二次函数整章复习

1、2021-7-20 二二 次次 函函 数数 复习课复习课 2021-7-20 一、二次函数概念及应用一、二次函数概念及应用 1、二次函数的概念：函数、二次函数的概念：函数y= (a、b、c为常数，为常数， _)叫做二次函数。叫做二次函数。 ax2+bx+c a 2、二次函数的图象是一条、二次函数的图象是一条 。 抛物线抛物线 3、二次函数、二次函数y=x-2x-3的的 a=_, b=_, c=_ 1-2-3 4、 二次函二次函y=3x+2x的的a=_b=_c=_ 5、二次函数、二次函数y=4x-7的的a=_b=_c=_ 320 40-7 即二次函数的标准式即二次函数的标准式 y=ax2+bx+

2、c(a0) 2021-7-20 1、下列函数哪些是二次函数？哪些不是为什么？、下列函数哪些是二次函数？哪些不是为什么？ 453) 6 ( 4 3 ) 5 ( 6 ) 4 ( 2 ) 3 (1 2 1 ) 2 (32) 1 ( 22 xxyxy x y x yxyxy 2、下列函数中，哪些是二次函数？、下列函数中，哪些是二次函数？ (1)y=3x-1 (2)y=3x2 (3)y=3x3+2x2 (4)y=2x2-2x+1 (5)y=x-2+x (6)y=x2-x(1+x) 是二次函数的有（是二次函数的有（2）、（）、（4） 2021-7-20 2、判断：下列函数是否为二次函数，如果是，指出其中常

3、数、判断：下列函数是否为二次函数，如果是，指出其中常数 a、b、c的值的值. y1-3x2 (2)yx(x5) (3)y x2x1 (4) y3x(2x) 3x2 2 1 (5)y x42x21 (6)yax2bxc 是二次函数的有（是二次函数的有（1）、（）、（2）、（）、（3） a=-3,b=0,c=1 a=1,b=-5,c=0 a= ,b=-1,c=1 2 1 y=6x-3x2+3x2=6x 没有没有a强调不能为强调不能为0 2021-7-20 例例1: 关于关于x的函数的函数 是二次函是二次函 数数, 求求m的值的值. mm xmy 2 ) 1( 解: 由题意可得 01 2 2 m m

4、m 时，函数为二次函数。当 解得， 2 2 m m 注意注意:二次函数的二次项系数不能为零二次函数的二次项系数不能为零 2021-7-20 1.若函数若函数 为二次函数，求为二次函数，求 m的值。的值。 mm2 2 1)x(my 解：因为该函数为二次函数，解：因为该函数为二次函数， 则则 )2(01 )1(2 2 2 m mm 解（解（1）得：）得：m=2或或-1 解（解（2）得：）得：11mm且 所以所以m=2 2021-7-20 2.若若 是二次函数，则是二次函数，则 m的值为的值为 ； 5) 1( 3) 1( 1 2 xmxmy m -1-1 3.若函数若函数 是二次函数，则的值是二次函

5、数，则的值 为为 ； kk xky 2 )1( -2 2021-7-20 4.若若 是二次函是二次函 数，则这个二次函数的解析式为数，则这个二次函数的解析式为 6) 2() 3( 4 2 xmxmy mm 645 2 xxy 6 64 4x x5 5x x所所以以解解析析式式为为y y 2 23 3舍舍去去，只只取取mm所所以以mm 0 0, ,3 3）（mm3 3时时，比比例例系系数数k k而而当当mm 2 2mm3 3, ,解解得得：mm 2 24 4mmmm 函函数数是是二二次次函函数数解解： 2 2 2 2 2021-7-20 c c满满足足什什么么条条件件时时b b, ,当当a a,

6、 , c c是是常常数数) )，b b, ,c c( (其其中中a a, ,b bx xa ax x5 5. .函函数数y y 2 2 01a）解：（ 0, 0) 2 ( ba 0, 0, 0) 3 (cba (2)它是一次函数？它是一次函数？ (3)它是正比例函数？它是正比例函数？ (1)它是二次函数它是二次函数? 2021-7-20 二、函数的图象及性质二、函数的图象及性质 抛抛 物物 线线 开口方向开口方向 对称轴对称轴 顶点坐标顶点坐标 最值最值增减增减 性性 y = ax2 y = ax2 + k y = a(x h )2 y = a(x h )2 + k a0向上向上 a0向下向下

7、 a0向上向上 a0向上向上 a0向上向上 a0向下向下 a0向下向下 a0向下向下 y轴轴 直线直线x=h 直线直线x=h y轴轴( 0 , 0 ) ( 0 , k ) ( h , 0 ) ( h , k ) 2021-7-20 y = ax2 y = ax2 + k y = a(x h )2 y = a( x h )2 + k 上下平移上下平移 左右平移左右平移 上下平移上下平移 左右平移左右平移 结论结论: 一般地一般地,抛物线抛物线 y = a(x-h)2+k与与y = ax2形形 状相同状相同,位置不同。位置不同。（a值决定抛物线的形状）值决定抛物线的形状） 各种形式的二次函数的关系

8、各种形式的二次函数的关系 2021-7-20 二次函数二次函数y=a(xh)2+ky=ax2+bx+c 开口开口 方向方向 对称轴对称轴 顶点坐标顶点坐标 最最 值值 a0 a0 增增 减减 性性 a0 a0 二次函数的二次函数的y= ax2+bx+c的性质的性质 a0 开口向上 a 0 开口向下 x=h (h , k) y最小=k y最大=k 2a2a b b x x 4a4a b b4ac4ac , , 2a2a b b 2 2 y最小= 4a4a b b4ac4ac 2 2 y最大= 4a4a b b4ac4ac 2 2 在对称轴左边， x y ；在对称轴右边， x y 在对称轴左边，

9、x y ；在对称轴右边， x y 2021-7-20 形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，且a0 ）的函数，叫做 二次函数。 二次函数的一般式：y=ax2+bx+c（a0） 二次函数顶点式： y=a（x-h)2+k（a0） 二次函数的交点式：y=a（x-x1)(x-x2)（a0) 二次函数的几种关系式二次函数的几种关系式 2021-7-20 1、二次函数、二次函数y=2(x-3)+7的图象顶点坐标是的图象顶点坐标是 ， 对称轴是对称轴是 ； 3、二次函数、二次函数 图象的顶点坐标和图象的顶点坐标和 对称轴方程为（）对称轴方程为（） A、（1，-2）， x1 B、（1，2)，x1 C

10、、（-1，-2），x-1 D、（-1，2），x-1 2)1( 2 xy D A 2、抛物线、抛物线 的对称轴及顶点坐标分别的对称轴及顶点坐标分别 是（是（ ） A、y轴，（，轴，（，-4） B、x，（，），（，） C、x轴，（，）轴，（，）D、y轴，（，）轴，（，） 34 2 xy （3,7） x=3 2021-7-20 4、函数函数 的开口方的开口方 向向 ，顶点坐标是，顶点坐标是 ，对，对 称轴是称轴是 . 当当x 时时.y随随x的增大而的增大而减小。减小。 当当x 时时.y有最有最为为 . 3 2 2 1 2 xxy 向上向上 1 (1,) 6 1x 直 线 小小 1 6 6 1 ) 1

11、( 2 1 2 xy 顶点坐标公式 2021-7-20 5.将函数将函数y= x2+6x+7进行配方正确的结果应为进行配方正确的结果应为 （ ） 2)3(A. 2 xy 2)3(B. 2 xy 2)3(C. 2 xy 2)3(D. 2 xy C 2021-7-20 练练 习习 1.抛物线抛物线y=x2向上平移向上平移 2 个单位，再向右平移个单位，再向右平移 3 个单位可得到抛物线个单位可得到抛物线 。 116 2 xxy 2)3( 2 xy 抛物线的平移规律：抛物线的平移规律： 上加下减上加下减 左加右减左加右减 抛物线的平移一般都要写成顶点式抛物线的平移一般都要写成顶点式y = a(x h

12、 )2 + k 2021-7-20 2、将抛物线、将抛物线y=-3x2-1向上平移向上平移2个单位个单位, 再向右平移再向右平移 3个单位个单位, 所得的抛物线的表达所得的抛物线的表达 式为式为 ， 若把抛物线若把抛物线y=x2+bx+c向左平移向左平移3个单位个单位, 再向上平移再向上平移2个单位个单位,得抛物线得抛物线y=x2-2x+2, 则则b= ，c= , 22 3(3)1 231826yxxx -8 15 思考题思考题 2021-7-20 2)3( 2 1 2 xy抛物线抛物线 关于关于x轴对称的抛物线轴对称的抛物线 解析式是解析式是 解题思路解题思路: 将原抛物线写成顶点式将原抛物

13、线写成顶点式y=a(x-h)2+k 写出顶点写出顶点(h,k) 写出顶点写出顶点(h,k)关于关于x轴的点的坐标轴的点的坐标(h,-k) 则关于则关于x轴对称的抛物线解析式是轴对称的抛物线解析式是y=-a(x-h)2-k 关于关于x轴对称轴对称: 关于关于y轴对称轴对称: 将原抛物线写成顶点式将原抛物线写成顶点式y=a(x-h)2+k 写出顶点写出顶点(h,k) 写出顶点写出顶点(h,k)关于关于y轴的点的坐标轴的点的坐标(-h,k) 则关于则关于x轴对称的抛物线解析式是轴对称的抛物线解析式是y=a(x+h)2+k 2)3( 2 1 2 xy yyxx , yyxx, 2021-7-20 已知

14、抛物线已知抛物线yx22xm. (2)若抛物线与若抛物线与y轴交于正半轴，则轴交于正半轴，则m_0； （填（填“”、“”或或 “”） (1)若抛物线经过坐标系原点，则若抛物线经过坐标系原点，则m_0； （填（填“”、“”或或 “”） (4)若抛物线与若抛物线与x轴有两个交点，则轴有两个交点，则m_。 (3)若抛物线与若抛物线与x轴有一个交点，则轴有一个交点，则m_. 1 1 2021-7-20 三、二次函数三、二次函数y=ax+bx+c（a0）的图象特征与）的图象特征与 a 、b、c的关系。的关系。 项目项目字母符号字母符号图象的特征图象的特征 a a 开口向上开口向上 开口向下开口向下 b

15、b 对称轴是对称轴是y y轴轴 对称轴在对称轴在y y轴左侧轴左侧 对称轴在对称轴在y y轴右侧轴右侧 c c 经过原点经过原点 与与y y轴正半轴相交轴正半轴相交 与与y y轴负半轴相交轴负半轴相交 ab0 c0 a0 a0 2021-7-20 二次函数二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，则在下列的图象如图所示，则在下列 各不等式中成立的个数是各不等式中成立的个数是_ 1 -1 0 x y abc0 a+b+c b 2a+b=0 2 b -4ac 0 开口方向开口方向:向上向上a0;向下向下a0;在在y轴负半轴轴负半轴c0;唯一唯一b2-4ac=0;没有没有b2-4ac0 ； b2-4

16、ac0； b+2a0. 其中所有正确结论的序号是（其中所有正确结论的序号是（ ） A. B. C. D. a0，c0 A 中考链接中考链接 2021-7-20 5.如图，在同一坐标系中，函数如图，在同一坐标系中，函数y=ax+b与与 y=ax2+bx(ab0)的图象只可能是（的图象只可能是（ ） x y o A B x y o C x y o D x y o D 2021-7-20 四、求二次函数解析式的方法四、求二次函数解析式的方法 2 1yaxbxc、一般式： 2 2()ya xhk、顶点式： 已知顶点坐标、对称轴或最值已知顶点坐标、对称轴或最值 已知任意三点坐标已知任意三点坐标 12 (

17、)()ya xxxx3、交点式： 已知抛物线与已知抛物线与x轴的交点坐标轴的交点坐标(x1,0)，(x2,0) 2021-7-20 1.1.已知二次函数的顶点是（已知二次函数的顶点是（-1-1，2)2)且经过点（且经过点（3 3，9 9）, , 求函数的解析式求函数的解析式; ; 2.2.已知二次函数经过点（已知二次函数经过点（0 0，-3-3） （1 1，-2-2）和点）和点 （3 3，0),0),求解析式求解析式; ; 3.3.抛物线抛物线 y yx x2 24x4xc c 的顶点在的顶点在 x x 轴，则轴，则 c c 的值是（）的值是（） A A、0 0 B B、4 4 C C、4 4

18、 D D、2 2 4.4.已知二次函数的经过（已知二次函数的经过（0 0，1 1）、（）、（2 2，1 1）和（）和（3 3，4 4），求该二次函数的），求该二次函数的 解析式。解析式。 求函数的解析式求函数的解析式 2 21 1) )( (x x 1 16 6 7 7 y y 2 2 解析式为 解析式为解析式为y=2x2-7x-3 B 设二次函数解析式为设二次函数解析式为y=kx2+bx+c; 求得二次函数解析式为求得二次函数解析式为y=x2-2x+1; 2021-7-20 求函数的解析式 5.（2008云南）已知在同意个直角坐标系中，反比例函数 与二次函数y= 的图像交于点A(-1,m)

19、（1）求m,c的值 ； （2）求二次函数的对称轴和顶点坐标。 cxx2 2 x y 5 m=-5 c=-2 1 1 2 2a a b b 二二次次函函数数的的对对称称轴轴为为x x 1 1）- -（1 1，二二次次函函数数的的顶顶点点坐坐标标为为 2021-7-20 二次函数二次函数y= ax2+bx+c的图象如图所示，求此的图象如图所示，求此 函数解析式。函数解析式。 -6 3 2 -2 （1）方法一方法一 （一般式）（一般式） 方法二方法二 （顶点式）（顶点式） 方法三方法三 （交点式）（交点式） （2）知识拓展知识拓展 练练 习习 2021-7-20 一般式：一般式： 解：依题意把点（2

20、，0）（-6，0）（0，3） 可得： 4a+2b+c=0 c=3 36a-6b+c=0 解得： a= b= -1 c=3 所以二次函数的解析式为： 4 1 3 4 1 2 xxy 2021-7-20 顶点式：顶点式： 解：因为二次函数的对称轴为解：因为二次函数的对称轴为x=-2,x=-2,所以可设函数的解析式为：所以可设函数的解析式为： y=a(x+2)y=a(x+2)2 2+k+k，把点（，把点（2 2，0 0）（）（0 0，3 3）代入可得：）代入可得： 16a+k=016a+k=0 4a+k=3 4a+k=3 解得解得 a=a= k=4 k=4 所以二次函数的解析式为：所以二次函数的解析

21、式为： 3 4 1 2 xxy 4 1 2021-7-20 交点式：交点式： 解：因为抛物线与解：因为抛物线与x x轴相交的两个点的坐标为（轴相交的两个点的坐标为（2 2，0 0）（）（-6-6，0 0 ），可设该函数的解析式为：），可设该函数的解析式为：y=a(x+6)(x-2),y=a(x+6)(x-2),把点（把点（0 0，3 3）代）代 入得：入得： 3= -12a3= -12a 解得：解得：a=a= 所以二次函数的解析式为：所以二次函数的解析式为： 4 1 3 4 1 2 xxy 2021-7-20 2 3 -2 -6 拓展：拓展： 若抛物线若抛物线y1 = a1x2+b1x+c1

22、与以上抛物线关于与以上抛物线关于x轴对称，轴对称， 试求试求y1 = a1x2+b1x+c1的解的解 析式。析式。 6.二次函数二次函数y= ax2+bx+c的图象如图所示，求的图象如图所示，求 此函数解析式。此函数解析式。 练练 习习 3 4 1 2 1 xxy 3 4 1 2 xxy 2021-7-20 中考链接：中考链接： 1. 已知抛物线的部分图象如图已知抛物线的部分图象如图,则抛物线的对称轴为则抛物线的对称轴为 直线直线x= ,满足满足y0的的x的取值范围是的取值范围是 ,将将 抛物线向抛物线向 平移平移 个单位个单位,则得到抛物线则得到抛物线 56 2 xxy 31X5 下下 1

23、2021-7-20 中考链接：中考链接： 2. 根据图1中的抛物线， 当x 时，y随x的增大而增大， 当x 时，y随x的增大而减小， 当x 时，y有最大值。 图1 2 0 6 x y 2 2 2 2021-7-20 3. 如图，半圆如图，半圆A和半圆和半圆B均与均与y轴相切于点轴相切于点O，其，其 直径直径CD、EF均和均和x轴垂直，以轴垂直，以O为顶点的两条抛为顶点的两条抛 物线分别经过点物线分别经过点C、E和点和点D、F，则图中阴影部，则图中阴影部 分的面积是分的面积是 。 中考链接：中考链接： 2021-7-20 中考链接：中考链接： 4. 张大伯准备用张大伯准备用40m长的木栏围一个矩

24、形的羊圈，为了节约材长的木栏围一个矩形的羊圈，为了节约材 料同时要使矩形的面积最大，他利用了自家房屋一面长料同时要使矩形的面积最大，他利用了自家房屋一面长25m的的 墙，设计了如图一个矩形的羊圈。墙，设计了如图一个矩形的羊圈。 请你求出张大伯矩形羊圈的面积；请你求出张大伯矩形羊圈的面积； 请你判断他的设计方案是否合理？如果合理，直接答合理；请你判断他的设计方案是否合理？如果合理，直接答合理； 如果不合理又该如何设计？并说明理由。如果不合理又该如何设计？并说明理由。 2021-7-20 练习：练习： 5.如图，隧道的截面由抛物线如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形和矩形ABCD组成，组成， 矩形

25、的长矩形的长BC为为8米，宽米，宽AB为为2米，以米，以BC所在的直线为所在的直线为x 轴，以轴，以BC的中垂线为的中垂线为y轴，建立直角坐标系。轴，建立直角坐标系。y轴是抛轴是抛 物线的对称轴，顶点物线的对称轴，顶点E到坐标原点的距离为到坐标原点的距离为6米。米。 （1）求抛物线的解析式；）求抛物线的解析式； （2）现有一货车卡高现有一货车卡高4.2米，宽米，宽 2.4米，这辆车能否通过该隧道？米，这辆车能否通过该隧道？ 请说明理由。请说明理由。 （3）若该隧道内设双行道，）若该隧道内设双行道， 该辆车还能通过隧道吗？请说明理由。该辆车还能通过隧道吗？请说明理由。 6 4 1 2 xy 能通

26、过能通过 能通过能通过 2021-7-20 （2 2）现有一货车卡高）现有一货车卡高4.24.2米，宽米，宽2.42.4米，这辆车能否通过该隧道？请说明理由。米，这辆车能否通过该隧道？请说明理由。 解：解： 把把x=1.2x=1.2代入代入 中，解得中，解得y=5.64y=5.64。 4.24.25.645.64 这辆车能通过该隧道这辆车能通过该隧道 货货 车车 6 4 1 2 xy 2021-7-20 (3)(3)若该隧道内设双行道，现有一货车卡高若该隧道内设双行道，现有一货车卡高4.24.2米，宽米，宽2.42.4米，这辆车能否通过该隧米，这辆车能否通过该隧 道？请说明理由。道？请说明理由

27、。 货货 车车 解：解： 把把x=2.4x=2.4代入代入 中，解得中，解得y =4.56y =4.56。 4.24.24.564.56 这辆车能通过该隧道这辆车能通过该隧道 6 4 1 2 xy 2021-7-20 二次函数二次函数 y=2x 、 的图象与二次函数的图象与二次函数 y=x 的图象有什么相同和不同？的图象有什么相同和不同？ 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 -2-112 2 2 xy 2 1 2xy 2 3 2 1 xy 2 2 1 xy a0 二次函数的一个特性二次函数的一个特性 2021-7-20 O x y 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 5 4 3 2

28、 1 5 4 3 2 1 2 2 xy 2 3 2 1 xy 2 1 2xy a0 2021-7-20 课堂小结：课堂小结： 1 1、二次函数的概念：、二次函数的概念： 二次函数的概念：函数二次函数的概念：函数y= (ay= (a、b b、c c为常为常 数，其中数，其中 ) )叫做二次函数。叫做二次函数。 2 2、二次函数的图象：、二次函数的图象： 二次函数的图象是一条二次函数的图象是一条抛物线抛物线。 3 3、二次函数的性质：、二次函数的性质： 包括抛物线的包括抛物线的三要素三要素，最值最值，增减性增减性。 4 4、二次函数的实践应用、二次函数的实践应用（数形结合数形结合） 具体体现在解决

29、一些实际应用题中。具体体现在解决一些实际应用题中。 ax2+bx+c a 2021-7-20 二次函数二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是的图象顶点坐标是_ 对称轴是对称轴是_。 （，-） 1 25 2 4 x= 1 2 一般式一般式y=ax+bx+c 顶点式顶点式y=a(x-h)+k 二次函数的解析式二次函数的解析式: a bac a b xa 4 4 ) 2 ( 2 2 y=ax+bx+c (a0) 对称轴对称轴:直线直线x=h 顶点顶点:(h,k) a bac a b a b x 4 4 , 2 2 2 顶点坐标是： ，对称轴为：直线 二次函数的图象二次函数的图象:是一条抛物线是一条抛物线 二次函数的图象的性质二次函数的图象的性质: 开口方向开口方向; 对称轴对称轴; 顶点坐标顶点坐标; 增减性增减性; 最值最值 2021-7-20 二次函数二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是的图象顶点坐标是_ 对称轴是对称轴是_。 （，-） 1 25 2 4 x= 1 2 画二次函数的大致图象画二次函数的大致图象: 画对称轴画对