高二数学：数的概念的发展(教学方案)

1、高二数学：数的概念的发展（教学方案）Mathematics is a tool subject, it is the basis for learning other subjects, and it is also asubject that improves peoples judgment, analysis, and comprehension abilities（数学 教案）学校：年级：教师：教案设讣/精品文档/文字可改教学文本 I DOCUMENT TEMPLATE高二数学教案高二数学：数的概念的发展(教学方案)教材简介:数学是一种工具学科，是学习其他学科的基础，同时还是提高人的i

2、 i判断能力、分析能力、理解能力的学科，本教学设计资料适用于高中高二数学| I科目，学习本教材的学生可以提高自身技能,本文档是按照教材进行修订编写，| I可以放心的进行教材使用。iIII教学目标(1) 了解数的概念发展的过程和动力；1. 教材分析(1)知识结构首先简明扼要地对已经学过的数集因生产与科学发展的需要而 逐步扩充的过程作了概括；然后说明，数集的每一次扩充，对数学学 科本身来说，也解决了原有数集屮某种运算不是永远可以实施的矛 盾，使得某些代数方程在新的数集中能够有解。从而引出虚数单位i 及其性质，接着，将数的范围扩充到复数，并指出复数后来由于在科 学技术中得到应用而进一步发展。自然数整

3、数有理数无理数第2页教学文本 I DOCUMENT TEMPLATE 高二数学教案 从解方程的需要推进数的发展负数分数无理数虚数（2）重点、难点分析（一）熟悉数的概念的发展的动力从正整数扩充到整数，从整数扩充到有理数，从有理数扩充到实 数，数的概念是不断发展的，其发展的动力来自两个方面。 解决实际问题的需要由于计数的需要产生了自然数；为了表示具有相反意义的量的 需要产生了整数；由于测量的需要产生了有理数；由于表示量与量的 比值（如正方形对角线的长度与边长的比值）的需要产生了无理数 （既无限不循环小数）o 解方程的需要。为了使方程 有解，就引进了负数；为了使方程 有解，就要引进 分数;为了使方程

4、有解，就要引进无理数。引进无理数后，我们已经能使方程 永远有解，但是，这并没有彻 底解决问题，当时，方程在实数范围内无解。为了使方程（）有解,教学文本 I DOCUMENT TEMPLATE 高二数学教案就必须把实数概念进一步扩大，这就必须引进新的数。（二）注重数的概念在扩大时要遵循的原则第一,要能解决实际问题中或数学内部的矛盾。现在要解决的就是在实数集屮，方程无解这一矛盾。第二，要尽量地保留原有数集（现在是实数集）的性质，非凡是它的运算性质。（三）正确确熟悉数集Z间的关系 有理数就是一切形如的数，其中，所以有理数集实际就是分数集. “循环节不为o的循环小数也都是有理数”. 殳有理数二分数二循

5、环小数, 实数二小数. 自然数集n、整数集z、有理数集q、实数集I*、复数集c之间有如下的包含关系：2. 教法建议（1）注重知识的连续性：数的发展过程是漫长的，每一次发展都来自于生产、生活和计算等需要,所以在教学时要注重使学生熟悉到教学文本 I DOCUMENT TEMPLATE 高二数学教案数的发展的两个动力.(2)创造良好的课堂气氛：由于本节课要了解扩充实数集的必要性，所以，教师可以多向学生介绍一些数的发展过程中的一些科学史,课堂学习的气氛可以营造成一种师生共同研究、共同交流的气氛。数的概念的发展教学目的1. 使学生了解数是在人类社会的生产和生活中产生和发展起来的，了解虚数产生历史过程；2

6、. 理解并把握虚数单位的定义及性质；3. 把握复数的定义及复数的分类.教学重点虚数单位的定义、性质及复数的分类.教学难点虚数单位的性质.教学过程一、复习引入教学文本 I DOCUMENT TEMPLATE 高二数学教案原始社会，由于计数的需要产生了自然数的概念，随着文字的产 生和发展，岀现了记数的符号，进而建立了自然数的概念。自然数的 全体构成自然数集.为了表示具有相反意义的量引进了正负数以及表示没有的零， 这样将数集扩充到有理数集有些量与量之间的比值，如用正方形的边长去度量它的对角线 所得的结果，无法用有理数表示，为解决这种矛盾，人们又引进了无 理数，有理数和无理数合并在一起,构成实数集.数

7、的概念是人类社会的生产和生活中产生和发展起来的，数学 理论的研究和发展也推动着数的概念的发展，数已经成为现代社会 生活和科学技术时刻离不开的科学语言和工具.二、新课教学（一）虚数的产生我们知道，在实数范围内，解方程 是无能为力的，只有把实数集 扩充到复数集才能解决对于复数Q、b都是实数）来说，当时，就是 实数；当时叫虚数，当时，叫做纯虚数.可是，历史上引进虚数，把实教学文本 I DOCUMENT TEMPLATE 高二数学教案 数集扩充到复数集可不是件轻易的事，那么，历史上是如何引进虚数 的呢？16世纪意大利米兰学者卡当(15011576)在1545年发表的重 要的艺术一书中，公布了三次方程的

8、一般解法,被后人称之为“卡 当公式”.他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家，并且在 讨论是否可能把10分成两部分，使它们的乘积等于40时，他把答案 写成，尽管他认为和这两个表示式是没有意义的、想象的、虚无 飘渺的，但他还是把10分成了两部分，并使它们的乘积等于40.给出 “虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔(15961650),他在几何 学(1637年发表)中使“虚的数与“实的数”相对应，从此，虚数 才流传开来.数系中发现一颗新星一一虚数，于是引起了数学界的一片困惑, 很多大数学家都不承认虚数.德国数学家菜不尼茨(1664-1716)在 17XX年说：“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所

9、，它大概是存在 和虚妄两界中的两栖物”.瑞士数学大师欧拉(1707-1783)说：“一 切形如，习的数学式子都是不可能有的，想象的数，因为它们所表教学文本 I DOCUMENT TEMPLATE 高二数学教案示的是负数的平方根.对于这类数，我们只能断言，它们既不是什么 都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么， 它们纯属虚幻.”然而，真理性的东西一定可以经得住时间和空间的 考验，最终占有自己的一席之地.法国数学家达兰贝尔(.17171783) 在1747年指岀，假如按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算， 那么它的结果总是的形式6、b都是实数)(说明：现行教科书屮没有 使用记

10、号 而使用).法国数学家棣莫佛(16671754)在1730年发现 公式了，这就是闻名的探莫佛定理.欧拉在1748年发现了有名的关 系式，并且是他在微分公式(1777年)一文中第一次用i来表示 1的平方根,首创了用符号i作为虚数的单位“虚数”实际上不是想 象出来的，而它是确实存在的.挪威的测量学家未塞尔(17451818) 在1779年试图给于这种虚数以直观的几何解释,并首先发表其作法， 然而没有得到学术界的重视.德国数学家高斯(17771855)在18XX年公布了虚数的图象表 示法，即所有实数能用一条数轴表示，同样，虚数也能用一个平面上 的点来表示.在直角坐标系屮，横轴上取对应实数a的点a,

11、纵轴上取教学文本 I DOCUMENT TEMPLATE 高二数学教案 对应实数b的点b,并过这两点引平行于坐标轴的直线，它们的交点C 就表示复数象这样，由各点都对应复数的平面叫做“复平面”，后 来又称“高斯平面”.高斯在1831年，用实数组(a, b)代表复数，并 建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也象实数一样地“代数 化”.他又在1832年第一次提出了 “复数”这个名词,还将表示平面 上同一点的两种不同方法一一直角坐标法和极坐标法加以综合.统 一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中，并把数轴上的点 与实数一一对应，扩展为平面上的点与复数一一对应.高斯不仅把复 数看作平面上的点，而

12、且还看作是一种向量，并利用复数与向量之间 -一对应的关系，阐述了复数的几何加法与乘法.至此，复数理论才 比较完整和系统地建立起来了.经过许多数学家长期不懈的努力，深刻探讨并发展了复数理论, 才使得在数学领域游荡了 2XX年的幽灵一一虚数揭去了神秘的面纱, 显现出它的本来面目，原来虚数不虚呵.虚数成为了数系大家庭屮一 员，从而实数集才扩充到了复数集.随着科学和技术的进步，复数理论已越来越显出它的重要性，它 教学文本 I DOCUMENT TEMPLATE 高二数学教案 不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义，而且为证实机翼上 升力的基本定理起到了重要作用，并在解决堤坝渗水的问题屮显示 了它的威力，也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据.(二)、虚数单位1. 规定i叫虚数单位，并规定：(1)(2) 实数与它进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立2. 形如()的数叫复数,常用一个字母z表示，即()注：(1)()叫复数的代数形式；(2) 以后说复数都有；(3) a叫复数()的实部记作；b叫复数()的虚部，用表示；(4) 全体复数的所成的集合叫复数集用c表示.例1.指出下列复数的实部、虚部：(