小波变换与多分辨率分析PPT学习教案

1、会计学1 小波变换与多分辨率分析小波变换与多分辨率分析 傅里叶变换的基础函数是正弦函数。傅里叶变换的基础函数是正弦函数。 小小波变换基于一些小型波，称为小波，具有变化的频率和有限的持续时间。波变换基于一些小型波，称为小波，具有变化的频率和有限的持续时间。 第1页/共45页 第2页/共45页 第3页/共45页 n 一幅图像的金字塔是一系列以金字塔形状一幅图像的金字塔是一系列以金字塔形状 排列的分辨率逐步降低的图像集合排列的分辨率逐步降低的图像集合 一个金字塔图像结构 金字塔的底部是待处理图像 的高分辨率表示，而顶部是 低分辨率近似。当向金字塔 的上层移动时，尺寸和分辨 率就降低。 第4页/共45

2、页 第5页/共45页 n高斯和拉普拉斯金字塔编码高斯和拉普拉斯金字塔编码 拉普拉斯金字塔编码策略 第6页/共45页 512 第7页/共45页 n在子带编码中， 一幅图像被分解 成一系列限带分 量的集合，称为 子带，它们可以 重组在一起无失 真地重建原始图 像。 n子带通过对输入 进行带通滤波而 得到。 双通道子带编码和重建 第8页/共45页 完美重建滤波器族 QMF 正交镜像滤波器 CQF 共轭正交滤波器 第9页/共45页 子带图像编码的二维4频段滤波器组 第10页/共45页 第11页/共45页 第12页/共45页 其中，F是一个NN图像矩阵，H是NN变换矩阵，T 是NN变换的结果 第13页/

3、共45页 )(zhk n NNkz21,.,2 , 1 , 0,1 , 0 其它 pp pp p p pqk qzq qzq N zhzh z N zhzh 2/2/ )5 . 0( 2/ )5 . 0(2/ ) 1( 0 2 2 1 )()( 1 , 0, 1 )( 2 2 000 p p qp qpnp qk 210 100, 10 12 时， 或时， 第14页/共45页 kpq 000 101 211 312 2200 0022 1111 1111 4 1 4 H 第15页/共45页 11 11 2 1 2 H 第16页/共45页 哈尔基函数对图像的多分辨率分解 1、其局部统计数据相对稳

4、定； 2、大多数值为零，便于压缩； 3、原始图像的粗和细分辨率近似可以从中提取。 第17页/共45页 n 函数的伸缩和平移函数的伸缩和平移 给定一个基本函数给定一个基本函数 ,则则 的伸缩和平移公的伸缩和平移公 式可记为：式可记为： ( ) x , ( )() a b xaxb ( )x 第18页/共45页 n函数的伸缩和平移函数的伸缩和平移 2, sin( )02 ( ) 0 ( ) xx x x 例：给定函数 其它 则的波形如下图所示 函数的伸缩和平移 第19页/共45页 n 序列展开序列展开 信号或函数常常可以被很好地分解为一系列展开信号或函数常常可以被很好地分解为一系列展开 函数的线性

5、组合。函数的线性组合。 ( )( ) kk k f xax 其中，其中，k k是有限或无限和的整数下标，是有限或无限和的整数下标，a ak k 是具有实数值是具有实数值 的展开系数，的展开系数， 是具有实数值的展开函数是具有实数值的展开函数 ( ) k x 如果展开是唯一的，f(x)只有一个ak系数与之对应，则 称为基函数。 ( ) k x 第20页/共45页 xSpanV k k 的闭合跨度属于表示xxfVxf k )()( ( )( ) kk k f xax 第21页/共45页 n尺度函数尺度函数 2 /2 , , , /2 , ( )( )( ) ( )2(2), ( )( ) ( )(

6、 ) 2 ( )( ) jj j k j k j kj k j j k xxL xxkjz kz xx kxxjx x xjx R 设是平方可积函数，即，实数二值 尺度伸缩和整数平移函数定义为： 则集合是的展开函数集。从上式可以看出， 决定了在 轴的位置， 决定了的宽度，即 沿 轴的宽或窄的程度，而控制其高度或幅度。由于 的形状随 发生变化，被称为尺度函数。 第22页/共45页 xSpanV kj k j, 任何任何j,kj,k上的跨度子空间上的跨度子空间: : j j增大时，用于表示子空间函数的增大时，用于表示子空间函数的 范围变窄，范围变窄，x x有较小变化即可分开。有较小变化即可分开。

7、随随j j增加增加 增大，允许有变化较小的变量或较细的细节函数包含在子空间中。增大，允许有变化较小的变量或较细的细节函数包含在子空间中。 j V x kj, 第23页/共45页 考虑单位高度、单位宽度的尺度函数： 其它0 101x x V0展开函数都属于V1，V0是V1的一个子空间。 第24页/共45页 j j j jj Zj j Zj j j VxfVxf ZjVxfVxf RLVV VVV ZjV ) 2 1 ()(. 4 ,)2()(. 3 )(;0. 2 . 1 , 1 2 210 平移不变性： 伸缩规则性： 渐进完全性： 一致单调性： 间下列性质的一系列子空多分辨率分析是指满足 V2

8、 V1 V0 第25页/共45页 子空间的 展开函数可以被表示为子空间 的展开函数的加权和。 j V 1j V n njnkj xax , 1, n jj kj nxnhx 12/1 , 22 n nxnhx22 j，k置0 nxx jj nj 12/1 , 1 22 其中 )(nhan 改写成 第26页/共45页 2 1 ) 1 (0 hh 122 2 1 22 2 1 xxx 122xxx 第27页/共45页 n 小波函数小波函数 给定尺度函数，则小波函数给定尺度函数，则小波函数 所在的空间跨越了相邻两尺度子空间所在的空间跨越了相邻两尺度子空间V Vj j和和V Vj+1j+1的差异。令相

9、邻两尺度子空间的差异。令相邻两尺度子空间V Vj j和和V Vj+1j+1的差异子空间为的差异子空间为W Wj j，则下图表明了，则下图表明了W Wj j与与V Vj j和和V Vj+1j+1间的关系。间的关系。 尺度及小波函数空间的关系 ( ) x 第28页/共45页 ),)(2(2)( )( ),()( 2/ , Zkjkxx t WaveletMotherx jj kj 以得到小波序列：经过伸缩和平移后，可将基本小波 小波为一个基本小波或者母 xspanW kjj, ）。的小波空间（细节空间称为尺度为jWj 第29页/共45页 n nxnhx22 nhnh n 11 因为小波空间存在于由

10、相邻较高分辨率尺度函数跨越的空间中，任何小波函数可以表示成尺度函数：因为小波空间存在于由相邻较高分辨率尺度函数跨越的空间中，任何小波函数可以表示成尺度函数： 第30页/共45页 2 1 ) 1 (0 hh 2 1 1 2 1 0 ) 11 () 1(1 )01 () 1(0 hh hh 122xxx 哈尔尺度函数系数： 哈尔小波函数系数： 其它0 15 . 01 5 . 001 x x x 第31页/共45页 n 一维离散小波变换（一维离散小波变换（DWTDWT） 0 0 0 ,0 0 1 0 , 1 0 ,0 ,W 1 ,W 1 , : 12 , 2 , 1 , 0 1 ,W 1, 2 ,

11、1 , 0 1 ,W 2 jj kj k kj j M n kj M n kj J xkj M xkj M xf jj kxxf M kj Jjxxf M kj M 有对于反变换 正变换 第32页/共45页 25 . 120230401 2 1 )()( 2 1 1 , 1 25 . 100032421 2 1 )()( 2 1 0 , 1 410131411 2 1 )()( 2 1 0 , 0 110131411 2 1 )()( 2 1 0 , 0 3 0 1 , 1 3 0 0, 1 3 0 0,0 3 0 0,0 x x x x xxfW xxfW xxfW xxfW 第33页/共4

12、5页 1025 . 1225 . 11411 2 1 0 1 , 10 , 10 , 00 , 0 2 1 1 , 10, 10, 00, 0 f xWxWxWxWxf 第34页/共45页 n一维离散小波变换一维离散小波变换（DWTDWT） 2 0 2 0 /2 () /2 ( ) 2 itt tee e Morlet小波： Morlet 小波 第35页/共45页 n 一维离散小波变换（一维离散小波变换（DWTDWT） 2 2 2/2 4 2/2 2 ( )(1) 3 2 2 3 t tte e Mexihat小波： Mexihat小波 第36页/共45页 0,2 0,2 , 1, , 1, kkn kkn njWnhkjW njWnhkjW 第37页/共45页 n对于对于M MN N 的离散函数的离散函数f f( (x,yx,y) )的离散小波变换对为的离散小波变换对为 ： 0 0 0 11 0, 00 11 , 00 0, 3 , 1 0 1 (, )( ,)( ,) 1 ( , )( ,)( ,)1,2,3 1 ( ,)(, )( ,) 1 ( , )( ,) MN jm n xy MN ll j m n xy jm n mn ll j m n ljjmn Wjm nf x yx y MN Wj m nf x yx yl MN f