利用极限的基本性质和运算法则PPT学习教案

1、会计学1 利用极限的基本性质和运算法则利用极限的基本性质和运算法则 例例4 x x xx )(lim 2 11 1 例例5 1 1 1 1 1 11 xx x x)(lim 1 1 1 2 lim x x x 原式原式= x x x x )(lim 2 1 1 x x x x x x x 1 1 2 2 1 1)(lim 1 1 1 1 1 11 xx x x)(lim 2 1 e x x x x x x x 1 1 2 2 1 1 )(lim e 第1页/共20页 例例6 12 2 1 2 2 1 2 1 )( )(lim x x x 2 ) 1 1 (lim 2 2 x x x x 例例7

2、 ) sin sin sin (lim x x x x x x 1 2 0 x xx x x sin sin lim 1 2 0 例例8 n n n x 2 sin2lim n n n x 2 1 2 sin lim xx x x n n n 2 2 sin lim ) sin sin sin (lim x x x x x x 1 2 0 1 有界变量与无穷小量的有界变量与无穷小量的 乘积是无穷小量乘积是无穷小量 2 e 为有限值）为有限值） x （ 第2页/共20页 3.利用适当的函数变换利用适当的函数变换 )( )( lim 11 1111 22 22 0 xxxx xxxx x 2 2

3、0 11 lim xx xx x 例例9 )( lim 11 22 2 0 xxxx xx x 2 1 第3页/共20页 例例10 1 1 lim 3 1 x x x )( )( lim 11 11 332 3323 1 xxx xxx x 3 1 第4页/共20页 例例11 x xf x 2 2 2 0 )( lim 2 )3( lim 0 xf x x 已知已知 x xf x )2( lim 0 求求 2 3 1 )3 ( 3 lim 0 xf x x 因为因为 6 )3( 3 lim 0 xf x x 所以所以 即即 6 )( lim 0 tf t t x xf x )2( lim 0

4、3 1 6 1 2 第5页/共20页 4.利用极限存在准则利用极限存在准则 例例12 设设 )( 2 1 1 n nn x a xx n n x lim 求求 0,0 0 xa 其中其中 )( 2 1 1 n nn x a xx )1 ( 2 1 2 1 n n n x a x x nn xx 1 解解 又又 n x 单调减少单调减少,且有下界且有下界, n x 有极限有极限 a x a x n n 1)1( 2 1 a a 第6页/共20页 al al 2 )( 2 1 l a ll 设极限为设极限为 , l 即即 axn n lim 即即 5.等价无穷小代换等价无穷小代换 limlim)(

5、xxx或 0 1 x e xxsin xarctan )1ln(x 记住一些常用的等价无穷小记住一些常用的等价无穷小 axln 1 x a 11 x 2 x 第7页/共20页 xxe xx sin sin 1 3 2 1 xxxsintan xcos1 2 2 1 x 例例13 1lim sin 0 x x e xx ee xx xsin lim sin 0 xx e e xx x x sin )( lim sin sin 1 0 xx xxe x xsin )sin( lim sin 0 1 1 0 x e x x lim 第8页/共20页 xx)ln(1 由由 2222 1xexe xx

6、)ln( xexe xx22 1sin)sinln( 得得 例例14 xex xex x x x 2)ln( )ln(sin lim 22 2 0 )1ln( )1sinln( lim 22 2 0 xe xe x x x 1 sin lim 22 2 0 xe xe x x x xxee xxee xx xx x 2) 1(ln ) 1sin(ln lim 222 2 0 第9页/共20页 例例15 6ln3ln2ln x xx x 232 lim 0 ) 3ln2ln (lim 0 x x x x x 例例16 2 1 2 1 2 0 x xx x )( lim )ln( lim x xx

7、 x 1 11 2 0 a x a x x lnlim 1 0 ) 1312 (lim 0 xx xx x 第10页/共20页 6.左右极限左右极限 Axf xx )(lim 0 Axfxf xxxx )(lim)(lim 00 例例17 1 1 2 4 1 0 x x e e x x x sin lim x x e e x x x sin 1 2 lim 4 1 0 第11页/共20页 112 sin 1 2 lim 4 1 0 x x e e x x x 1 sin 1 2 lim 4 1 0 x x e e x x x 例例18设设 0 0)cos1 ( 2 )( 32 xxx xx x

8、f 求求 2 0 )( lim x xf x 第12页/共20页 2 0 )( lim x xf x 2 0 )cos1 ( 2 lim x x x 1 2 1 cos1 lim 2 0 x x x 1lim )( lim 2 32 0 2 0 x xx x xf xx 1 )( lim 2 0 x xf x 7.根据极限求参数根据极限求参数 例例19 设 l x xaxx x 1 4 lim 23 1 求求 la, 解 0)1(lim 1 x x 而 是常数 l 第13页/共20页 0) 4(lim 23 1 xaxx x 即 4a, 0411a 1 44 lim 23 1 x xxx x

9、10)4)(1(lim 1 xx x 1 ) 4)(1( lim 2 1 x xx x 1 ) 1( 4) 1( lim 22 1 x xxx x 10, 4la 例例20已知 2 2 lim 2 2 2 xx baxx x ba, 求 之值 解 2 2 lim 2 2 2 xx baxx x 0)(lim 2 2 baxx x 而 0) 2(lim 2 2 xx x 即 024baab24 即 2 24 lim 2 2 2 xx aaxx x 2 ) 2)(2( lim 2 2 xx axx x 第14页/共20页 3 3 4 1 2 lim 2 a x ax x 8, 2ba 对于极限是否

10、存在对于极限是否存在,有下面的结论有下面的结论: (2)对于函数来说对于函数来说: )( 00 xxxx nn 的充要条件是对于任一列的充要条件是对于任一列 axf n n )(lim 都有都有 是其任意子列都收敛是其任意子列都收敛, axf xx )(lim 0 1) 且都收敛于同一极限且都收敛于同一极限 (1)对于数列来讲对于数列来讲, 一个数列收敛的充要条件一个数列收敛的充要条件 第15页/共20页 n x 的充要条件是对于任一列的充要条件是对于任一列 )(lim n n xf 都有都有 axf x )(lim 2) 3) 对于单侧极限也有类似的结论对于单侧极限也有类似的结论 上述极限性

11、质常用于判别极限不存在上述极限性质常用于判别极限不存在 1）对于数列来讲，）对于数列来讲， 则原数列极限不存在。则原数列极限不存在。 但极限值不等，但极限值不等， 若有两个子列均收敛，若有两个子列均收敛， 第16页/共20页 则函数极限不存在。则函数极限不存在。 3）上述性质也可用于判断极限不是无穷大）上述性质也可用于判断极限不是无穷大 例例21 xxycos 但当但当 时时 x 2）对于函数来说，）对于函数来说， 若有两个数列均收敛于若有两个数列均收敛于x0 （但每一项（但每一项 都不等于都不等于x0 ） （或趋于（或趋于 ），）， 但其函数列不收敛或极限不相等，但其函数列不收敛或极限不相等， 证明函数证明函数 ),( 在在 上无界，上无界， 这函数也不是无穷大这函数也不是无穷大 第17页/共20页 证：证： nun2 nuy n 2)( xxycos 这说明这说明 在在 上无界上无界 ),( 0)( n xy 而而 , 2 2 nxn 取取 n xn, 又当又当 而而 0)( n xy 这说明这说明 不是无穷大量不是无穷大量 xxycos 第18页/共20页 例例22 证明证明 x x 1 sinlim 0 不存在不存在 证证 取取 2 2 1 ) 1 ( n xn 则则 1