得 4 1 1 0 y x y. 16 1 1 0 y x y 第二章隐函数与参量函数微分法 补证反函数的求导法则补证反函数的求导法则 为为其其反反函函数数为为直直接接函函数数，设设)()(xfyyx 隐隐函函数数 确确定定的的一一个个可可视视为为由由方方程程0)()( yxxfy 由隐函数的微分法则由隐函数的微分法则 求求导导得得两两边边对对方方程程xyx)( dx dy y )(1 )( 1 ydx dy 第二章

6、隐函数与参量函数微分法 例例4 2 2 22 ,lnarctan dx yd dx dy yx x y 求求设设 解解 求求导导得得方方程程两两边边对对x )( 1 1 1 22 22 2 yx yxx y x y 2222 222 2 2 221 yx yyx yxx yxy yx x yyxyxy yx yx dx dy 第二章隐函数与参量函数微分法 yx yx dx d dx yd 2 2 2 )( )1)()(1( yx yyxyxy 2 )( 22 yx yyx 3 )( )()( 2 yx yxyyxx 3 22 )( )(2 yx yx 例例5 求证抛物线求证抛物线 ayx 上任

7、一点的切线上任一点的切线 在两坐标轴上的截距之和等于在两坐标轴上的截距之和等于a 第二章隐函数与参量函数微分法 证证 求导得求导得两边对两边对方程方程xayx 0 2 1 2 1 dx dy yx x y dx dy 故曲线上任一点故曲线上任一点),( 00 yx处切线的斜率为处切线的斜率为 0 xx dx dy k 0 0 x y 切线方程为切线方程为)( 0 0 0 0 xx x y yy 000000 xyyxxyyx 第二章隐函数与参量函数微分法 000000 xyyxxyyx )( 0000 yxyx 00 yxa 1 00 ya y xa x 故在两坐标轴上的截距之和为故在两坐标轴

8、上的截距之和为 )( 0000 yxayaxa a 二、对数求导法二、对数求导法 有时会遇到这样的情形，即虽然给出的是显函数有时会遇到这样的情形，即虽然给出的是显函数 但直接求导有困难或很麻烦但直接求导有困难或很麻烦 第二章隐函数与参量函数微分法 观察函数观察函数 ., )4( 1)1( sin 2 3 x x xy ex xx y 方法方法: : 先在方程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导 方法求出导数方法求出导数.目的是利用对数的性质简化目的是利用对数的性质简化 求导运算。求导运算。 -对数求导法对数求导法 适用范围适用范围: : .)( )( 的情形

9、的情形 开方和幂指函数开方和幂指函数多个函数相乘、乘方、多个函数相乘、乘方、 xv xu 例例6 6., )4( 1)1( 2 3 y ex xx y x 求求设设 解解等式两边取对数得等式两边取对数得 第二章隐函数与参量函数微分法 xxxxy )4ln(2)1ln( 3 1 )1ln(ln 求导得求导得上式两边对上式两边对 x 1 4 2 )1(3 1 1 1 xxxy y 1 4 2 )1(3 1 1 1 )4( 1)1( 2 3 xxxex xx y x 例例7 的导数的导数求求 )4)(3( )2)(1( xx xx y 解解 这函数的定义域这函数的定义域 1, 32, 4 xxx 第

10、二章隐函数与参量函数微分法 4 x若若 两边取对数得两边取对数得 )4ln()3ln()2ln()1ln( 2 1 ln xxxxy 两边对两边对 x 求导得求导得 4 1 3 1 2 1 1 1 2 11 xxxx y y 3 1 3 1 2 1 1 1 2 xxxx y y 1 x若若 )4)(3( )2)(1( xx xx y 两边取对数得两边取对数得 )4ln()3ln()2ln()1ln( 2 1 lnxxxxy 第二章隐函数与参量函数微分法 两边对两边对 x 求导得求导得 4 1 3 1 2 1 1 1 2 11 xxxx y y 3 1 3 1 2 1 1 1 2 xxxx y

11、y 同理同理 32 x若若 3 1 3 1 2 1 1 1 2 xxxx y y 例例8 dx dy yx xy 求求设设 解解两边取对数得两边取对数得 第二章隐函数与参量函数微分法 yxxylnln 两边对两边对 x 求导得求导得 y y xy x yxy 1 ln 1 ln 2 2 ln ln xxxy yyxy y 例例9 dx dy axaxaxy n a n aa 求求设设)()()( 21 21 解解两边取对数得两边取对数得 )ln()ln()ln(ln 2211nn axaaxaaxay 两边对两边对 x 求导得求导得 第二章隐函数与参量函数微分法 n n ax a ax a a

12、x a y y 2 2 1 1 1 2 2 1 1 n n ax a ax a ax a yy 例例1010 .),0( sin yxxy x 求求设设 解解等式两边取对数得等式两边取对数得xxylnsinln 求求导导得得上上式式两两边边对对x x xxxy y 1 sinlncos 1 ) 1 sinln(cos x xxxyy ) sin ln(cos sin x x xxx x 第二章隐函数与参量函数微分法 一般地一般地 )0)()()( )( xuxuxf xv )(ln)()(lnxuxvxf )( )( 1 )(lnxf dx d xf xf dx d 又又 )(ln)()(xf

13、 dx d xfxf )( )()( )(ln)()()( )( xu xuxv xuxvxuxf xv 第二章隐函数与参量函数微分法 三、由参数方程所确定的函数的导数三、由参数方程所确定的函数的导数 . , )( )( 定的函数定的函数称此为由参数方程所确称此为由参数方程所确 间的函数关系间的函数关系与与确定确定若参数方程若参数方程xy ty tx 例如例如 , ,2 2 ty tx 2 x t 消去参数消去参数 22 ) 2 ( x ty 4 2 x xy 2 1 问题问题: : 消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导? 第二章隐函数与参量函数微分法 , )( )( 中中在方

14、程在方程 ty tx ),()( 1 xttx 具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数设函数设函数 )( 1 xy 参量函数参量函数 , 0)(,)(),( ttytx 且且都都可可导导再再设设函函数数 由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得 dx dt dt dy dx dy dt dx dt dy1 )( )( t t dt dx dt dy dx dy 即即 第二章隐函数与参量函数微分法 , )( )( 二阶可导二阶可导若函数若函数 ty tx )( 2 2 dx dy dx d dx yd dx dt t t dt d ) )( )( ( 容易漏掉容易漏掉 )(

15、 1 )( )()()()( 2 tt tttt . )( )()()()( 32 2 t tttt dx yd 即即 第二章隐函数与参量函数微分法 例例1111处处的的切切线线在在求求摆摆线线 2)cos1( )sin( t tay ttax .方方程程 解解 dt dx dt dy dx dy taa ta cos sin t t cos1 sin 2 cos1 2 sin 2 t dx dy . 1 第二章隐函数与参量函数微分法 .),1 2 (, 2 ayaxt 时时当当 所求切线方程为所求切线方程为 )1 2 ( axay ) 2 2( axy即即 例例12 32 2 2 , 1 1

16、 ydx yd y x dx dy ty tx 证证明明设设 证证 dt dx dt dy dx dy t t 12 1 12 1 t t 1 1 y x 第二章隐函数与参量函数微分法 )( 2 2 dx dy dx d dx yd )( y x dx d 2 y yxy 2 y y x y 3 22 y yx 3 2 y )2( 22 yx 例例13 设曲线设曲线由极坐标方程由极坐标方程r=r()所确定，试求该所确定，试求该 曲线上任一点的切线斜率，并写出过对数螺线曲线上任一点的切线斜率，并写出过对数螺线 上点上点处的切线的直角坐标方程处的切线的直角坐标方程 er ) 2 ,( 2 e 第二

17、章隐函数与参量函数微分法 解解由极坐标和直角坐标的变换关系知由极坐标和直角坐标的变换关系知 sin)( cos)( ry rx d dx d dy dx dy sin)(cos)( cos)(sin)( rr rr 时时当当 er sincos cossin )sin(cos )cos(sin e e dx dy 时时当当 2 切线斜率为切线斜率为 1 2 dx dy k 第二章隐函数与参量函数微分法 ), 0() 2 ,( 22 eeer所对应的直角坐标为所对应的直角坐标为上点上点而而 故切线的直角坐标方程为故切线的直角坐标方程为 )0( 2 xey 2 eyx 即即 例例1414 .)2(

18、 ;)1( , 2 1 sin ,cos , , 0 0 2 0 0 0 的的速速度度大大小小炮炮弹弹在在时时刻刻 的的运运动动方方向向炮炮弹弹在在时时刻刻求求 其其运运动动方方程程为为发发射射炮炮弹弹 发发射射角角以以初初速速度度不不计计空空气气的的阻阻力力 t t gttvy tvx v 第二章隐函数与参量函数微分法 解解 . , )1( 0 0 可由切线的斜率来反映可由切线的斜率来反映 时刻的切线方向时刻的切线方向轨迹在轨迹在 时刻的运动方向即时刻的运动方向即在在 t t x y o 0 v v x v y v )cos( ) 2 1 sin( 0 2 0 tv gttv dx dy c

19、os sin 0 0 v gtv . cos sin 0 00 0 v gtv dx dy tt 轴方向的分速度为轴方向的分速度为时刻沿时刻沿炮弹在炮弹在yxt,)2( 0 00 )cos( 0ttttx tv dt dx v cos 0 v 第二章隐函数与参量函数微分法 00 ) 2 1 sin( 2 0tttty gttv dt dy v 00 singtv 时刻炮弹的速度为时刻炮弹的速度为在在 0 t 22 yx vvv 2 0 2 00 2 0 sin2tggtvv 四、相关变化率四、相关变化率 . , , ,)()( 变化率称为相关变化率变化率称为相关变化率 这样两个相互依赖的这样两个相互依赖的之间也存在一定关系之间也存在一定关系 与与从而它们的变化率从而它们的变化率之间存在某种关系之间存在某种关系 与与而变量而变量都是可导函数都是可导函数及及设设 dt dy dt dx y xtyytxx 第二章隐函数与参量函数微分法 相关变化率问题相关变化率问题: : 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率? 例例1515 ?,20 ,12