概率论--连续型随机变量及其概率密度[优选课堂]

1、第二节第二节 连续型随机变量及其概连续型随机变量及其概 率密度率密度 1简易辅导 n连续型随机变量连续型随机变量 取值是某个区间或整个实数集；取值是某个区间或整个实数集； 取值不能一一列出；取值不能一一列出； 对于这种变量，我们关心的是它的取值落对于这种变量，我们关心的是它的取值落 在某个区间的概率。在某个区间的概率。 n离散型随机变量离散型随机变量 取值是有限个或可列个，可一一列出；取值是有限个或可列个，可一一列出； 变量的每一个可能取值都能计算出概率。变量的每一个可能取值都能计算出概率。 2简易辅导 随机变量的分布函数随机变量的分布函数 设设X X为一随机变量为一随机变量, ,则对任意实数

2、则对任意实数x x，(Xx)(Xx) 是一个随机事件，称是一个随机事件，称 为为分布函数分布函数 定义域定义域为为（，）；）；值域值域为为 ，。，。 F(x)F(x)是一个是一个 普通的函数普通的函数！ Distribution Function n 分布函数的定义分布函数的定义 ( )()F xP Xx 3简易辅导 分布函数表示事件的概率分布函数表示事件的概率 n P（Xb）=F(b) n P（aXb）=F(b) F(a) n P（Xb）=1 P（Xb） =1 - F(b) P（aXb）=P(X b)-P(Xa)= F(b)- F(a) 4简易辅导 一般地，对离散型随机变量 XPX= xkp

3、k, k1, 2, 其分布函数为 例例1 设随机变量X具分布律如右表 解解 )(xF x0 1 12 X012 P0.1 0.60.3 试求出X的分布函数。 ( ) i i xx F xP Xxp ( )F xP Xx 0,0 0.1,01 0.7,12 1,2 x x x x 5简易辅导 分布函数的性质分布函数的性质 n F(x)是单调非减函数是单调非减函数 n 0 F(x) 1, 且且 ()lim( )0,()lim( ) 1 xx FF xFF x 12 xx若 12 ()()F xF x 2112 ()()0F xF xP xXx 6简易辅导 ()FP X 不可能事件不可能事件 ()F

4、P X 必然事件必然事件 nF(x)在在 内是左连续的，即内是左连续的，即 有有 (,) 0 (,)x 0 0 ()()F xF x 7简易辅导 2 1 ( ) 1 F x x 是不是某一随机变量的分布函数？是不是某一随机变量的分布函数？ 不是不是 因为因为 lim( )0 x F x 函数函数 2 1 (0) ( )1 1 (0) x G xx x 可作为分布函数可作为分布函数 8简易辅导 分布函数分布函数 F(x)F(x)的的图形图形 9简易辅导 用分布函数描述随机变量不如分布律直观，用分布函数描述随机变量不如分布律直观， 对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法对非离散型随机变量，是否

5、有更直观的描述方法？ a ab b ?P aXb 10简易辅导 ( ) b a P aXbf x dx 概率密度函数概率密度函数 n 定义定义 设设X为一随机变量，若存在非负实函数为一随机变量，若存在非负实函数 f (x) , 使对任意实数使对任意实数 a b ，有，有 则称则称X为连续型随机变量，为连续型随机变量， f (x) 称为称为X 的的概概 率密度函数率密度函数,简称简称概率密度或密度函数概率密度或密度函数. Probability density function p.d.f. 11简易辅导 2 1 12 ( ) x x P xXxfx dx 1 x 2 x n 密度函数的区间上的

6、积分密度函数的区间上的积分 = = 区间上的概率区间上的概率 12简易辅导 概率密度函数的性质概率密度函数的性质 ( )0,(,)f xx n 非负性非负性 ( )1f x dx n 必然事件的概率必然事件的概率 ( )f x 1Px 13简易辅导 密度函数和分布函数的关系密度函数和分布函数的关系 n 积分关系积分关系 n 导数关系导数关系 ( )( ) x F xf x dx ( )F xP Xx ( ) x f x dx ( )( )( )f xxF xf x若在 处连续，则 ()( )( )( ) b a P aXbF bF afx dx 14简易辅导 概率密度函数的意义概率密度函数的意

7、义 由于在由于在f(x)的连续点处，有的连续点处，有 00 ()( )() ( )( )limlim xx F xxF xP xXxx f xF x xx 它表明了随机变量它表明了随机变量X在区间在区间 上的平均概上的平均概 率，故称率，故称f(x)为密度函数。为密度函数。 ( ,x xx ()( ).P xXxxf xx 15简易辅导 对于连续型随机变量对于连续型随机变量X,它取任意指定实数值它取任意指定实数值a 的概率为的概率为0,即即: P(X=a)=0 对于连续型随机变量对于连续型随机变量X,有有 P(a X b)= P(aX b)=P(a X b)=P(aXb) ( ) b a f

8、x dx X在某区间的概率等于密度函数在此区间的定积在某区间的概率等于密度函数在此区间的定积 分分 用密度函数表示事件的概率用密度函数表示事件的概率 16简易辅导 1 1 , 5 ()4 0 fx 其其它它 解解: : 当当 x1 时时 ()() 00 x x Fxfx dx dx 01 2 3 4 5 y x x 当当1 x 5 时时 1 1 1 ( )( )( )( ) 11 0(1) 44 xx x F xf x dxf x dxf x dx dxx 例：已知密度函数求分布函数例：已知密度函数求分布函数 已知连续型随机变量已知连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为 求求 X 的分布函数

9、的分布函数 17简易辅导 当当 x 5 时时 15 15 5 1 ( )( ) ( )( )( ) 11 00(5 1)1 44 x x F xf x dx f x dxf x dxf x dx dx 所以所以 51 51) 1( 4 1 10 )( x xx x xF 0 1 5 1 18简易辅导 cos ( )2 0 X axx f x 随机变量的概率密度为 其它 (0) 4 PX 求 n Step1: 利用密度函数的性质求出利用密度函数的性质求出 a( )1f x dx 2 2 ( )cos1f x dxaxdx 1 2 a 4 0 12 (0)cos 424 PXxdx 例：已知密度函

10、数求概率例：已知密度函数求概率 n Step2: 密度函数在区间的积分得到此区间的概率密度函数在区间的积分得到此区间的概率 19简易辅导 例：已知分布函数求密度函数例：已知分布函数求密度函数 2 00 ( )01 11 X x F xxx x 随机变量的分布函数为 (0.30.7)PX(1)求 （2)2)X 的密度函数的密度函数 22 (0.30.7)(0.7)(0.3)0.70.30.4PXFF(1) 201 ( )( ) 0 xx f xF x otherwise （2 2）密度函数为）密度函数为 20简易辅导 均匀分布均匀分布 若连续型随机变量若连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为

11、1 () 0 axb fxba 其 它 则称则称X在区间在区间 （a，b）上服从均匀分布记为）上服从均匀分布记为 X U (a, b) 0, ( ), 1, xa xa F xaxb ba xb Uniform Distribution n 定义定义 n 分布函数分布函数 21简易辅导 0 a b x X“等可能等可能”地取区间（地取区间（a,b）中的值，这里的）中的值，这里的“等可等可 能能”理解为：理解为：X落在区间（落在区间（a,b)中任意等长度的子区间内中任意等长度的子区间内 的可能性是相同的。或者说它落在子区间内的概率只依赖的可能性是相同的。或者说它落在子区间内的概率只依赖 于子区间

12、的长度而与子区间的位置无关。于子区间的长度而与子区间的位置无关。 0 a b x （） c d () 1 d c d c PcXdfxd x dc d x baba n 意义意义 22简易辅导 102 102电车每电车每5 5分钟发一班，在任一时刻分钟发一班，在任一时刻 某一乘客某一乘客 到了车站。求乘客候车时间不超过到了车站。求乘客候车时间不超过2 2分钟的概率。分钟的概率。 设随机变量设随机变量X X为候车时间，为候车时间，X X 服从（服从（0 0，5 5）上的）上的 均匀分布均匀分布 22 00 12 (2)(2)( ) 55 P XFf x dxdx 解解 例例 X XU U（0 0

13、，5 5） 23简易辅导 设设在在-1-1，55上服从均匀分布，求方程上服从均匀分布，求方程 2 210 xx 有实根的概率。有实根的概率。 解解 方程有实数根方程有实数根 2 440 即即 1 而而 的密度函数为的密度函数为 1 ( 15) ( )6 0 f 其它 所求概率为所求概率为 15 1 2 1( )( ) 3 Pfdfd 24简易辅导 指数分布指数分布 若连续型随机变量若连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为 则称则称X 服从参数为服从参数为的指数分布的指数分布. . 0 ( )(0 00 x ex f x x 为常数） 00 ( ) 10 x x F x ex Exponential Distribution ( )XE n 定义定义 n 分布函数分布函数 25简