线性代数课件第03章

1、线性代数课件第03章 第3章 向量组的线性相关性 3.1 维向量 n 线性代数课件第03章 3.2 向量组的线性相关性 线性代数课件第03章 3.2.1向量组的线性组合 定义定义3设有 维向量 ，若存 在一组数 ，使 或 则称 为向量组 的线性组合，或称可 由向量组 线性表示（表出）， 称为此线性组合的组合系数 n 12 , m 12 , m k kk 1122 mm kkk 1 2 12 (,) m m k k k 12 , m 12 , m 12 , m k kk 线性代数课件第03章 3.2.2 向量组的线性相关与线性无关 定义定义4 设有 维向量组 ，若存在 一组不全为零的数 ，使 则

2、称向量组 线性相关，否则称此向 量组线性无关 换言之，若 线性无关， 成立当且仅当 n 12 , m 12 , m k kk 1122 0 mm kkk 12 , m 12 , m 1122 0 mm kkk 12 0 m kkk 线性代数课件第03章 由此定义可知： （1）仅含一个零向量的向量组必线性相关 （2）仅含一个非零向量的向量组必线性无 关 （3）任何包含零向量在内的向量组必线性相 关 线性代数课件第03章 3.2.3 向量组线性相关的充分必要条件 定理定理1 向量组 线性相关的 充分必要条件是：向量组 中至少有 一个向量可由其余 个向量线性表示 例例1 讨论向量组 的线性相关性 解

3、解设有一组数，使 12 , m (2)m 12 , m 1m 123 213 3 ,2 ,2 111 123 ,x xx 112233 0 xxx 线性代数课件第03章 则有方程组 因其系数行列式 所以方程组有非零解，从而线性相关 123 123 123 230, 3220, 0. xxx xxx xxx 213215 3223150 111100 D 123 , 线性代数课件第03章 例例 讨论维向量组 的线性相关性，通常称为基本单位 向量组 解解 设有一组数，使 12 100 010 , 001 eee n 12 ,e ee n 12 , n k kk 1 122 eee 0 nn kkk

4、 线性代数课件第03章 即 得，从而， 故线性无关 12 1000 0100 0010 n kkk T 12 ( ,) 0 n k kk 12 0 n kkk 12 ,e ee n 线性代数课件第03章 例例 设向量组线性无关，讨论 向量组 的线性相关性 解解 设有一组数，使 即 从而有 12 , n 112223 , 111 , nnnnn 1122 0 nn xxx 12 , n x xx 1122231 ()()() 0 nn xxx 111221 ()()() 0 nnnn xxxxxx 线性代数课件第03章 由线性无关，得齐次方程组 将其系数行列式按第一行展开得 12 , n 1 1

5、2 1 0, 0, 0, n nn xx xx xx 1 10001 11000 1 ( 1)01100 00011 n A 线性代数课件第03章 当为奇数时，因此 故线性无关； 当 为偶数时， ，因此 故 线性相关 n 20A 12 , n T 12 (,) 0 n x xx 0A 12 , n n T 12 (,) 0 n x xx 线性代数课件第03章 3.3 线性相关性的判别定理 线性代数课件第03章 定理定理2 向量组 线性相关的充分必要 条件是（ 有非零解）它所构成的矩阵 的秩小于向量个数 ；该向量 组线性无关的充分必要条件是 . 推论推论 1 个 维向量线性无关的充分必要条件 是

6、它们所构成的方阵的行列式不等于零. 推论推论2 个 维向量组成的向量组，当维数 小于向量个数 （即 ）时一定线性相关 定理定理3 （1） 若 线性相关，则 也线 性相关； （2）线性无关的向量组的任何部分组必线性无 关 12 , m 12 (,) m Am ( ) R Am A 0 x nn m nm n n m 12 , r 11 , rrm 线性代数课件第03章 定理定理4 设 线性无关，而 线性相关，则 能由 线性表示，且表示式惟一 定理定理5 设有两个向量组 ： ： 其中 是自然数 的某个确定的 排列，则向量组 与向量组 的线性相关性相 同 定理定理6 设有两个向量组 12 , m 1

7、2 , m 12 , m 12 (,)(1,2,) jjjnj aaajm 12 (,)(1,2,) n jp jp jp j aaajm 12n p pp1,2,n 线性代数课件第03章 ： ； ： ， 即向量 加上一个分量得到向量 若向量组 线性无关，则向量组 也线性无关；反之， 若向量组 线性相关，则向量组 也线性相 关 12 (,)(1,2,) jjjrj aaajm 121 (,)(1,2,) jjjrjrj aaaajm j j 线性代数课件第03章 3.4 向量组的秩 线性代数课件第03章 3.4.1 向量组等价的概念 定义定义5 设两个向量组 和 : 若向量组 中的每个向量都可

8、由向量组 线性 表示，则称向量组 可由向量组 线性表示； 若向量组 与向量组 能相互线性表示，则称 这两个向量组等价 等价向量组具有下面三个性质： 自反性：向量组 与自身等价； 对称性：若向量组 与向量组 等价，则向 量组 与向量组 等价； ： 12 , , r 12 , s 线性代数课件第03章 传递性：若向量组 与向量组 等价，向 量组 与向量组 等价，则向量组 与向量组 等价 C C 线性代数课件第03章 3.4.2极大线性无关组与向量组的秩 定义定义6 设向量组 的一个部分组 满足 线性无关； 向量组 中每一个向量均可由 线 性表示，则称 是向量组 的一个极 大线性无关组，简称极大无关

9、组；极大线性无 关组所含向量的个数 称为向量组 的秩，向 量组 的秩记为 由定义6可证明: 12 , r 12 , r 12 , r 12 , r r 12 , m 12 (,) m R 线性代数课件第03章 (1) 只含零向量的向量组没有极大线性无关 组，规定它的秩为 ； (2) 任何非零向量组必存在极大无关组； (3) 向量组的极大无关组与向量组本身等价； (4) 线性无关向量组的极大无关组为其本身 （线性无关向量组的秩等于它所含向量的个数）. 例例1 求向量组 的一个极大无关组 0 123 213 3 ,2 ,2 111 线性代数课件第03章 解解 由3.2节例1知 线性相关，下面讨论

10、其中任两个向量 的线性相关性 设有数 ，使 ，即 因为由前两个方程构成的齐次线性方程组的系 数行列式 故方程组有惟一解，即 ，所以 线 性无关 123 , 13 , 12 ,k k 1123 0kk 12 12 12 230, 320, 0. kk kk kk 23 0 32 12 0kk 13 , 线性代数课件第03章 同理可验证 ； 也线性无关可取 作为原向量组的一个极大无关组，也可 取 或 作为原向量组的极大无关组 一般来说，向量组的极大无关组不是惟一的， 但可以证明每一个极大无关组所含向量的个数是 惟一的求向量组的极大无关组的意义之一在 于：当用向量组表示方程组时，其极大无关组中 的向

11、量对应方程组中那些独立的方程，而独立的 方程构成的方程组与原方程组同解 12 , 23 , 13 , 12 , 23 , 线性代数课件第03章 定理定理7 若向量组 的秩为 ，向量组 的秩 为 ，且向量组 能由向量组 线性表示，则 推论推论 等价向量组的秩相等 r s rs 线性代数课件第03章 3.4.3向量组的秩与矩阵秩的关系 设 矩阵 称矩阵 的 个列向量所构成的向量组的秩为 的列秩； 的 个行向量所构成的向量组的 秩为 的行秩 矩阵的秩与其行、列秩的关系有如下定理: 定理定理8 矩阵的秩等于其行秩，也等于其列秩 A m n 11121 21222 12 , n n mmmn aaa a

12、aa A aaa A n Am A 线性代数课件第03章 3.4.4 初等变换求向量组的秩 将所讨论的 维向量组 写成一个 行 列的矩阵，并对此矩阵施行初等行变换， 化为行阶梯形矩阵，其非零行的行数就是向量 组 的秩（即极大无关组所含向量的 个数） 例例2 求向量组 ， 的秩及一 个极大无关组 解解 将向量按列构成矩阵 ，用初等行变换化其 为行阶梯形矩阵： n12 , mn m 12 , m TT 12 (1,4,1,0,2) ,(2,5, 1, 3,2) , T 3 ( 1,2,5,6,2) T 4 (0,2,2, 1,0) A 线性代数课件第03章 121012101210 4522036

13、20120 115203620001 036103610000 222002400000 A 显然，非零行数为 ，知 ， 故 3( )3R A 1234 (,)3R 线性代数课件第03章 3.5 向量空间 线性代数课件第03章 3.5.1 向量空间的概念 定义定义7 设 是非空的 维向量集合，若集合 对于向量的加法和数乘运算满足 对任意的 ，有 ； 对任意的 ，有 ，则称集 合 为向量空间 V n V ,V V ,VR V V 线性代数课件第03章 3.5.2 向量空间的基与维数 定义定义8 设 是向量空间，若向量组 满足 （1）线性无关； （2）中的任一向量都可由线性 表示，则称为向量空间的

14、一个基， 称为的维数，记为，并称是 维向量空间 只含一个零向量的集合 也是一个向量空 间，称为零空间，零空间没有基，规定它的维数 为 ，所以也可称为 维向量空间 V 12 , r V 12 , r V12 , r rdimVr 12 , r V VV r 0 0 0 线性代数课件第03章 例例 证明 是 的一个基 证证 由定义8及定理2的推论1知，只要证明 线性无关即可 将 写成矩阵 ，则 1234 (1,1,1,1) ,(1,3,1,0) ,(1,0,1,0) ,(1,0,0,1) 4 R 1234 , 1234 (,)A 1234 , 1111 1300 30 1110 1001 A 线性

15、代数课件第03章 由定理2的推论1知， 线性无关， 故 是 的一个基 1234 , 4 R 1234 , 线性代数课件第03章 3.1.1 维向量的定义 定义定义1 由 个数组成的有序数组 ， 称为一个 维向量，记为 ，即 其中 称为向量 的第 个分量（或 坐标） 维向量可以写成一行 ，称为 行向量，即 行矩阵；也可以写成一列 n 12 (,) n a aa 12 (,) n a aa i ai(1,2, )in n n 1 n 12 (,) n a aa 1 2 n a a a = 线性代数课件第03章 称为列向量，即 列矩阵 列向量通常用黑体小写字母 等表 示，行向量用其转置 等表示 分量全为零的向量，称为零向量，记作 即 . 向量 的各分量的相反数 所组成的向量，称为 的负向量，记为 ，即 设 维向量 ， 1n , , ,a b TTTT ,ab 0 T (0,0,0) 0 T 12 (,) n a aa T 12 (,) n aaa n T 12 ( ,) n b bb T 12 (,) n a aa 线性代数课件第03章 若 ，则称向量 与 相等， 记为，即 当且仅当 同维数的行向量或列向量所组成的集合称为 （行或列）向量组 ii ab(1,2, )in T