83双曲线及其标准方程1

1、 定义 图 象 方 程 焦 点 a.b.c的 关系 y o x F1 F2 y o F1F2 |MF1|+|MF2|=2a（2a|F1F2|） a2=b2+c2 F ( c,0) F(0, c) o F1 F2 ) 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x ) 0( 1 2 2 2 2 ba b x a y o 双曲线的定义双曲线的定义: 平面内与两定点平面内与两定点F F1 1， ，F F2 2的距离的差 的距离的差 的绝对值等于常数的绝对值等于常数2a 2a 的的 点的轨迹叫做双曲线点的轨迹叫做双曲线。 )( 21F F小于 F1,F2 -焦点焦点 |MFMF1 1| - |MF|

2、- |MF2 2| = 2a| = 2a |F|F1 1F F2 2| -| -焦距焦距 . F2 . F1 M y o x 注意：对于双曲线定义须注意：对于双曲线定义须 抓住两点：抓住两点：一是平面内的一是平面内的 动点到两定点的距离之差动点到两定点的距离之差 的绝对值是一个常数；的绝对值是一个常数；二二 是这个常数要小于是这个常数要小于| |F F1 1F F2 2| | M 请思考？请思考？ 1、平面内与两定点的距离的差等于常数、平面内与两定点的距离的差等于常数 2a（小于（小于| |F F1 1F F2 2| | ）的轨迹是什么？）的轨迹是什么？ 2、平面内与两定点的距离的差的绝对值等

3、于、平面内与两定点的距离的差的绝对值等于 常数（等于常数（等于| |F F1 1F F2 2| | ）的轨迹是什么？）的轨迹是什么？ 3、平面内与两定点的距离的差的绝对值等于、平面内与两定点的距离的差的绝对值等于 常数（大于常数（大于| |F F1 1F F2 2| | ）的轨迹是什么？）的轨迹是什么？ 双曲线的一支双曲线的一支 是在直线是在直线F1F2上且上且 以以F1、F2为端点向外的两条射线为端点向外的两条射线 不存在不存在 相关结论：相关结论： 1、当|MFMF1 1|-|MF|-|MF2 2|= 2a|F|= 2a|F|= 2a |F1 1F F2 2| |时时, ,M点的轨迹不存在

4、点的轨迹不存在 4、当、当|MFMF1 1|-|MF|-|MF2 2|= 2a=0|= 2a=0时，时， P点轨迹是双曲线点轨迹是双曲线 其中当其中当| |MFMF1 1|-|MF|-|MF2 2|= 2a|= 2a时，时，M点轨迹是与点轨迹是与F2对对 应的双曲线的一支；应的双曲线的一支； 当当|MF|MF2 2| | - - |MF|MF1 1|= 2a|= 2a时，时，M 点轨迹是与点轨迹是与F1对应的双曲线的一支对应的双曲线的一支. M点轨迹是在点轨迹是在 直直 线线F F1 1F F2 2上且以上且以F1和和F2为端点向外的两条射线。为端点向外的两条射线。 M点的轨迹是线段点的轨迹是

5、线段F F1 1F F2 2 的垂直平分线的垂直平分线 。 x y o 设设M（x , y）,双曲线的焦双曲线的焦 距为距为2c（c0）,F1(-c,0),F2(c,0) 常数为常数为2a F1 F2 M 即即 (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 = + 2a_ 以以F1,F2所在的直线为所在的直线为X轴，轴， 线段线段F1F2的中点的中点o o为原点建立直角为原点建立直角 坐标系坐标系 1. 建系建系. . 2.设点设点 3.列式列式|MF1| - |MF2|= 2a 如何求这优美的曲线的方程？如何求这优美的曲线的方程？ 4.4.化简化简. . F1 F2x O y aycx

6、ycx2)()( 2222 2 22 2 22 )(2)(ycxaycx 222 )(ycxaacx )()( 22222222 acayaxac 222 bac )0,0(1 2 2 2 2 ba b y a x 焦点在焦点在y轴上的双曲线轴上的双曲线 的标准方程的标准方程 想一想想一想 F2 F1 y x o )0, 0( 1 2 2 2 2 ba b x a y F1(0,-c), F2(0,c) 222 bac , 焦焦 点点 位置确定：位置确定： 椭圆看分母大小椭圆看分母大小 双曲线看双曲线看x2、y2 的系数正负的系数正负 焦点在焦点在y轴上的双曲线的图象轴上的双曲线的图象 是什么

7、？标准方程怎样求？是什么？标准方程怎样求？ x2与与y2的系数符号，决定焦的系数符号，决定焦 点所在的坐标轴，当点所在的坐标轴，当x2,y2哪哪 个系数为正，焦点就在哪个个系数为正，焦点就在哪个 轴上，双曲线的焦点所在位轴上，双曲线的焦点所在位 置与分母的大小无关。置与分母的大小无关。 注：注： 例例1、已知双曲线的焦点为已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲双曲 线上一点到焦点的距离差的绝对值等于线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6，则，则 (1) a=_ , c =_ , b =_ (2) 双曲线的标准方程为双曲线的标准方程为_ (3)双曲线上一点，双曲线上一点， |PF

8、1|=10, 则则|PF2|=_ 354 1 169 22 yx 4或或16 | |PF1| - |PF2| | = 6 例例2、已知双曲线两个焦点的坐标为、已知双曲线两个焦点的坐标为F1( - 5 , 0)、 F2(5 , 0),双曲线上一点双曲线上一点P到到F1、F2的距离的差的距离的差 的绝对值等于的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。，求双曲线的标准方程。 解：因为双曲线的焦点在解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的轴上，所以设它的 2a=6 2a=6 2c=10 2c=10 a=3 c=5 a=3 c=5 b b2 2= 5= 52 2- 3- 32 2= 16 = 16 所求双曲线

9、的标准方程为所求双曲线的标准方程为 )00(1 2 2 2 2 ba b y a x 标准方程为标准方程为 1 169 2 2 2 2 yx 例例3：k 1,则关于则关于x、y的方程的方程(1- k )x2+y2=k2- 1 所表示的曲线是所表示的曲线是 （ ) 解：原方程化为：解：原方程化为： A、焦点在、焦点在x轴上的椭圆轴上的椭圆 C、焦点在、焦点在y轴上的椭圆轴上的椭圆 B、焦点在、焦点在y轴上的双曲线轴上的双曲线 D、焦点在、焦点在x轴上的双曲线轴上的双曲线 k0k0 k k2 2+1 0 1+k 0+1 0 1+k 0 方程的曲线为焦点在方程的曲线为焦点在y y轴上的双曲线。轴上的

10、双曲线。 故故 选（选（B） 1 11 2 2 2 kk yx 课堂练习：课堂练习： 1、已知点、已知点F1(- 8, 3 )、F2(2 ,3)，动点，动点P满足满足 | |PFPF1 1| - |PF| - |PF2 2|= 10|= 10，则，则P P点的轨迹是点的轨迹是( )( ) A A、双曲线、双曲线 B B、双曲线一支、双曲线一支 C C、直线、直线 D D、一条射线、一条射线 2 2、若椭圆、若椭圆 与双曲线与双曲线 的焦点相同的焦点相同, ,则则 a = a = )0(1 4 2 2 2 a y a x 1 23 22 yx 3 D 3 3、说明下列方程各表示什么曲线。、说明下列方程各表示什么曲线。 4) 3() 3() 1 ( 2222 yxyx 5) 3() 3() 2( 2222 yxyx 6)3()3()3( 2222 yxyx 方程表示的曲线是双曲线方程表示的曲线是双曲线 方程表示的曲线是双曲线的右支方程表示的曲线是双曲线的右支 方程表示的曲线是方程表示的曲线是x轴上分别以轴上分别以F1和和F2为端点，为端点， 指向指向x轴的负半轴和正半轴的两条射线。轴的负半轴和正半轴的两条射线。 课堂小结