数学文第一轮第10章第56讲直线与平面垂直

1、 用定义或判定定理用定义或判定定理 证明线面垂直证明线面垂直 【例1】 如图，在四棱锥PABCD中， PA底面ABCD，ABAD， ACCD，ABC60， PAABBC，E是PC的中 点证明： (1)CDAE； (2)PD平面ABE； 【证明】(1)在四棱锥PABCD中，因为PA 底面ABCD，CD平面ABCD，故PACD. 又因为ACCD，PAACA，所以CD平 面PAC. 而AE平面PAC，所以CDAE. (2)由PAABBC，ABC60，得ABC 是等边三角形，故ACPA. 因为E是PC的中点，所以AEPC. 由(1)知，AECD，且PCCDC， 所以AE平面PCD. 而PD平面PCD，

2、所以AEPD. 又因为PA底面ABCD，所以PAAB. 由已知得ABAD，且PAADA，所以AB 平面PAD. 又PD平面PAD，所以ABPD. 因为ABAEA，所以PD平面ABE. 本题考查直线与直线垂直、直线与平面垂 直等基础知识，考查空间想象能力和推理论证 能力立体几何的证明关键是学会分析和掌握 一些常规的证明方法如：已知中点证明垂直 时要首先考虑等腰三角形中的“三线合一”； 已知线段或角度等数量关系较多时最好标示出 来，充分进行计算，从而发现蕴含的垂直等关 系；已知线面垂直时会有哪些结论，是选择线 线垂直还是选择面面垂直；要证明结论或要得 到哪个结论，就必须满足什么条件等 【变式练习1

3、】 如图，E，F分别为直角三角形ABC的直角 边AC和斜边AB的中点，沿EF将AEF折起 到A1EF的位置，连结A1B，A1C.求证： (1)EF平面A1EC； (2)AA1平面A1BC. 1 1111 1 1 11 111 1111 / / 1 2 . EFACAB EFBC ACBCEFECEFAE AECEEAEAECCEAEC EFAEC ACMEMEAC EMAAAECE EMACAAAC EFAECA AAECAAEF EFBC 因为 ， 分别为和的中点， 所以， 因为，所以， 又 ，平面，平面， 所以平面 取的中点，连结，又因为 为的中点， 所以， 所以，所以， 又因为平面，平面

4、，所以 【证明 ， 又 】 ，所以 1 111 . AABC ACBCCAAABC ， 又 ，所以平面 用线面垂直的性质用线面垂直的性质 定理证明线线垂直定理证明线线垂直 111 11 1 9 2 0 136 . ABCABCACB CBCACCMCC ABAM 已知在直三棱柱中， ，是的中点， 求证： 【例 】 【证明】如图，ACB90， 所以BCAC. 又在直三棱柱ABCA1B1C1 中，CC1平面ABC，所以BCCC1. 而ACCC1C， 所以BC平面AA1C1C， 所以BCAM. 连结A1C. 可以证明RtACMRtAA1C，所以AMA1C. 而A 1CBCC，所以AM平面A1BC，所

5、以 A1BAM. 证明线线垂直常构造一个 平面经过一条直线与另一条直 线垂直，从而达到由线面垂直 证明线线垂直的目的 11111 1 1 1 1 6 260 1 2 ? ABCDABC DAA ABCDABABCP BB D PAC ACBDO B P PB POD AC 【变式练 如图，直四棱柱中，侧棱， 底面是菱形， ， 为侧棱 上的动点 求证：； 设 ， 求当等于多少时， 平面 习2】 11 1 1 111 1111 . . . 1 . . ABCD ACBD B D D DABCD ACD D BDD DDACBB D D D PBB D DD PAC 证明： 因为为菱形， 所以 连结

6、 因为底面， 所以 又 ，所以平面 因为平所以 析 ， 】 面 【解 1 1 1 1 11 11 11 1. 602 3 63 22 36 2 90 2 B P POD AC PB DOABCD OACBD PAPCOAOCPOAC ABCAB ABCBODO D DOB D DBB DOBP D DOOBPDODPOB PODODOACO 当 时，平面 证明：连结，因为底面是菱形， 所以 是，的中点， 因为，所以， 又因为， ， 所以是等边三角形， 在矩形中，有， 所以，所以， 所以，又 ，所以 1 .POD AC 平面 通过计算证明线通过计算证明线 线垂直线垂直 【例3】 如 图 ， 在

7、正 方 体 A B C D A1B1C1D1中，E是BB1的中点， O是底面正方形ABCD的中 心求证：OE平面ACD1. 1111 1 1 22 11 22 1 22222 111111 1 111 1 . . . 6 2 3 2 3 2 . . AECEDOD BD E DBaAECE AOOCOEAC DB DODDDOa OEBEOBa D ED BB EaDOOED E DOOE DOACODOACACD OEACD 如图，连结， 设正方体的棱长为 易证 又因为，所以 在正方体中易求出： ， ， ，所以， 所以 因为 ，平面， 所以平面 【证明】 要证线面垂直可找线线垂 直，这是几何

8、中证明线面垂直 时常用的方法，在证明线线垂 直时，要注意从数量关系方面 找垂直，如利用勾股定理等 【变式练习3】 直棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD 是直角梯形，BADADC90， AB2AD2CD2.求证：AC平面 BB1C1C. 1111 11 1111 11 . 90 222 245 2. . . ABCDABC D BBABCDBBAC BADADCAB ADCD ACCAB BCBCAC BBBCBBBBCBBCC ACBBCC 直棱柱中， 平面，所以 又因为， ， 所以， 所以，所以 而 ，平面 所以平面 【证明】 1.有下列四个命题： 若一条直线垂直于一个平面内无数条

9、直线，则 这条直线与这个平面互相垂直； 若两条直线互相垂直，其中一条垂直于一个平 面，则另一条直线与该平面平行； 若两条直线同时垂直于同一个平面，则这两条 直线互相平行； 若一条直线和一个平面不垂直，则这个平面内 不存在与该条直线垂直的直线 其中错误的命题是_. 2.在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长 为2，M是AD1上任意一点，M到平面 BCB1的距离是_. 2 3.如图，在正方形SG1G2G3中， E，F分别是G1G2，G2G3的中 点，D是EF的中点，现沿SE， SF及EF把这个正方形折成 一个几何体，使G1，G2，G3三点重合于点G，这 样，下列五个结论：SG平面EFG；SD 平

10、面EFG；GF平面SEF；EF平面GSD； GD平面SEF.其中正确的是_. 5.如图，已知PA矩形ABCD所在平面，M、 N分别是AB、PC的中点 (1)求证：MNCD； (2)若PDA45， 求证：MN平面PCD. 【证明】(1)连结AC，取其 中点O，连结NO、MO，并 延长MO交CD于R. 因为N为PC的中点， 所以NO为PAC的中位线，所以NOPA. 而PA平面ABCD，所以NO平面ABCD，所 以NOCD. 又四边形ABCD是矩形，M为AB的中点，O为 AC的中点，所以MOCD. 而MONOO，所以CD平面MNO，所以 CDMN. (2)连结NR， 则NRMPDA45. 又O为MR的中点， 且NOMR， 所以MNR为等腰三角形且NRM NMR45， 所以MNR90，所以MNNR. 又MNCD，且NRCDR，所以 MN平面PCD. 1在线面垂直的定义中，一定要 弄清楚“任意”与“无数”这两