举一反三】四年级奥数 第6讲 巧妙求和(一)

1、第6讲 巧妙求和(一） 小学小学 四年级四年级 举一反三举一反三 认识一个老朋友 你还记得什么是数列吗？ 对于数列你知道些什么？ 能举个数列的例子吗？ 名称含义 数列数列按照一定顺序排列的一串数叫做数列 项项 数列中的每一个数称为一项。其中， 第一项称为首项首项，最后一项称为末项末项。 项数项数数列中数的个数称为项数 3，7，11，15，19，23，27，31。 2，4，6，8，10，40。 首项是？ 末项是？ 项数是？ 数列数列 名称含义 等差等差数列数列 从第二项开始，后项与其相邻的前 项之差都相等的数列称为等差数列 公差公差后项与前项的差称为公差 2，5，8，11，14，17，20 请你

2、写一个等差数列 首项是？ 末项是？ 项数是？ 公差是？ 等差数列等差数列 3，6，9，12，93，96 首项是_，末项是_ ，公差是_ ， 项数是_，第21项是_，总和是_。 3963 公式：第公式：第n n项项= =首项首项+ +（项数（项数1 1）公差公差 第21项=3+（211）3 =63 公式：项数公式：项数= =（末项首项）（末项首项）公差公差1 1 项数=（963）31 =32 32 公式：总和公式：总和= =（首项末项）（首项末项）项数项数2 2 总和=（3+96）322 =1584 631584 重要公式重要公式 名称含义 项数公式项数公式项数=（末项首项）公差1 通项公式通项

3、公式第n项=首项+（项数1）公差 求和公式求和公式总和=（首项末项）项数2 【例题1】 有一个数列：4，10，16，22.，52. 这个数列共有多少项？ 【思路导航】 容易看出这是一个等差数列，要求项数 首项是4，末项是52，公差是6 项数=（末项首项）公差1 =（524）61 =9（项） 即这个数列共有9项。 二、精讲精练 写出首项、末项、写出首项、末项、 公差公差 写明公式写明公式 将数据带入公式将数据带入公式 算出结果算出结果 答题格式答题格式 【举一反三1】 （1）有一个等差数列：2，5，8，11，101.这 个等差数列共有多少项？ 首项是2，末项是101，公差是3 项数=（末项首项）

4、公差1 =（1012）31 =34（项） 即这个数列共有34项。 【例题2】 有一等差数列：3，7，11，15， 这个等差数列的第100项是多少？ 【思路导航】 容易看出这是一个等差数列，求第100项。 首项是3，公差是4，项数是100。 根据“第n项首项（项数1）公差”， 第100项3（1001）4 399 【举一反三2】 首项是1，公差是3，项数是30。 根据“第n项首项（项数1）公差”， 第30项1（301）3 88 【例题3】有这样一个数列：1.2.3.4，99，100。请 求出这个数列所有项的和。 【思路导航】 如果我们把1，2，3，4，99，100与列100，99， 3，2，1相加

5、，则： 1 2 399100 100999821 (1100)(299)(398)(992)+(100+1)， 其中每个小括号内的两个数的和都是101。一共有100 个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除 以2.就是所求数列的和。 1+2+3+99+100 =（1+100）1002 =5050 上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等 差数列都可以用下面的公式求和： 等差数列总和等差数列总和= =（首项（首项+ +末项）末项）项数项数2 2 这个公式也叫做等差数列求和公式等差数列求和公式。 【举一反三3】计算下面各题。 （1）1+2+3+49+50 （1+50）502 127

6、5 【例题4】求等差数列2，4，6，48，50的和。 【思路导航】 这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。 总和总和= =（首项（首项+ +末项）末项）项数项数2 2 首项是2，末项是50，公差是2，项数是？ 要求这一数列的和，首先要求出项数是多少： 项数=（末项首项）公差+1 =（502）2+1 =25 【例题4】求等差数列2，4，6，48，50的和。 首项=2，末项=50，项数=25 总和（首项+末项）项数2 （2+50）252 650 【举一反三4】计算下面各题。 （1）5+10+15+20+195+200 总和（首项+末项）项数2 （5+200）402 4100 首项是5，末项是20

7、0，公差是5， 项数（末项首项）公差+1 （2005）5+1 40 【例题5】 如果一个等差数列的第4项为21，第6项为33，那么 它的第8项是多少？ 【思路导航】 第8项比第6项多2个公差， 第6项比第4项多2个公差， 所以332112相当于2个公差。 第8项等于第6项的数33加上2个公差。 第8项是33（3321）45。 【综合练习综合练习】 1、已知等差数列11，16，21，26，1001。 这个等差数列共有多少项？ 首项是11，末项是1001，公差是5 项数=（末项首项）公差1 =（100111）51 =199（项） 即这个数列共有199项。 2、已知等差数列的首项是11，末项是101， 总和是504，这个数列共有多少项？ 项数（末项首项）公差1 总和（首项+末项）项数2 ？ 3、求9+18+27+36+261+270的和。 总和（首项+末项）项数2 （9+270）302 4185 首项是9，末项是270，公差是9， 项数（末项首项）公差+1 （2709）9+1 30 4、如果一