广义积分的判别法[优选课堂]

1、1简易辅导 二、无界函数反常积分的审敛法二、无界函数反常积分的审敛法 第一讲 反常积分反常积分 无穷限的反常积分无穷限的反常积分 无界函数的反常积分无界函数的反常积分 一、无穷限反常积分的审敛法一、无穷限反常积分的审敛法 反常积分的审敛法 函数 2简易辅导 定义定义1. 设设 , ),)(aCxf ,ab 取若若 xxf b a b d)(lim 存在存在 , 则称此极限为则称此极限为 f (x) 的无穷限的无穷限广义积分广义积分, 记作记作 xxfxxf b a b a d)(limd)( 这时称广义积分这时称广义积分xxf a d)( 收敛收敛 ;如果上述极限不存在如果上述极限不存在, 就

2、称广义积分就称广义积分xxf a d)( 发散发散 . 一、无穷限广义积分一、无穷限广义积分 注：注：f(x)非负，上述积分几何意义是开口曲边梯形的面积非负，上述积分几何意义是开口曲边梯形的面积 3简易辅导 ,)()(的原函数是若xfxF引入记号引入记号 ;)(lim)(xFF x )(lim)(xFF x 则有类似则有类似N L公式的计算表达式公式的计算表达式 : xxf a d)( )(xF a )()(aFF xxf b d)( )(xF b )()(FbF xxfd)( )(xF )()(FF 2. 无穷限广义积分的计算无穷限广义积分的计算 xxfxxf b a b a d)(limd

3、)( 4简易辅导 一、无穷限反常积分的审敛法一、无穷限反常积分的审敛法 定理定理1.,0)(, ),)(xfaCxf且设若函数若函数 x a ttfxFd)()( .d)(收敛则反常积分 a xxf,),上有上界在a 证证:,0)(xf,),)(上单调递增有上界在axF 根据极限收敛准则知根据极限收敛准则知 x a xx ttfxFd)(lim)(lim 存在存在 , .d)(收敛即反常积分 a xxf 5简易辅导 定理定理2 . (比较审敛原理比较审敛原理) , ),)(aCxf设 有分大的x 且对充且对充 )()(0 xgxf, 则则 收敛xxg a d)( 收敛xxf a d)( 发散x

4、xf a d)( 发散xxg a d)( 证证: 不失一般性不失一般性 ,),时设 ax)()(0 xgxf ,d)(收敛若xxg a 有则对at xxf t a d)( xxg t a d)( xxg a d)( 的是故txxf t a d)( 因此因此 单调递增有上界函数单调递增有上界函数 , 6简易辅导 xxfxxf a t a t d)(d)(lim .d)(收敛即反常积分xxf a ,d)(发散若xxf a 时有因为at xxgxxf t a t a d)(d)(0 ,t令.)(必发散可见反常积分xdxg a 说明说明: 已知已知 x x a p d 1 1,p收敛 1,p发散 )0

5、( a ,)0()(作比较函数故常取A x A xg p 得下列比较审敛法得下列比较审敛法. 极限存在极限存在 , 7简易辅导 定理定理3. (比较审敛法比较审敛法 1) ),)(aCxf设非负函数 ,0) 1M若存在常数 有使对充分大的 x p x M xf)( ;d)(收敛则xxf a ,0)2N若存在常数有使对充分大的 x p x N xf)( .d)(发散则xxf a , 1p , 1p . )0( a 8简易辅导 例例1. 判别反常积分判别反常积分x x x d 1 sin 1 34 2 解解: 的敛散性的敛散性 . 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 34

6、2 1 sin 0 x x 34 1 x 3 4 1 x 由比较审敛法由比较审敛法 1 可知原积分收敛可知原积分收敛 . 思考题思考题: 讨论反常积分讨论反常积分 x x d 1 1 1 33 的敛散性的敛散性 . 提示提示: 当当 x1 时时, 利用利用 1 1 ) 1( 1 1 1 3 333 x xx 可知原积分发散可知原积分发散 . 9简易辅导 定理定理4. (极限审敛法极限审敛法1) 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ,0)(, ),)(xfaCxf且若 ;d)(收敛时xxf a .d)(发散时xxf a lp0, 1 lp0, 1 lxfx p x )(l

7、im 则有则有: 1) 当当 2) 当当 证证: ,1时当p根据极限定义根据极限定义 , 对取定的 对取定的,0当当 x 充充 分大时分大时, 必有必有 lxfx p )( , 即即 p x M xf)(0)(lM ;d)(收敛可见xxf a 满足满足 10简易辅导 当 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 .d)(发散可见xxf a ,1时p可取可取,0 必有必有 lxfx p )( 即即 p x l xf )()(lN x N ,0l使时用任意正l ( , )lN 代替数 p x x p x xf xfx 1 )( lim)(lim 注意注意: 此极限的大小刻画了此极

8、限的大小刻画了 .0)(的快慢程度趋于时xfx 11简易辅导 例例2. 判别反常积分判别反常积分 12 1 d xx x 的敛散性的敛散性 . 解解: 2 2 1 1 lim xx x x 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1 1 lim 2 1 x x 1 根据极限审敛法根据极限审敛法 1 , 该积分收敛该积分收敛 . 例例3. 判别反常积分判别反常积分x x x d 1 1 2 2 3 的敛散性的敛散性 . 解解: 2 1 lim 2 3 2 1 x x x x 2 2 1 lim x x x 1 根据极限审敛法根据极限审敛法 1 , 该积分发散该积分发散 . 1

9、2简易辅导 定理定理5. 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ,d, ),)(收敛）（且若 a xxfaCxf .d)(收敛则反常积分 a xxf 证：证：, )()()( 2 1 xfxfx令则则)()(0 xfx ,d 收敛）（ a xxf,d)(也收敛 a xx )()(2)(xfxxf xxfxxxxf aaa d)(d)(2d)( 而而 .d)(收敛可见反常积分xxf a 13简易辅导 定义. 设反常积分 ,d)(收敛xxf a xxf a d)( ,d)(收敛若 a xxf 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 则称则称绝对收敛绝对收敛

10、 ; xxf a d)( ,d)(发散若 a xxf则称则称条件收敛条件收敛 . 例例4. 判断反常积分判断反常积分)0,(dsin 0 abaxbxe xa 为常数 的敛散性的敛散性 . 解解:,sin xaxa exbe 因,d 0 收敛而xe xa 根据比根据比 较审敛原理知较审敛原理知 ,dsin收敛 a xa xbxe故由定理故由定理5知所知所 给积分收敛给积分收敛 (绝对收敛绝对收敛) . 14简易辅导 (2013) 15简易辅导 无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分. 二、无界函数反常积分的审敛法二、无界函数反常积分的审敛法 ,)(

11、, ,()(的瑕点为设xfabaCxf 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 由定义由定义 b a b a xxfxxf d)(limd)( 0 则有令, 1 t ax 例如例如 1 1 2 0 d ) 1 (limd)( abt t t afxxf b a abt t t af 1 2 d ) 1 ( 因此无穷限反常积分的审敛法完全可平移到无界函数因此无穷限反常积分的审敛法完全可平移到无界函数 的反常积分中来的反常积分中来 . 16简易辅导 定理定理6. (比较审敛法比较审敛法 2) 定理定理3 3 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 为设非负函数abaC

12、xf, ,)( ,0) 1M若存在常数 q ax M xf )( )( ;d)(收敛则xxf b a ,0)2N若存在常数 q ax N xf )( )( .d)(发散则xxf b a , 1q 瑕点瑕点 , 有有 有有 利用利用 x ax b a q d )( 1 1,q收敛 1,q发散 有类似定理有类似定理 3 与定理与定理 4 的如下审敛法的如下审敛法. 使对一切充分接近使对一切充分接近 a 的的 x ( x a) . 1q 17简易辅导 定理定理7. (极限审敛法极限审敛法2) 定理定理4 4 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ，且若0)(, ,()(xfbaCxf ;

13、d)(,收敛时xxf b a .d)(,发散时xxf b a lq0, 10 lq0, 1 lxfax q ax )()(lim 则有则有: 1) 当当 2) 当当 例例5. 判别反常积分判别反常积分. ln d 3 1 的敛散性 x x 解解:,1为瑕点此处x 利用洛必达法则得利用洛必达法则得 x x xln 1 ) 1(lim 1 x x 1 1 1 lim 1 根据极限审敛法根据极限审敛法2 , 所给积分发散所给积分发散 . 18简易辅导 例例6. 判定椭圆积分判定椭圆积分 定理定理4 4 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ) 1( )1)(1 ( d 2 1 0222

14、k xkx x 散性散性 . 解解:,1为瑕点此处x由于由于 1 lim x 的敛的敛 2 1 )1 (x )1)(1 ( 1 222 xkx )1)(1 ( 1 lim 22 1xkxx )1 (2 1 2 k 根据极限审敛法根据极限审敛法 2 , 椭圆积分收敛椭圆积分收敛 . 19简易辅导 类似定理类似定理5, 有下列结论有下列结论: ,)(d)( b a axxf收敛为瑕点若反常积分 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ,d)( b a xxf收敛称为绝对收敛称为绝对收敛 . 则反常积分则反常积分 20简易辅导 三、三、 函数函数 1. 定义定义 :函数 机动机动

15、 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 下面证明这个特殊函数在下面证明这个特殊函数在 0s内收敛内收敛 . 1 1 2 1 0 1 1 d,dxexIxexI xsxs .) 1 1 I讨论 )0(d)( 0 1 sxexs xs 令令 ;,1 1 是定积分时当Is ,10时当 s xs xs ex ex 11 1 1 s x 1 1 , 11s而.2 1收敛 知根据比较审敛法I )(的反常积分含参变量 s 21简易辅导 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 )( 1xs ex x s x e x 1 lim .)2 2 I讨论 2 lim x x 0 1 1

16、 2 d xexI xs .1 2 收敛知根据极限审敛法I 综上所述综上所述 , 21 )(IIs.0上收敛在s 22简易辅导 2. 性质 (1) 递推公式递推公式 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证证: 0 d) 1(xexs xs )0()() 1(ssss (分部积分分部积分) 0 d xs ex 0 1 d 0 xexsex xsxs )(ss 注意到注意到: 0 d) 1 (xe x 1 有,N n )() 1(nnn) 1() 1(nnn ) 1 (!n!n 23简易辅导 (2) 得令, 2 ux 的其他形式)(s )0(d)( 0 1 sxexs xs )0(d2)( 0 12 2 suues su ,12ts再令 , 2 1 t s 即