样本及抽样分布PPT学习教案

1、会计学1 样本及抽样分布样本及抽样分布 2. 样本：样本：来自总体的部分个体X X1 1， ， ，X Xn n 如果满足：如果满足： （1）同分布性：同分布性： Xi，i=1,n与总体同分布. （2）独立性：独立性： X1， ，Xn 相互独立； 则称为容量为n 的简单随机样本，简称样本样本。 而称X1， ，Xn 的一次实现为样本观察值， 记为x1， ， xn 第1页/共22页 来自总体X的随机样本X X1 1， ， ，X Xn n可记 为 ),.(),(, 1 xFxfXXX iid n 或 显然，样本联合分布函数或密度函数为 n i in xFxxxF 1 21 * )(),( 或或 n i

2、 in xfxxxf 1 21 * )(),( 第2页/共22页 3.3.总体、样本、样本观察值的关系总体、样本、样本观察值的关系 总体总体 样本样本 样本观察值样本观察值 理论分布理论分布 统计是从手中已有的资料统计是从手中已有的资料样本观察值，去推断样本观察值，去推断 总体的情况总体的情况总体分布。样本是联系两者的桥梁总体分布。样本是联系两者的桥梁 。总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样。总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样 本取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值本取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值 去推断总体去推断总体 第3页/共22页 定义：称样本X1， ，X

3、n 的函数 g(X1， ，Xn )是总体X的一个统计量统计量,如果如果 g(X1， ，Xn )不含不含 未知未知 参数参数 , 1 . 1 1 n i i X n X样本均值 ,)( )( 1 1 . 2 2 1 22 SS XX n S n i i 标准差样本均方差 样本方差 几个常用的统计量 ： 第4页/共22页 n i k i k n i k i k XX n B X n A 1 1 ,)( 1 1 中心矩 原点矩 3.3.样本样本k k阶矩阶矩 第5页/共22页 统计量的分布称为抽样分布。数理统 计中常用到如下三个分布： 2 2分布、 t t 分布和F F分布。 . ).(),1 ,

4、0(,. 1 2 2 1 22 1 分布的称为自由度为 则设构造 n nXNXX n i i iid n 第6页/共22页 2.2 2分布的密度函数分布的密度函数f(y)f(y)曲线曲线 0y, 0 0y,ey )y( f 2 y 1 2 n )2/n(2 1 2/n 第7页/共22页 3. 分位点分位点 设X 2(n)，若对于 ：0 1， 存在 0)( 2 n 满满 足足 ,)( 2 nXP 则称则称)( 2 n 为为)( 2 n 分布的上分布的上 分位点。分位点。 )( 2 n 第8页/共22页 4.4.性质：性质：(p124)(p124) a.a.分布可加性分布可加性 若X X 2 2(

5、n(n1 1) )，Y Y 2 2(n(n2 2 ) )， ， X X， Y Y 独立，则X X + + Y Y 2 2(n(n1 1+n+n2 2 ) ) b.b.期望与方差期望与方差 若X X 2 2(n)(n)，则 E(X)= nE(X)= n，D(X)=2nD(X)=2n 1.1.构造构造 若 N(0, 1), N(0, 1), 2 2(n), (n), 与 独立 ，则 ).n( t n/ T t(n)t(n)称为自由度为n n的t分布。 第9页/共22页 t(n)t(n) 的概率密度为 t,) n t 1( ) 2 n (n ) 2 1n ( ) t ( f 2 1n2 第10页/共

6、22页 2.2.基本性质基本性质: (1) f(t)(1) f(t)关于t=0t=0(纵轴)对称。 (2) f(t)(2) f(t)的极限为N(0N(0，1)1)的密度函数，即 3.3.分位点分位点 设T Tt(n)t(n)，若对 :0:0 1,0(n)0， 满足PTPT t t (n)=(n)= ， 则称t t (n)(n)为 t(n)t(n)的上侧分位点 x,e 2 1 ) t () t ( flim 2 t n 2 )(nt 第11页/共22页 注注:)()( 1 ntnt )( 1 nt )(nt 第12页/共22页 1.1.构造构造 若 1 1 2 2(n(n1 1) )， 2 2

7、2 2(n(n2 2) )， 1 1， 2 2独 立，则 ).n,n(F n/ n/ F 21 22 11 称为第一自由度为n n1 1 ，第二自由度为n n2 2的F F 分布,其概率密度为 0y, 0 0y, )y n n 1)( 2 n ()( y)n/n)( 2 nn ( )y(h 2/ )nn( 2 12 2 n 1 2 n 2/n 21 21 211 1 1 第13页/共22页 2. F2. F分布的分位点分布的分位点 对于对于 ：00 10)0， 满足满足 PFPF F F (n(n1 1, , n n2 2)=)= ， 则称则称F F (n(n1 1, , n n2 2) )为

8、为 F(nF(n1 1, , n n2 2) )的的 上侧上侧 分位点；分位点； ),( 21 nnF 第14页/共22页 1),( 211 nnFFP 证明证明: :设设FF(nFF(n1 1,n,n2 2),), 则则 ),( 1 ),( 12 211 nnF nnF 注注： 1 ),( 11 211 nnFF P ),( 1 12 nnF F ),( 11 211 nnFF P ),( 1 12 nnF F P 得证得证! ! 第15页/共22页 )1, 0(N n/ X U),(NX,X. 1 2 iid n 1 则若 证明证明: n i i X n X 1 1 是是n n 个独立的正

9、态随个独立的正态随 机变量的线性组合机变量的线性组合, , 故服从正态分布故服从正态分布 n i i XE n XE 1 )( 1 )( n XD n XD n i i 2 1 2 )( 1 )( ),( 2 n NX ) 1, 0( / N n X 第16页/共22页 ;) 1 ( ),(,. 2 2 2 1 相互独立与 则若 SX NXX iid n );1( ) 1( )2( 2 2 2 2 n Sn ).1( / ) 3( nt nS X T (3)证明证明: ) 1, 0( / N n X U 且且U U与与V V独立独立, ,根据根据t t分布的构造分布的构造 );1( ) 1( 2 2 2 n Sn V )1( 1 nt n V U 得证得证! ! 第17页/共22页 . 2 ) 1() 1( ).1, 1( /1/1 )( ,)2( 21 2 22 2 11 2 21 21 21 2 2 2 1 称为混合样本方差 其中 就有假定进一步 nn SnSn S nnt nnS YX T w w );1n, 1n(F /S /S F)1( . ),(NY,Y),(NX,X. 3 21 2 2 2 2 2 1 2 1 2 22 iid n1 2 11 iid n 1 2 1 则且两样本独立 若 第18页/共22页 例1：设总体XN(10,32), X1， ，Xn是它的一个样