向量的概念和运算PPT学习教案

1、会计学1 向量的概念和运算向量的概念和运算 自由向量：自由向量：不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量. . 可以平行移动可以平行移动. . 负向量：负向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. . a a 相等向量：相等向量： a b 大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. . 平行向量：平行向量：方向相同或者相反的两个向量（方向相同或者相反的两个向量（共线共线）. . ba/ 向量共面：向量共面：设有设有 k（k）个向量，当把它们的起）个向量，当把它们的起 点放在同一点时，如果点放在同一点时，如果 k 个终点和公共起个终点和公共起 点在一个平面上，则称这点在一个

2、平面上，则称这 k 个向量个向量共面共面. . 第1页/共56页 , 0 a, 0 b a b 向向量量a 与与向向量量b 的的夹夹角角 ),(ba ),(ab 类似地，可定义类似地，可定义向量与一轴向量与一轴或或空间两轴空间两轴的夹角的夹角. 特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定 它们的夹角可在它们的夹角可在0与与 之间任意取值之间任意取值. 0() 空间两向量的夹角空间两向量的夹角 O A B 当当 时，称时，称 规定零向量与任意向量垂直规定零向量与任意向量垂直. 2 第2页/共56页 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为非零向量与三条坐标轴的正

3、向的夹角称为方向角方向角 . . ,0 ,0 .0 非零向量非零向量 的的方向角方向角：a 、 、 x y z o 1 M 2 M 方向角的余弦称为向量的方向角的余弦称为向量的方向余弦方向余弦. . 方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向. . 第3页/共56页 加法：加法：cba a b c （平行四边形法则）（平行四边形法则） 特殊地：若特殊地：若a b a c |bac 分为同向和反向分为同向和反向 a c |bac （三角形法则）（三角形法则） 、向量的加法、向量的加法 a b c b b 第4页/共56页 向量的加法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运算规律：

4、 （1 1）交换律：）交换律： .abba （2 2）结合律：）结合律： cbacba )().(cba （3）. 0)( aa a b c ba cba bc 第5页/共56页 减法减法)( baba a b b b c ba bac )( ba ba a b 2、向量的减法、向量的减法 .baba 三角不等式 第6页/共56页 , 0)1( a 与与a 同向，同向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 与与a 反向，反向，|aa a 2 a 2 1 a 第7页/共56页 同方向的单位向量，同方向的单位向量，表示与非零向量表示与非零向量设设aa 0 按照向量与数的乘积的规定，按照向

5、量与数的乘积的规定， 0 |aaa . | 0 a a a 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个一个与原向量同方向的单位向量与原向量同方向的单位向量. 第8页/共56页 数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律： （1 1）结合律：）结合律：)()(aa a )( （2 2）分配律：）分配律：aaa )( baba )( 0 . aba ba 设设向向量量，那那么么向向量量平平行行于于 的的充充分分 必必要要条条件件是是：存存在在唯唯一一的的实实数数 ，使使 定定理理 两个向量的平行关系两个向量的平行关系 第9页/共56页

6、 证证 充分性显然，下证必要充分性显然，下证必要 性性. a b 设设 a b 取取.取正值，取正值，同向时同向时与与，当，当 ba .abba 取取负负值值，即即有有反反向向时时与与当当 .ba a b aa 同向，且同向，且与与因为此时因为此时ab 再证唯一性再证唯一性，设设ab ，又设又设ab 两式相减，得两式相减，得，0)( a ，即即0 a ，0 a ，故故0 . 即即 第10页/共56页 例例1 1 化简化简 5 3 2 1 5 ab bba 解解 5 3 2 1 5 ab bba ba 5 5 1 2 5 1)31( . 2 5 2ba 第11页/共56页 例例2 2 试用向量方

7、法证明：对角线互相平分的试用向量方法证明：对角线互相平分的 四边形必是平行四边形四边形必是平行四边形. 证证 AMMC BMMD AD AM MDMC BMBC AD与 与 平行且相等平行且相等,BC结论得证结论得证. A B C D M a b 第12页/共56页 例例3 3 试用向量方法证明：空间四边形相邻各试用向量方法证明：空间四边形相邻各 边中点的连线构成平行四边形边中点的连线构成平行四边形. 证证: 只要证只要证 HGEF A B C D E F G H 111 222 EFEBBFABBCAC HGEF 111 222 HGHDDGADDCAC 第13页/共56页 解答解答 BCA

8、D AM MD).( 2 1 ba DC AB AM MB ).( 2 1 ba A B C D M a b 练习练习 已知平行四边形已知平行四边形ABCD的对角线的对角线 AC,a BDb 试用试用 表示平行四边形四边上表示平行四边形四边上 对应的向量对应的向量. ba , 第14页/共56页 cos|sFW (其中其中 为为F 与与s 的夹角的夹角) 启示启示 向量向量a 与与b 的的数量积数量积为为ba cos|baba 实例实例 两向量作这样的运算两向量作这样的运算, 结果是一个数量结果是一个数量. 定义定义 a b 数量积也称为数量积也称为“点积点积”、“内积内积”. 第15页/共5

9、6页 关于数量积的说明：关于数量积的说明： 0)2( ba .ba )(, 0 ba , 0| a , 0| b , 0cos .ba .|)1( 2 aaa )(,ba , 0cos . 0cos| baba , 0 .|cos| 2 aaaaa 证证 证证 , 2 , 2 ).0, 0( | arccos),()3( ba ba ba ba 第16页/共56页 数量积符合下列运算规律：数量积符合下列运算规律： （1 1）交换律）交换律：;abba （2 2）分配律）分配律：;)(cbcacba （3 3）若）若 为数为数： ),()()(bababa 若若 、 为数为数： ).()()(b

10、aba 第17页/共56页 u M M 向量在轴上的投影向量在轴上的投影 .轴轴确定确定及单位向量及单位向量设点设点ueO O e r 第18页/共56页 性质性质2 .PrPr)(Prbjajbaj uuu 性质性质3 .Pr)(Prajaj uu 性质性质4；，则，则若若ajbbab b Pr|0 .Pr|0bjabaa a ，则，则若若 .,cosPr轴的夹角轴的夹角与与为向量为向量其中其中uaaaju 第19页/共56页 例例 4 4 证明向量证明向量 c 与向量与向量acbbca )()( 垂直垂直. 证证 cacbbca )()( )()(cacbcbca )(cacabc 0 c

11、acbbca )()( 第20页/共56页 . 5例例 .Pr,Pr, 3 ),( , 1, 2,3,32 AjBjBAba babaBbaA BA 求求 设设 .解解 . 31 28 Pr, 37 28 Pr ,31,37 28376 )3()32( 22 2 2 B BA Aj A BA Bj BBBAAA bbaa babaBA BA 第21页/共56页 a b a u 22 :()0 ,. baab aa a b ab a uba aa 即即 0, , auau abuaub 垂直于垂直于 例例6 设以向量设以向量 和和 为边做平行四边形，求平行为边做平行四边形，求平行 四边形中垂直于

12、四边形中垂直于 边的高线向量边的高线向量. a b a :解解则则设高线为设高线为 ,u 第22页/共56页 |FOQM sin|FOP 实例实例 L F P Q O 第23页/共56页 sin|bac (其中其中 为为a 与与b 的夹角的夹角) 定义定义 向量积也称为向量积也称为“叉积叉积”、“外积外积”. a b c 第24页/共56页 关于向量积的说明：关于向量积的说明： . 0)1( aa)0sin0( ba )2(/. 0 ba)0, 0( ba a b c )( , 0 ba, 0| a , 0| b , 0sin ,0 或或 )( 0sin . 0sin| baba 证证 ba

13、/ ba /或或0 第25页/共56页 向量积符合下列运算规律：向量积符合下列运算规律： （1）反交换律反交换律 .abba （2）分配律：分配律：.)(cbcacba （3）若若 为数：为数： ).()()(bababa |ba 表表示示以以 a 和和 b 为为邻邻边边 的的平平行行四四边边形形的的面面积积. a b bac 向量积的几何意义向量积的几何意义 第26页/共56页 例例7 7 设向量设向量pnm ,两两垂直，符合右手规则，两两垂直，符合右手规则， 且且4| m ，2| n ，3| p ，计算，计算pnm )(. 解解),sin(|nmnmnm , 8124 0),( pnm p

14、nm )( cos|pnm .2438 依依题题意意知知nm 与与p 同同向向， 第27页/共56页 （1）向量混合积的几何意义：）向量混合积的几何意义： 向量的混合积向量的混合积 cba cba )(是这样是这样 的一个数，它的绝对值表的一个数，它的绝对值表 示以向量示以向量a 、b 、c 为棱的为棱的 平行六面体的体积平行六面体的体积. a c b ba 关于混合积的说明：关于混合积的说明： )2(cba cba )(acb )(.)(bac （3）三向量）三向量a 、b 、c 共面共面 . 0 cba (轮换对称性) 6.6.向量的混合积向量的混合积 定义定义 第28页/共56页 已知已

15、知2 cba ， 计算计算)()()(accbba . 解解)()()(accbba )()accbbbcaba ccbcccacba )(0)()( acbaacaaba )(0)()( 0 0 0 0 cba )( cba )(2 2cba . 4 例例8 第29页/共56页 x 横轴横轴 y 纵纵 轴轴 z竖轴竖轴 定定 点点 O 空间直角坐标系空间直角坐标系 i j k 三、向量及向量运算的坐标表示三、向量及向量运算的坐标表示 ., , 称为基本单位向量称为基本单位向量表示表示 以以一个单位向量一个单位向量 沿三个坐标轴方向各取沿三个坐标轴方向各取 在空间直角坐标系中，在空间直角坐标系

16、中， kji 1.1.向量的坐标表示向量的坐标表示 第30页/共56页 ,OROQOPAMPAOPOMr ),(zyxM x y z o )0 , 0 ,(xP )0 , 0(yQ ), 0 , 0(zR )0 ,(yxA ), 0(zyB ), 0 ,(zxC , rOMMr ，使使，对对应应有有点点任任给给向向量量 则则，设设,kzORj yOQi xOP . kzj yi xOMr r 第31页/共56页 .向向量量沿沿三三个个坐坐标标轴轴方方向向的的分分称称为为向向量量 、的的坐坐标标分分解解式式，上上式式称称为为向向量量 r kzj yi xr .kzj yi xOMr 之之间间有有

17、一一一一对对应应关关系系、与与三三个个有有序序数数、向向量量点点zyxrM ).,(zyxkzj yi xOMrM );,(zyxr 记作记作 .的的坐坐标标一一致致的的坐坐标标表表示示式式与与其其终终点点向向径径MOMr 有序数有序数 x 、y 、z 称为称为向量向量 r 的坐标的坐标, 第32页/共56页 ),( zyx aaaa ),( zyx bbbb ),( zzyyxx babababa ),( zzyyxx babababa ),( zyx aaaa ;)()()(kbajbaiba zzyyxx ;)()()(kbajbaiba zzyyxx .)()()(kajaia zyx

18、 2. 向量运算的坐标表示向量运算的坐标表示 第33页/共56页 ,kajaiaa zyx kbjbibb zyx 设设 ba )(kajaia zyx )(kbjbib zyx ,kji , 0 ikkjji , 1| kji . 1 kkjjii zzyyxx babababa 数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式 数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式 第34页/共56页 ,kajaiaa zyx kbjbibb zyx 设设 ba )(kajaia zyx )(kbjbib zyx ,kji , 0 kkjjii , jik , ikj ,kij . jki , ijk kbabajba

19、baibaba xyyxzxxzyzzy )()()( 向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式 向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式 第35页/共56页 向量积还可用三阶行列式表示向量积还可用三阶行列式表示 zyx zyx bbb aaa kji ba kbabajbabaibaba xyyxzxxzyzzy )()()( ( 行列式计算见行列式计算见 附录附录3 ) 第36页/共56页 3. 其它坐标表示其它坐标表示 ),( zyx aaaa ),( zyx bbbb ba ., zzyyxx bababa 222 | zyx aaaa 0 a. 0, 0, 0 zyx aaa 222222

20、),cos( zyxzyx zzyyxx bbbaaa bababa ba 第37页/共56页 0 222 zyx aaa 当当 时，时， ,cos 222 zyx x aaa a ,cos 222 zyx y aaa a .cos 222 zyx z aaa a 向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式 1coscoscos 222 x y z o 1 M 2 M 第38页/共56页 x x a b y y a b z z a b ba/ ba 0 zzyyxx bababa 共面cba, 0 zyx zyx zyx ccc bbb aaa ).cos,cos,(cos 特殊地：单位

21、向量的方向余弦为特殊地：单位向量的方向余弦为 | 0 a a a 第39页/共56页 解解 ),( 111 zzyyxxAM ),( 222 zzyyxxMB 设设),(zyxM为直线上的点，为直线上的点， 例例 9 9 已知两点已知两点),( 111 zyxA和和),( 222 zyxB以以 及实数及实数)1( ，在直线，在直线 AB 上求点上求点 M，使，使 MBAM . A B M x y z o 第40页/共56页 由题意知：由题意知：MBAM ),( 111 zzyyxx ),( 222 zzyyxx 1 xx )( 2 xx 1 yy )( 2 yy 1 zz )( 2 zz ,

22、1 21 xx x , 1 21 yy y , 1 21 zz z M为中点时，为中点时， , 2 21 xx x , 2 21 yy y . 2 21 zz z 第41页/共56页 例例10 求求与与kjia 423 ，kjib 2 都垂直的单位向量都垂直的单位向量. 解解 zyx zyx bbb aaa kji bac 211 423 kji ,510kj , 55510| 22 c . 5 1 5 2 kj | 0 c c c 第42页/共56页 例例 1 11 1 在顶点为在顶点为)2 , 1, 1( A、)2 , 6, 5( B和和 )1, 3 , 1( C的三角形中，求的三角形中，

23、求AC边上的高边上的高BD. A B C 解解 D )3, 4 , 0( AC )0 , 5, 4( AB 三角形三角形ABC的面积为的面积为 | 2 1 ABACS 222 161215 2 1 , 2 25 | AC, 5)3(4 22 | 2 1 BDACS |5 2 1 2 25 BD . 5| BD 第43页/共56页 设 1. 向量运算 加减: 数乘: 点积: ),( zzyyxx babababa ),( zyx aaaa zzyyxx babababa ),(, ),(, ),( zyxzyxzyx ccccbbbbaaaa 叉积: kji x a y a z a x b y

24、b z b ba 第44页/共56页 2. 向量关系: x x a b y y a b z z a b 0 zzyyxx bababa ba/ ba 0ba zyx zyx zyx ccc bbb aaa cba)(cba 共面cba, 0 zyx zyx zyx ccc bbb aaa 0)(cba 0ba 第45页/共56页 1. 设设 计算计算并并 求求 夹角夹角 的正弦与余弦的正弦与余弦 . (1,1, 3) 1 cos, 2 3 11 sin 12 答案答案: : 2. 2. 用向量方法证明正弦定理用向量方法证明正弦定理: : sinsinsin abc ABC ,a b 1,a b

25、ab 2,aijk bij ,a bab及及 B a b c AC 第46页/共56页 sinb cA sinc aB sinsin ab AB 所以所以 sin c C sina bC 因因B a b c AC 1 2 ABC SACAB 1 2 BABC 1 2 CBCA ACAB BABC CBCA 第47页/共56页 )(sin| , 2222 bababa )(cos1| , 222 baba 22 |ba )(cos| , 222 baba 22 |ba .)( 2 ba 已已知知向向量量0 a，0 b， 证证明明 2222 )(|bababa . 3. 解解 第48页/共56页 22 3 4 3 cos322)2( 17 1. 已知向量的夹角 且 解：解： , 4 3 ba , . |ba 求 , 2|a, 3|b 2 ba)()(baba aaba2bb 22 cos2bbaa 17ba 第49页/共56页 222 00)2( 2 1 1 A B C D 在顶点为 三角形中, , ) 2 , 1, 1 ( A)0, 1 , 1 (B 的和) 1,3, 1(C 求 AC 边上的高 BD . 解：解：)3,4,0(AC , 5)3(4 22 | AC )2,2,0(AB 三角形 ABC 的面积为 | 2 1 A