人教版B版（2019）高中数学必修第二册：第四章 指数函数、对数函数与幂函数 综合测试（附答案与解析）

1、第四章综合测试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）A.B.C.D.2.已知函数，则（ ）A.B.0C.1D.23.设函数，若，则实数的取值范围为（ ）A.B.C.D.4.已知函数，若，则的大小关系为（ ）A.B.C.D.5.已知，是上的减函数，那么实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.6.已知，且，若，则函数的图像为（ ）ABCD7.给出下列命题：函数为偶函数；函数在上单调递增；函数在区间上单调递减；函数与的图像关于直线对称。其中正确命题的个数是（ ）A.1B.2C.3D.48

2、.设函数，则下列命题中不正确的是（ ）A.函数的定义域为B.函数是增函数C.函数的图像关于直线对称D.函数的值域是9.某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：先将水加热到，水温与时间近似满足一次函数关系；用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度与时间近似满足函数关系式（为常数）.通常这种热饮在时，口感最佳，某天室温为，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为（ ）A.B.C.D.10.已知函数若互不相等，且，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全

3、部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）11.给出下列结论，其中正确的结论是（ ）A.函数的最大值为B.已知函数（且）在上是减函数，则实数的取值范围是C.在同一平面直角坐标系中，函数与的图像关于直线对称D.已知定义在上的奇函数在内有1 010个零点，则函数的零点个数为2 02112.定义“正对数”：若，则下列结论中正确的是（ ）A.B.C.D.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上）13.已知为定义在上的奇函数，且当时，则的值为_.14.某新能源汽车公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2018年（记为第1年）全年投入研发资金5 300万元

4、，在此基础上，以后每年投入的研发资金比上一年增长8%，则该公司全年投入的研发资金开始超过7 000万元的年份是_年.（参考数据：，）15.已知函数（且）在上的值域是.若函数的图像不经过第一象限，则的取值范围为_.16.若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是_.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）（1）计算的值；（2）计算：.18.（12分）已知幂函数在上单调递增，函数.（1）求实数的值，并简要说明函数的单调性；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.19.（12分）目前，我国一些高耗能低效产业（煤炭、钢铁、有色金属、炼化等）的产能过剩

5、将严重影响生态文明建设，“去产能”将是一项重大任务.某企业从2018年开始，每年的产能比上一年减少的百分比为.（1）设年后（2018年记为第1年）年产能为2017年的倍，请用，表示；（2）若，则至少要到哪一年才能使年产能不超过2017年的？（参考数据：，）20.（12分）已知函数，.（1）当时，求函数的值域；（2）若函数的最小值记为，求的最大值.21.（12分）已知函数（其中均为常数，且）的图像经过点与点.（1）求的值；（2）设函数，若对任意的，存在，使得成立，求实数的取值范围.22.（12分）已知函数是偶函数.（1）求的值；（2）设，若函数与的图像有且只有一个公共点，求实数的取值范围；（3）

6、若函数，是否存在实数使得最小值为0，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.第四章综合测试答案解析一、1.【答案】D【解析】由，得，所以，所以.2.【答案】C，.3.【答案】A【解析】函数在定义域内单调递增，不等式等价于，解得，故选A.4.【答案】C【解析】知函数为偶函数，且在为增函数，所以，即.5.【答案】B【解析】由题意得解得，故选B.6.【答案】A【解析】由题意，得，令，则，解得或（舍去），所以，即，所以的图像即为的图像，故选A.7.【答案】C【解析】由，知为偶函数，因此正确；由知在上单调递增，因此正确；当时，它在上是增函数，因此错误；由知与的图像关于直线对称，因此正确，故选C.8.【答

7、案】B【解析】A中命题正确，恒成立，函数的定义域为；B中命题错误，函数在时是增函数，在时是减函数；C中命题正确，函数的图像关于直线对称：D中命题正确，由可得，函数的值域为.故选B.9.【答案】C【解析】由题图知，当时，函数图像是一条线段，当时，因为函数的解析式为，所以将和代入解析式，得解得故函数的解析式为.令，解得，所以最少需要的时间为.10.B根据已知画出函数的草图如下。不妨设，解得，由图可知，.二、1l.【答案】CD【解析】A错，令，则的最大值为1，的最小值为；B错，函数（且）在上是减函数，解得；C正确，在同一平面直角坐标系中，函数与的图像关于直线对称；D正确，定义在上的奇函数在内有1 0

8、10个零点，在内有1 010个零点，且.函数的零点个数为.故选CD.12.【答案】AD【解析】对于A，当，时，有，从而,，所以；当，时，有，从而，所以.所以当，时，所以A正确。对于B，当，时满足，而，所以，所以B错误。对于C，令，则，显然，所以C错误.对于D，由“正对数”的定义知，当时，有，当，时，有，从而，所以；当，时，有，从而，所以；当，时，有，从而，所以；当时，因为，所以，所以.综上所述，当时，所以D正确，故选AD.三、13.【答案】【解析】因为为奇函数，所以.14.【答案】2023【解析】设从第年开始超过7 000万元，则，即，取，又，所以开始超过7 000万元的年份是2023年.15

9、.【答案】【解析】由题意得，当时，在上单调递减，无解；当时，在上单调递增，解得.，又的图像不经过第一象限，解得，即的取值范围是.16.【答案】【解析】对一切恒成立等价于在上恒成立，即对一切恒成立.，即，即，解得.四、17.【答案】（1）解：原式.（2）解：原式.18.【答案】（1）解：因为是幂函数，所以，解得或.又因为在上单调递增，所以，即，所以，则因为与均在上单调递增，所以函数在上单调递增.（2）易知的定义域为.因为，所以是奇函数，所以不等式可变为.由（1）知在上单调递增，所以，解得.19.【答案】（1）解：设2017年的产能为1.依题意得，.（2）设年后年产能不超过2017年的，则，即，解

10、得，即，且，的最小值为14，.至少要到2031年才能使年产能不超过2017年的.20.【答案】（1）解：当时，由得.因此，当时，；当时，.故的值域为.（2）解：，.令，则，易知为二次函数，其图像的对称轴为直线.当时，；当是，；当时，.所以所以.21.【答案】（1）解：由已知得消去得，即，又且，所以，.（2）由（1）知函数的解析式为，的解析式为.当时，函数单调递增，其值域为.令，当时，于是，易得.设函数，则函数的值域为，根据条件知，于是解得.所以实数的取值范围为.22.【答案】（1）由函数是偶函数可知，即对一切恒成立，.（2）函数与的图像有且只有一个公共点，方程有且只有一个实根，方程有且只有一个实根.令，则方程有且只有一个正根.当时。方程即为，解得，不符合题意；当时，若方程有两个相等的正根，则，即，