同济大学高等数学上课件D73曲面方程PPT学习教案

1、会计学1 同济大学高等数学上课件同济大学高等数学上课件D73曲面方程曲面方程 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 222 )3()2() 1(zyx 07262zyx 化简得 即 说明说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 引例引例: : 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程. 222 )4() 1()2(zyx 解解: :设轨迹上的动点为 , ),(zyxM,BMAM 则 轨迹方程. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共26页 0),(zyxF S z y x o 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z )

2、= 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; 则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面曲面 S 的的方程方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形图形. 两个基本问题两个基本问题 : : (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程, 求曲面方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 ). 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共26页 故所求方程为 ),(zyxM ),( 0000 zyxM 方程. 特别,当M0在原点时,球面方程为 解解: 设轨迹上动点为

3、RMM 0 即 依题意 距离为 R 的轨迹 x y z o M 0 M 222 yxRz 表示上(下)球面 . Rzzyyxx 2 0 2 0 2 0 )()()( 22 0 2 0 2 0 )()()(Rzzyyxx 2222 Rzyx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共26页 042 222 yxzyx 解解: : 配方得 5 , )0, 2, 1( 0 M 此方程表示: 说明说明: : 如下形式的三元二次方程 ( A 0 ) 都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是 的曲面. . 表示怎样 半径为的球面. 0)( 222 GFzEyDxzyxA 球心为 一个球面球面 , 或点

4、点, 或虚轨迹虚轨迹. 5)2() 1( 222 zyx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共26页 定义定义2. . 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线定直线旋转 一周所形成的曲面叫做旋转曲面旋转曲面.该定直线称为旋转旋转 轴轴 . . 例如例如 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共26页 故旋转曲面方程为 , ),(zyxM 当绕 z 轴旋转时, 0),( 11 zyf ,), 0( 111 CzyM 若点 给定 yoz 面上曲线 C: ), 0( 111 zyM ),(zyxM 1 22 1, yyxzz 则有 0),( 22 zyxf 则有 该点转到 0),(z

5、yf o z y x C 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共26页 0),(:zyfC o y x z 0),( 22 zxyf 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共26页 的圆锥面方程. 解解: 在yoz面上直线L 的方程为 cotyz 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为 cot 22 yxz )( 2222 yxaz cota令 x y z 两边平方 L ), 0(zyM 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共26页 x y 1 2 2 2 2 c z a x 分别绕 x 轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解解: :绕 x 轴旋转 1 2 22 2 2

6、c zy a x 绕 z 轴旋转 1 2 2 2 22 c z a yx 这两种曲面都叫做旋转双曲面. 所成曲面方程为 所成曲面方程为 z 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共26页 x y z 引例引例. 分析方程 表示怎样的曲面 . 的坐标也满足方程 222 Ryx 解解: :在 xoy 面上，表示圆C, 222 Ryx 222 Ryx 沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆圆 故在空间 222 Ryx 过此点作 柱面柱面. . 对任意 z ,平行 z 轴的直线 l , 表示圆柱面圆柱面 o C 在圆C上任取一点 , )0 ,( 1 yxM l M 1 M ),(zy

7、xM点 其上所有点的坐标都满足此方程, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共26页 x y z x y z o l 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成 的轨迹叫做柱面柱面. 表示抛物柱面抛物柱面, 母线平行于 z 轴; 准线为xoy 面上的抛物线. z 轴的椭圆柱面椭圆柱面. xy2 2 1 2 2 2 2 b y a x z 轴的平面平面. 0 yx 表示母线平行于 C (且 z 轴在平面上) 表示母线平行于 C 叫做准线准线, l 叫做母线母线. x y z o o 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共26页 x z y 2 l 柱面, 柱面, 平行于

8、x 轴; 平行于 y 轴; 平行于 z 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3. 母线 柱面, 准线 xoy 面上的曲线 l1. 母线 准线 yoz 面上的曲线 l2. 母线 表示方程0),(yxF 表示方程0),(zyG 表示方程0),(xzH x y z 3 l 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x y z 1 l 第12页/共26页 三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程, 下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法截痕法 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面 的图形通常为二次曲面二次曲面. FzxEyxDxyCzByAx 222

9、 0JIzHyGx (二次项系数不全为 0 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共26页 z y x ),(1 2 2 2 2 2 2 为正数cba c z b y a x (1)范围： czbyax, (2)与坐标面的交线：椭圆 , 0 1 2 2 2 2 z b y a x , 0 1 2 2 2 2 x c z b y 0 1 2 2 2 2 y c z a x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共26页 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 与 )( 11 czzz 的交线为椭圆： 1 zz (4) 当 ab 时为旋转椭球面; 同样 )( 11

10、byyy 的截痕 ）（axxx 11 及 也为椭圆. 当abc 时为球面. (3) 截痕: 1 )()( 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 zc y zc x c b c a cba,( 为正数) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 z 第15页/共26页 z q y p x 22 22 (1) 椭圆抛物面 ( p , q 同号) (2) 双曲抛物面（鞍形曲面） z q y p x 22 22 z y x 特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面. ( p , q 同号) z yx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共26页 (1)(1)单叶双曲面单叶双曲面

11、by 1 ) 1 上的截痕为平面 1 zz 椭圆. 时, 截痕为 2 2 1 2 2 2 2 1 b y c z a x (实轴平行于x 轴； 虚轴平行于z 轴） 1 yy z x y ),(1 2 2 2 2 2 2 为正数cba c z b y a x 1 yy 平面 上的截痕情况: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 双曲线: 第17页/共26页 虚轴平行于x 轴） by 1 )2 时, 截痕为 0 c z a x )(bby或 by 1 )3 时, 截痕为 2 2 1 2 2 2 2 1 b y c z a x (实轴平行于z 轴; 1 yy z x y z x y 机动 目录 上页

12、下页 返回 结束 相交直线: 双曲线: 0 第18页/共26页 ),(1 2 2 2 2 2 2 为正数cba c z b y a x 上的截痕为平面 1 yy 双曲线 上的截痕为平面 1 xx 上的截痕为平面)( 11 czzz 椭圆 注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 双曲线 z x y o 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 单叶双曲面 1 1 双叶双曲面 P18 目录 上页 下页 返回 结束 图形图形 第19页/共26页 ),( 2 2 2 2 2 为正数baz b y a x 上的截痕为在平面tz 椭圆 在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线 . z x y o

13、 1 )()( 2 2 2 2 t b y ta x tz , 可以证明, 椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上. (椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换 得到, 见书 P316 ) x y z 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共26页 1. 空间曲面 三元方程 0),(zyxF 球面 22 0 2 0 2 0 )()()(Rzzyyxx 旋转曲面 如, 曲线 0 0),( x zyf 绕 z 轴的旋转曲面: 0),( 22 zyxf 柱面 如,曲面 0),(yxF 表示母线平行 z 轴的柱面. 又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 . 机动 目录 上页 下页 返

14、回 结束 第21页/共26页 三元二次方程 ),(同号qp 椭球面 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面 z q y p x 22 22 z q y p x 22 22 双曲面:单叶双曲面 2 2 2 2 b y a x 2 2 c z 1 双叶双曲面 2 2 2 2 b y a x 2 2 c z 1 椭圆锥面: 2 2 2 2 2 z b y a x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共26页 5x 9 22 yx 1 xy 斜率为1的直线 平面解析几何中空间解析几何中方 程 平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆 以 z 轴为中心轴的 圆柱面 平行于 z 轴的平面 1. 指出下列方程的图形: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共26页 2. P318