高一数学（122同角三角函数的基本关系）

1、1.2.2 1.2.2 同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系 1.2 1.2 任意角的三角函数任意角的三角函数 问题提出问题提出 1.1.任意角的正弦、余弦、正切函数分别任意角的正弦、余弦、正切函数分别 是如何定义的？是如何定义的？ 2.2.在单位圆中，任意角的正弦、余弦、在单位圆中，任意角的正弦、余弦、 正切函数线分别是什么？正切函数线分别是什么？ MP=sinMP=sin， OM=cosOM=cos， AT=tanAT=tan. . sinycosx tan(0) y x x P P O O x x y y M M A A T T 3.3.对于一个任意角对于一个任意角，sinsin

2、，coscos， tantan是三个不同的三角函数，从联系是三个不同的三角函数，从联系 的观点来看，三者之间应存在一定的内的观点来看，三者之间应存在一定的内 在联系，我们希望找出这种同角三角函在联系，我们希望找出这种同角三角函 数之间的基本关系，实现正弦、余弦、数之间的基本关系，实现正弦、余弦、 正切函数的互相转化，为进一步解决三正切函数的互相转化，为进一步解决三 角恒等变形问题提供理论依据角恒等变形问题提供理论依据 知识探究（一）：知识探究（一）：基本关系基本关系 22 1MPOM 22 sincos1 思考思考1 1：如图，设如图，设是一个任意角，它是一个任意角，它 的终边与单位圆交于点的

3、终边与单位圆交于点P P，那么，正弦，那么，正弦 线线MPMP和余弦线和余弦线OMOM的长度有什么内在联的长度有什么内在联 系？由此能得到什么结论？系？由此能得到什么结论？ P P O O x x y y M M 1 1 思考思考2 2：上述关系反映了角上述关系反映了角的正弦和的正弦和 余弦之间的内在联系，根据等式的特点，余弦之间的内在联系，根据等式的特点， 将它称为将它称为平方关系平方关系. .那么当角那么当角的终边的终边 在坐标轴上时，上述关系成立吗？在坐标轴上时，上述关系成立吗？ O Ox x y y P P P P 22 sincos1 思考思考3 3：设角设角的终边与单位圆交于点的终

4、边与单位圆交于点 P P（x x，y y），根据三角函数定义，有），根据三角函数定义，有 ， ， ， 由此可得由此可得sinsin，coscos，tantan满足什满足什 么关系？么关系？ sinycosxtan(0) y x x sin tan cos 思考思考4 4：上述关系称为上述关系称为商数关系商数关系，那么商，那么商 数关系成立的条件是多么？数关系成立的条件是多么？ () 2 akkZ 同一个角的正弦、余弦的平方和等于同一个角的正弦、余弦的平方和等于1 1， 商等于这个角的正切商等于这个角的正切. . 思考思考5 5：平方关系和商数关系平方关系和商数关系是反映同一是反映同一 个角的三

5、角函数之间的两个基本关系，个角的三角函数之间的两个基本关系， 它们都是恒等式，如何用文字语言描述它们都是恒等式，如何用文字语言描述 这两个关系？这两个关系？ sin tan cos 22 sincos1 知识探究（二）：知识探究（二）：基本变形基本变形 22 sincos1 思考思考1 1：对于平方关系对于平方关系 可作哪些变形？可作哪些变形？ 22 sincos1 22 sin1cos, 22 cos1 sin, 2 (si ncos )12si ncos ,aaaa+=+ 2 (si ncos )12si ncos ,aaaa-=- 1cossi n , si n1cos aa aa +

6、= - 1si ncos . cos1si n aa aa + = - 思考思考2 2：对于商数关系对于商数关系 可作可作 哪些变形？哪些变形？ sin tan cos si ncostan ,aaa= sin cos. tan 思考思考3 3：结合平方关系和商数关系，结合平方关系和商数关系， 可得到哪些新的恒等式？可得到哪些新的恒等式？ 2 2 1 cos, 1tan a a = + 2 2 2 tan si n. 1tan a a a = + 思考思考4 4：若已知若已知sinsin的值，如何求的值，如何求coscos 和和tantan的值？的值？ 思考思考5 5：若已知若已知tantan

7、的值，如何求的值，如何求sinsin 和和coscos的值？的值？ sin tan. cos 理论迁移理论迁移 例例1 1 求证：求证： 4222 sinsincoscos1. 例例2 2 已知已知 , ,求求 ， 的值的值. . 3 sin 5 costan 若若是第三象限角，则是第三象限角，则 ， . . 4 cos 5 3 tan 4 若若是第四象限角，则是第四象限角，则 ， . 4 cos 5 3 tan 4 例例3 3 已知已知tantan=2=2，求下列各式的值，求下列各式的值. . （1 1） ；（；（2 2） 1 si ncosaa 11 1si n1si naa + -+ 5

8、 2 5 2 例例4 4 已知已知 ， 求求 的值的值. . 1 si ncos 2 qq+= 44 si ncosqq+ 小结作业小结作业 1.1.同角三角函数的两个基本关系是对同一个同角三角函数的两个基本关系是对同一个 角而言的，由此可以派生出许多变形公式，角而言的，由此可以派生出许多变形公式， 应用中具有灵活、多变的特点应用中具有灵活、多变的特点. . 2.2.利用平方关系求值时往往要进行开方运算，利用平方关系求值时往往要进行开方运算， 因此要根据角所在的象限确定三角函数值符因此要根据角所在的象限确定三角函数值符 号，必要时应就角所在象限进行分类讨论号，必要时应就角所在象限进行分类讨论 3.3.化简、求值、证明，是三角变换的三个基本问化简、求值、证明，是三角变换的三个基本问