生态数学模型

1、生态数学模型生态数学模型 2 单种群模型单种群模型 3 4 ),()( ),()( 222120 121110 yxgyaxaay dt dy yxfyaxaax dt dx 以两种群为例：以两种群为例： A、弱肉强食；、弱肉强食；B、相互依存；、相互依存；C、相互竞争、相互竞争 Lotka-Volterra 模型：模型： 多种群模型多种群模型 5 0),( 0),( yxg yxf 令令 最多四个平衡点最多四个平衡点 *)*,(), 0(),0,(),0, 0( 3 22 20 2 11 10 1 yxA a a A a a AO 6 一、捕食者一、捕食者(Predator)食饵食饵(Pre

2、y)系统系统 平衡点：平衡点： )0 , 0(O (,) c a P d b ( , , ,0) xaxbxy a b c d ycydxy (1) 7 1、数值解、数值解 0 0 (0) (0) xx yy ( , , ,0) xaxbxy a b c d ycydxy 用用matlab软件编程，可得软件编程，可得x(t), y(t)及相轨线及相轨线y(x) 。可。可 以猜测，以猜测， x(t), y(t)是周期函数，相应地，是周期函数，相应地， y(x)是闭曲是闭曲 线。线。 8 (1) 用一阶近似方程讨论平衡点的稳定性用一阶近似方程讨论平衡点的稳定性 , , xy xy fabyfbx

3、gdygcdx 在原点在原点(0,0)附近的一阶近似方程为：附近的一阶近似方程为： xax ycy 特征根为特征根为a和和 c, 所以原点是鞍点所以原点是鞍点, 不稳定不稳定. 2、平衡点及相轨线、平衡点及相轨线 9 特征根为特征根为 i ac P 点的稳定性不能由其一阶近似方程判定，所以点的稳定性不能由其一阶近似方程判定，所以 直接讨论原方程。直接讨论原方程。 bc xy d ad yx b 在在 点附近的一阶近似方程为：点附近的一阶近似方程为：(,) c a P d b 10 相平面上的轨线满足微分方程：相平面上的轨线满足微分方程： () () dyycdx dxx aby (2) aby

4、cdx y ex ek (k是常数是常数 ) (2) 相轨线相轨线 11 ( ) aby yy e ( ) cdx xx e 记记 1 ( )() cdx xcdx xe ( ) x c xx d M 是是的的极极大大 值值点点，极极大大值值记记为为 O x )(x c d x M 2 x 1 x 1 ( )() abx yaby ye ( ) y a yy b M 是是的的极极大大 值值点点，极极大大值值记记为为 O y )(y a b y M 2 y 1 y 12 当当x，y在第一象限时，有在第一象限时，有 yx MxMx )(0,)(0 根据根据k值考察相轨线的形状：值考察相轨线的形状：

5、 )0(,)()( yx MMkkyx 1) 0k 时时 2 xy kM M ) )时时 此时轨线退化为一点，即平衡点。此时轨线退化为一点，即平衡点。 00 yx或或 , ca xy db 13 30 xy kM M) )时时 )0()()( xy MMyx O x y 1 x c d a b 2 x 2 S 1 S 4 S 3 S 2 y 1 y x )0( xy MMk ，设设 14 15 O x y P k 减小减小 1 S 2 S 3 S 4 S () () xx aby yycdx 0, 0: 1 yxS 0, 0: 2 yxS 0, 0: 3 yxS 0, 0: 4 yxS 16

6、00 11 ( )d ,( )d TT xx ttyy tt TT ()yycdx 1 () y xc yd 0 1 ()d T y xct dTy c d 0 1 ln ( ) T cTy t dT 同理可得：同理可得： a y b ca xy db 即：即： 17 引入捕鱼影响，模型变为：引入捕鱼影响，模型变为： ()() ()() xx abyxxaby yycdxyycdx ca xy db 说明捕捞量增大对食饵有利。说明捕捞量增大对食饵有利。 18 模型的延伸应用模型的延伸应用: 杀虫济的影响杀虫济的影响 模型的局限性模型的局限性 : 多数多数p-p系统无周期震荡系统无周期震荡, 而

7、是趋于某稳定的平衡点而是趋于某稳定的平衡点. 呈周期变化的生态系统应该是结构稳定的呈周期变化的生态系统应该是结构稳定的. 极限环极限环 1 2 ()() ()() xxk xabyxx aby yycdxyydxkcy 19 10111211 12 20212222 12 ()(1) ()(1) dxxy x aa xa yr x dtNN dyxy y aa xa yr y dtNN 平衡点平衡点 )0 ,( 11 NP), 0( 22 NP ) 1 )1( , 1 )1( ( 21 22 21 11 3 NN P )0 , 0(O 二二、竞争模型、竞争模型 r1, r2: 固有增长率固有增

8、长率; N1, N2:饱和量饱和量; 1, 2:竞争力竞争力 20 yx yx gg ff A ) 2 1( ) 2 1( 21 2 2 1 22 2 11 2 1 1 1 N y N x r N yr N xr N y N x r i Pyx gfp| )( i P Aq|det 21 21 2 2 1 1 1),( 1),( N y N x yx N y N x yx 记记 22 O x y 1 N 21 N 12 N 2 N 2 S 1 S 3 S 0 0 稳定稳定 1 21 1, 1)1( P 1 P 23 O x y 1 N 21 N 12 N 2 N 2 S 1 S 3 S 0 0

9、 稳定稳定 1 21 1, 1)1( P 1 P 分析：分析：0, 0: 1 yxS 0, 0: 2 yxS 0, 0: 3 yxS 24 1 )1()( 2 1 1 11 tt N y N x xr dt d tx 0)()( 1 2 1 11 ty N txr 25 O x y 1 N 21 N 12 N 2 N 2 S 1 S 3 S 0 0 稳定稳定 2 21 1, 1)2( P 2 P 26 分析：分析：0, 0: 1 yxS 0, 0: 2 yxS 0, 0: 3 yxS O x y 1 N 21 N 12 N 2 N 2 S 1 S 3 S 0 0 稳定稳定 2 21 1, 1)

10、2( P 2 P 27 O x y 1 N 21 N 12 N 2 N 2 S1 S 3 S 0 0 稳稳定定 3 21 1, 1)3( P 3 P 4 S 28 分析：分析： 0, 0: 1 yxS 0, 0: 2 yxS 0, 0: 3 yxS O x y 1 N 21 N 12 N 2 N 2 S1 S 3 S 0 0 稳稳定定 3 21 1, 1)3( P 3 P 4 S 0, 0: 4 yxS 29 O x y 1 N 21 N 12 N 2 N 2 S1 S 3 S 0 0 不稳定不稳定 3 21 1, 1)4( P 3 P 4 S 1 P 2 P 30 分析：分析：0, 0: 1

11、 yxS 0, 0: 2 yxS 0, 0: 3 yxS 0, 0: 4 yxS O x y 1 N 21 N 12 N 2 N 2 S1 S 3 S 0 0 不不稳稳定定 3 21 1, 1)4( P 3 P 4 S 1 P 2 P 31 B、相互依存、相互依存模型模型 )1( )1( 21 22 2 1 1 1 N y N x yry N y N x xrx 32 ,1),( 2 1 1 N y N x yx 记记 平衡点平衡点 )0 ,( 11 NP), 0( 22 NP ) 1 )1( , 1 )1( ( 21 22 21 11 3 NN P )0 , 0(O 21 2 1),( N y N x yx 33 稳稳定定 32121 , 1, 1, 1)1(P O x y 1 N 21 N 2 S 1 S 3 S 0 0 3 P 4 S 1 P 0, 0: 1 yxS 0, 0: 2 yxS 0, 0: 3 yxS 0, 0: 4 yxS 34 不不稳稳定定局局部部稳稳定定， 312121 , 1, 1, 1)2(PP O x y 1 N 21