1.2.2复合函数的求导法则

1、复习回顾复习回顾 1. 基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式: .1c 2.x 3. (sin )x 5. () x a 6. () x e 7. (log) a x 8. (ln )x 0 1 x cos x4. (cos )x sin x ln ; x aa ; x e 1 ; lnxa . 1 x 1.fxg x 2.fxg x ( ) 3. ( ) f x g x 2. 导数的运算法则导数的运算法则: ( )cf x 推论推论: ;fxgx fx g x 2 0 . fx g xfx gx g x g x cfx ;fx gx 1 ., .1 % 5284 :80100 . 1

2、00 , : 1 90%;2 98%. x c xx x 例例日日常常生生活活中中的的饮饮用用水水通通常常是是 经经过过净净化化的的 随随着着水水纯纯净净度度的的提提高高 所所需需净净化化费费用用不不断断增增加加已已知知将将 吨吨水水 净净化化到到纯纯净净度度为为时时所所需需费费用用 单单位位 元元 为为 求求净净化化到到下下列列纯纯度度时时 所所需需净净化化费费用用 的的瞬瞬时时变变化化率率 5284 () 100 cx x 5284 , 100 c x x 解解: 净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数. 5284 () 100 cx x 52

3、84 , 100 c x x 解解: 净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数. 2 5284 (1) 90 10090 c (100 x)2 5284(100 x)5284 (100 x) = 05284 (1) (100 x)2x 2 5284 (100) = =52.84, 所以所以,纯净度为纯净度为900/0时时,费用的瞬时变化率是费用的瞬时变化率是52.84元元/吨吨. cx 2 2 5284 98 10098 c 1321, 2 5284 (1) 90 10090 c (100 x)2 5284(100 x)5284 (100 x) =

4、05284 (1) (100 x)2x 2 5284 (100) = =52.84, 所以所以,纯净度为纯净度为900/0时时,费用的瞬时变化率是费用的瞬时变化率是52.84元元/吨吨. cx 2 2 5284 98 10098 c 1321, 所以所以,纯净度为纯净度为980/0时时,费用的瞬时变化率是费用的瞬时变化率是1321元元/吨吨. 纯净度为纯净度为980/0时时,费用的瞬时变化率约是费用的瞬时变化率约是 纯净度为纯净度为900/0时的时的25倍倍. . , .% , %.cc ,. xf 度度也也越越快快而而且且净净化化费费用用增增加加的的速速 需需要要的的净净化化费费用用就就越越

5、多多水水的的纯纯净净度度越越高高明明 这这说说倍倍的的左左右右时时净净化化费费用用变变化化率率 为为度度净净纯纯约约是是大大率率化化费费用用的的变变化化净净时时右右 左左它它表表示示纯纯净净度度为为 计计算算可可知知述述由由上上慢慢的的快快变变化化点点附附近近此此在在 表表示示函函数数在在某某点点处处的的导导数数的的大大小小函函数数 2 25 59 90 0 9 98 89 90 02 25 59 98 8 复合函数的求导法则复合函数的求导法则 1.复合函数的定义复合函数的定义: 2.复合函数的求导法则复合函数的求导法则: 一般的一般的, 对于两个函数对于两个函数y=f(u)和和u=g(x),

6、 复合函数复合函数y=f(g(x)的导数与的导数与y=f(u)和和u=g(x) 的导数间的关系为的导数间的关系为 x y x y表示表示y对对x的导数的导数 如果通过变量如果通过变量u, 那么称这个函数为函数那么称这个函数为函数y=f(u)和和u=g(x)的的复合函数复合函数. 记作记作y=f(g(x). u y x u y可以表示成可以表示成x的函数的函数, 2 0.051 2 123;2; 3sin,. x yxye yx 例例求求下下列列函函数数的的导导数数 其其中中均均为为常常数数 2 2 123yxyu解解函函数数可可以以看看作作函函数数 2 ()u 812.x () u e 23.

7、ux和和的的复复合合函函数数由复合函数求导法则有由复合函数求导法则有: xux yyu =2u2=4u (2)函数函数y=e 0.05x1可以看作函数 可以看作函数y=eu 和和u=0.05x1的复合函数的复合函数. 由复合函数求导法则有由复合函数求导法则有: xux yyu 0.051 x u e ( 0.05) 0.051 0.05. x e (23)x 2 0.051 2 123;2; 3sin,. x yxye yx 例例求求下下列列函函数数的的导导数数 其其中中均均为为常常数数 由复合函数求导法则有由复合函数求导法则有: xux yyu (3)函数函数 sinyx 和和 的复合函数的

8、复合函数.ux sinyu 可以看作函数可以看作函数 (sin )u cosu x cos.x 32 423;5ln(21); (6)(2) (31) yxyx yxx 由复合函数求导法则有由复合函数求导法则有: xux yyu (4)函数函数 1 2 (21)yx 和和 的复合函数的复合函数.23ux 1 2 yu 可以看作函数可以看作函数 1 2 ()u 1 2 1 2 u 23 x2 1 2 u 由复合函数求导法则有由复合函数求导法则有: xux yyu 和和 的复合函数的复合函数.21ux lnyu 可以看作函数可以看作函数 (ln )u 1 u 21 x 2 2 . 21x (5)函

9、数函数ln(21)yx 1 23x 32 423;5ln(21); (6)(2) (31) yxyx yxx ,由复合函数求导法则有由复合函数求导法则有:(6)函数函数 32 (2) (31)yxx 32 (2) (31) yxx 32 (2) (31)xx 32 (2)(31) xx 2 3(2)x 2 (31)x 3 (2)x 2(31)x3 2 3(2)x 2 (31)x 3 6(2) (31)xx 30 xy 例例3.已知曲线已知曲线y=x2x1上一点上一点P(1,3),求点求点P处的切线处的切线 方程方程. 例例4.求过点求过点P(2,0)且与曲线且与曲线y=x2x1相切的直线方程相

10、切的直线方程. P(2,0) A(a,b) 21yx b=a2a1 21 PA ka 2 PA b k a (1) 21 2 b a a b=2a25a2 (2) =a2a12a25a2a24a1=0 解出解出a即可。即可。 P(m,n) 2 1 2 2 5.:-22 :-. (1),. (2)0,0,. Cyxx Cyxaxb a b abab 例例 设设抛抛物物线线与与抛抛物物线线 在在它它们们的的交交点点处处的的切切线线互互相相垂垂直直 求求之之间间的的关关系系 若若求求的的最最大大值值 . 5 2 ab 解解(1): 设设C1与与C2交点交点P(m,n), 2 -22yxx 2 -2yx 2 yxaxb 2yxa m(2-2)ma ( 2)14m2 2(a2)m= 1 2a mm 2 -22mamb 2 2m2 (a2)m= b 2 1 2a = 2b 4 解解(2): 2 ab ab