2整体思想在解二元一次方程组中的应用

1、整体思想在解二元一次方程组中的应用求解一元二次方程时，用代入消元法或是加减消元法，将二元消元为一元。 在运用消元法时，对于有些问题，不是从局部着手，而是从大处着眼，从整体上 观察，探求解题途径， 这种数学思想方法叫整体探求思想， 在二元一次方程组 中，体现这种思想方法的地方很多在平常遇到方程组求解时，先从全局观察， 再动手求解，可以在一定程度上训练我们“大处着眼，小处着手”的战略眼光，对 今后高中数学学习，以至工作中都会有所帮助2x y 5,例1已知x、y满足方程组y 则x y的值为.x 2y 4,分析：观察题目特点， 我们发现可以把原来的两个方程相减， 就能够得到所要求的结果 解：把原来的两

2、个方程相减得： x y 1，故，答案应该填写 1点评：本题是把 x y 作为一个整体来处理，解答起来要比解这个方程组，求出x、 y 的值，再带入 x y 计算求值省时，快速，简便例 2 解方程组3x 2y 8,6x 9y 21.分析 此题应抓住6x是3x的2倍，利用方程的3x=8-2y,从而整体代入方程 ，经 消元求解，使解法简洁 .解 由 ，得 3x=8-2y.把 代入 ，得 2（8-2y）+9y=21.y=1.把 y=1 代入 ，得 3x=8-2. x=2, x 2, y 1.练习： 1.解方程组3x 5y 214x 15y 53x2 原方程组的解是y32.解方程组 5x 6y 13，7x

3、+18y 1. x 6所以原方程组的解为21x例3解方程组37x37y21y327,311.分析 此题数字较大，直接运用代入法或加减法，都会遇到复杂的计算，且容易出错 仔细观察各未知数的系数，第一个方程组的 数，故可采用整体相加减，使系数绝对值变小，解 +，得 58x+58y=638.即 x+y=11. -，得 16x-16y=-16，即 x-y=-1. +，-，得 2x=10, 得 2y=12, x=5.y=6.5,6.例4解方程组x, y的系数，刚好是第二个方程中y和x的系得到一个新的简易的方程x y23(x y) x7,7.分析：本题直接解方程组比较复杂，观察方程组中方程的特点， 如果把

4、 乙卫,看23成整体，先求出它们的值，计算量会较小，也不容易出错。为此，我们先把方程变得简单.设 J=A，2x y=B，则原方程组化为3AB7，解得 A 5,B 17. B 2.3Ax y 即2x y35,，整理,2.练习：1.解方程组8x4x10解得x6. y8,2.7y5y分析：方程组中x、y的系数和相等，可以把两式相加减解：+ 得12x+12y=24，即x+y=2-得4x+2y=2，即2x+y=1-得x=-1，把x=-1代入得y=31311x2原方程组的解是2解方程组2012x2013x2013y 2013?,2012y2012?.分析:两方程中未知数的系数较大，若采用通常的消元法计算量

5、很大，观察方程组的形 式，可发现系数有轮换、对称的特点，且和相等，因此可采用整体相加或相减的办法，化简 系数，寻找隐含的x、y的关系解:+，化简得:x + y = 1，-，化简得：x -y = -1，+，化简得：x=0，把x=0代入得y=1.所以原方程组的解为y 1.3已知方程组6x2x8y 33 , y 6.8y则x+y的值等于分析：本题可用 代入法或加减法求得x、y的值，但细心观察 疋+，可发现x、y 上的系数相同因此可不求x、y的值而利用整体思想直接解得x+y的值解：X2+，得10x+10y=45,所以 x+y=4.5.3 x y4解方程组x y分析：从形式上看这个方程组比较复杂，应先将

6、每一个方程都进行化简，化成二元一 次方程组的一般形式，然后再选择代入法或加减法。但是通过观察可以发现，两个未知数出现的形式只有（x+y）和（x-y）两种，可以把它们分别看成一个整体，禾U用换元法解。解：设 a=x+y,b=x-y3a 4b 15a 原方程化为a b 解得 35xxv 所以3,解得43135解方程组2(x4(xy) 3(x y) 3 y) 3x 15 3yx y 1y分析：方程组中的系数成整数倍，可以通过变形构造出x-y,且x-y的系数互为相反数，可以把两式相互加减解：由得 4 （x+y） +3（x-y） =15，+得x+y=3，把代入，得x-y=1+得x=2，-得y=1原方程组

7、的解是例5如果关于m、n的二兀一次方程组（I ）16的解是m7,2m bn15n1.请你用合理的方法求关于 x, y的二元一次方程组（n）3(xy)a(xy)16的解.2(xy)b(xy)15分析 通过观察后发现方程组（I ）和（n）中对应的系数分别相等，若把(n）中的x+y和x-y分别看成整体，可知x+y和x-y的值分别与 m, n的值相等，从而求得方程组的解 解 把方程组（n ）中的x+y和x-y分别看成整体，根据方程组（I的解是m7,可得x y7,n1.x y1x 4,y 33x 7y z 3，例6已知方程组4x 10y z 4 .求x+y+z的值.分析：本题是一个三元一次方程组，依据条

8、件不能分别求出x、y、z的值，因此可探究方程中每项未知数系数的特点，从整体上考虑解决的办法9x 21y 3z 9 , 解:X3,X2,得2x 20y 2z 8 .-得x + y + z = 1 .练习1.已知5x+4y=9，且3x+8y=11.求代数式2x+3y的值；2.已知 a-2b=5，求 15 3a+6b 的值.分析：1.中两个方程没有联立方程组，不易观察，可联立方程组利用整体思想探寻特征 巧妙解题.2.中可对所求代数式进行变形，整体代入.解:1.联立方程组，得5x 4y 9 ,3x 8y 11 .+，得8x+12y=20 化简得2x+3y=5. 故代数式2x+3y的值为5.2.原式=1

9、5-(3 a-6b)=15-3( a-2 b)， 由 a-2b=5,所以原式=15-3 X5=0.x 2y3.如果 2x+3y+z=130, 3x+5y+z=180，求 x y z 的值解：将x+2y、x+y+z看作整体，已知条件变形为(x 2y) (x y z) 1302(x 2y) (x y z) 180一口 x 2y 50 解得yx y z 80x 2y 5则 x y z = 8例7 有A、B两种型号的U盘，其中2个A型U盘与3个B型U盘最多可存储60GB 的信息，5个A型U盘与6个B型U盘最多可存储150GB的信息，求3个A型U盘与5 个B型U盘最多可存储多少 GB的信息？分析：本题可

10、根据题意设未知数列方程组，在解方程组的过程中发现解决问题的办法.解：设1个A型U盘最多可存储xGB的信息，1个B型U盘最多可存储yGB的信息，2x3y60,根据题意得y，5x6y150. X7-，得 9x+15y=270, 化简得3x+5y =90.故3个A型U盘与5个B型U盘最多可存储90GB的信息.例8有甲、乙、丙三种货物，若买甲5件，乙2件，丙4件，一共需80元；若买甲3件，乙6件，丙4件，一共需144元，现在需购买甲、乙、丙各一件共需多少元？分析：本题可根据题意设未知数列三元一次方程组，但由题中条件只能找到两种等量关系，因此不可能一一求得三个未知数的值，需考虑整体代入探求结果解：设购买

11、一件甲需x元，一件乙需y元，一件需丙z元，根据题意得5x 2y 4z 80，3x 6y 4z 144 .+，得8x+8y+8z=224，所以 x+y+z=28.故购买甲、乙、丙各一件共需28元.练习：1.有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件、乙2件，丙1件共需315元钱，购甲1件、乙2件、丙3件共需285元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需 元钱.分析：我们可以通过设元，构建三元一次方程组来解答设购买甲、乙、丙三种商品分 别需要x元、y元和z元，要想求出购甲、乙、丙三种商品各一件共需多少元钱，我们可以 运用整体的思想求出 x+y+z的值就可以得到正确答案.解：设购买甲、乙、丙三种商品分别需要x元、y元和z元，那么，根据题意，可以得到：3x+2y+z=315x+2y+3z=285，解得：x+y+z=150.因此，可以填写答案是150元.2.有这样一个问题：今有四数，取其三个而相加，其和分别为22, 22, 26和20,求此四数各几何？部分学生读不懂题意，但大部分学生是列出了方程组，却不知该如何求解.如果能灵活运用整体思想，此题便能轻松求解解 若设此四数分别为 a, b, c, d,则根据题意可列出方程组abc22,abd22,acd26,bcd20. + + + ，得 3(a+b+c+d)=90.二 a+b+c+d=30.