数学必修四复习提纲

1、数学必修四复习提纲第二讲 平面向量知识梳理一、基本概念：1、向量的概念：既有大小又有方向的量（注意向量和数量的区别）2、零向量：长度为0的向量，记作：（注意零向量的方向是任意的）3、单位向量：长度为1的向量v 提醒：1）若是单位向量，则2）与共线的单位向量是)4、相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量（）5、平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量，记作：（规定：）v 提醒：1）相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；2）两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量所在直线重合, 但两条直线平行不包含两条直线重合；3）平行向量不满足传递性（因

2、为有)；6、相反向量：长度相等方向相反的向量（）二、向量的表示：1、几何表示：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后（注意向量不能说就是有向线段，有向线段也不能说是向量）2、字母表示：用一个小写的英文字母来表示，如，等；3、坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，叫做向量的坐标表示。（如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同）三、平面向量基本定理：如果和是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使v 基底：任意不共线的两个向量称为一组基底（平面内的基底有

3、无数组）四、向量的运算：1、几何运算：1）向量加法：“平行四边形法则”：共起点，连对角线（只适用于不共线的向量）“三角形法则”：尾首相接，连首尾（设，那么向量叫做与的和，）特殊地，若 ， 2）向量减法： “三角形法则”：共起点，连终点，后到前（设，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同）3）向量数乘：几何意义：将的长度扩大（或缩小）倍，改变（或不改变）的方向，就得到了长度和方向规定如下：当0时，的方向与的方向相同，当0；当P点在线段 PP的延长线上时1；当P点在线段PP的延长线上时；3）线段的定比分点公式：向量表示：若P分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，

4、则，坐标表示：设、，分有向线段所成的比为，则，（在使用定比分点的坐标公式时，应明确，、的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比）特别地，为线段的中点4）点为平面内的任一点，若该平面内三点共线存在实数使得且.3、三角形四心的表示1）重心（三角形三边上中线的交点）：把中线分成2:1向量表示O为ABC所在平面的一点，O是ABC的重心坐标表示：在中，若，则其重心的坐标2）垂心（三角形三条高的交点）：O为ABC所在平面的一点，O是ABC的垂心3）外心（三角形三边的中垂线的交点）：O为ABC所在平面的一点，O是ABC的外心4

5、）内心（三角形三条角平分线的交点）：O为ABC所在平面的一点，若点O满足：， O是ABC的内心考点题型及相关练习 考点1：向量及与向量相关的基本概念题型1：概念判析【例1】判断下列各命题是否正确(1)零向量没有方向 (2)若(3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段(5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若，则；(7)若，则 (8)若四边形ABCD是平行四边形,则(9) 的充要条件是且；【解题思路】正确理解向量的有关概念，以概念为判断依据，或通过举反例说明。【解析】(1) 不正确，零向量方向任意, (2) 不正确，说明模相等,还有方向 (3) 不正确，单位向量的模为1,方向很多 (4

6、) 不正确，有向线段是向量的一种表示形式 (5)正确，（6）正确，向量相等有传递性 （7）不正确，因若，则不共线的向量也有，。(8) 不正确, 如图 （9）不正确，当，且方向相反时，即使，也不能得到；【小结】对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以从通过举出反例而排除或否定相关命题。【例2】（1）若，则_（答：）；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. B. C. D. （答：B）；（3）已知中，点在边上，且，则的值是_（答：0）（4）已知AD，BE分别是的边上的中线,且,则可用向量表示为_（答：）；【相关练习】1 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.向

7、量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；单位向量都相等；任一向量与它的相反向量不相等；四边形ABCD是平行四边形的充要条件是 模为0是一个向量方向不确定的充要条件；共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.【解析】不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.、正确.不正确.如图与共线，虽起点不同，但其终点却相同.2下列命题正确的是（ ）A.与共线，与共线，则与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量与

8、不共线，则与都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行【解析】由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若与不都是非零向量，即与至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有与共线，不符合已知条件，所以有与都是非零向量，所以应选C.3.下列说法：（1）若，则。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。

9、（3）若，则是平行四边形。（4）若是平行四边形，则。（5）若，则。（6）若，则。其中正确的是_（答：（4）（5） 考点2：向量的运算题型1：考查加、减法运算及相关运算律【例1】化简解：（利用）设O是平面内任意一点，则=【小结】掌握向量加减的定义及向量加法的交换律、结合律等基础知识在求解时需将杂乱的向量运算式有序化处理，必要时也可化减为加，减低出错率 【例2】（1）已知作用在点的三个力，则合力的终点坐标是 （答：（9,1）（2）已知，则点的坐标是 。（答：（0,2）（3）已知,向量与相等，求的值。（答：x=0,y=）（4）已知是坐标原点，且，求的坐标。（答：(- 2,5)）题型2：结合图形考查向

10、量加、减法【例3】（1）已知在中，是的中点，请用向量表示（答案：）（2）在平行四边形中，已知，求（答案：）【小结】三角形中两边对应向量已知，可求第三边所对应的向量值得注意的是，向量的方向不能搞错当向量运算转化成代数式运算时，其运算过程可仿照多项式的加减运算进行题型3：向量的数乘运算【例4】 （1）已知，则 。（答案：）；（2）设，且，则C、D的坐标分别是_（答案：）；题型4：向量的数量积运算【例5】（1）ABC中，则_（答：9）；（2）已知，与的夹角为，则等于_（答：1）；（3）已知，则向量在向量上的投影为_（答：）（4）已知，且与的夹角为，求（1），（2），（3），（4）。（答：6,15，-

11、2,0）；（5）已知，求（1），（2），（3）（答：）题型5：向量的运算律【例6】下列命题中： ； ； ； 若，则或；若则；。其中正确的是_（答：）【注意】（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即【相关练习】1 若32，3，其中，是已知向量，求，.【解析】记32 3得得11. 将代入有：2如图，在ABC中，D、E为边AB的两个三等分点，=3a，=2b，求，ABCDE【解析】=+ = 3

12、a+2b，因D、E为的两个三等分点，故=ab =， =3aab =2ab，=2abab=ab3.（1）化简：_；_；_（答：；）；（2）若为的边的中点，所在平面内有一点，满足，设，则的值为_（答：2）；（3）若M（-3，-2），N（6，-1），且，则点P的坐标为_（答：）4.已知点，若，则当_时，点P在第一、三象限的角平分线上（答：）；当_时，点P在第三象限（答：）5.已知，则_（答：或）； 6.已知，如果与的夹角为钝角，则的取值范围是_（答：）；7.已知是单位向量，其夹角为，若求的范围，若？（）8.已知求证：9.(2009)在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是( )A B C DP【

13、解析】由,得,P即,所以点是边上的第二个三等分点,B故 考点三： 向量的几个重要应用题型1： 求向量的模【例1】（1）已知，则等于_（答：）；（2）已知均为单位向量，它们的夹角为，那么_（答：）； （3）已知，求（1），（2），（3） （答：） 二教P60题型2，P63当堂检测5题型2： 求向量的夹角【例2】（1）已知，求与的夹角。（答：）（2）已知，求与的夹角。（答：）（3）已知是两个非零向量，且，则的夹角为_（答：）（4）已知，求。（答：）（5）已知向量，若与的夹角为钝角，则的取值范围是 （ A ）. 二教P47能力提升1，P52例2，P60例3，P61基础巩固6，P63题型4，当堂检测6

14、题型3：向量的平行与垂直问题【例3】(1)若向量，当_时与共线且方向相同（答：2）；（2）已知，且，则x_（答：4）；（3）设，则k_时，A,B,C共线（答：2或11）【例4】已知，若，则 （答：）；【例5】1.已知，当为何值时，（1）？（2）？（答：1,9）2已知，（1）为何值时，向量与垂直？（2）为何值时，向量与平行？（答：19， ） 二教P58当堂检测3,6，能力提升2，P60借题发挥1，当堂检测6题型4：用向量方法证明几何问题1、证明三点共线：【例6】 设是不共线的向量,已知向量,若A,B,D三点共线,求k的值【解题思路】证明存在实数，使得【解析】, 使得【例7】已知，求证：三点共线。【解析】2.其他类型：【例8】已知ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证：+=4【解题思路】由平行四边形的对角线互相平分和相等向量的定义可得。【解析】证明：E是对角线AC和BD的交点AODCB =- ,=- 在OAE中，+=同理 += ， += ，+=以上各式相加，得 +=4 二教P57例3，P44题型2，P49题型4题型5：判断图形形状问题 二教