量子力学教程周世勋课件徐援3108年新

1、第三章第三章 量子力学量子力学中的力学量中的力学量 1 1 表示力学量的算符表示力学量的算符 2 2 动量算符和角动量算符动量算符和角动量算符 3 3 电子在库仑场中的运动电子在库仑场中的运动 4 4 氢原子氢原子 5 5 厄米算符的正交性厄米算符的正交性 6 6 算符与力学量的关系算符与力学量的关系 7 7 量算符的对易关系量算符的对易关系 两个力学量同时有确定两个力学量同时有确定 值的条件值的条件 不确定度关系不确定度关系 8 8 力学量期望值随时间的变化力学量期望值随时间的变化 守恒定律守恒定律 概序：量子力学的六个基本假设概序：量子力学的六个基本假设 | (r)| | (r)|2 2d

2、 d 表示在表示在 r r 点处，体积元点处，体积元d d 中找到中找到 粒子的几率粒子的几率 2 Schr2 Schrdinger dinger 方程方程 1量子力学的量子力学的第一个基本第一个基本假设：可以用波函数假设：可以用波函数 全面全面 描述微观粒子的运动状态描述微观粒子的运动状态 量子力学的量子力学的第二个基本第二个基本假设：波函数假设：波函数满足满足SchrSchrdingerdinger 方程方程 定态定态 3 3力学量和算符力学量和算符 凡是经典力学量，都有相应的对应算符凡是经典力学量，都有相应的对应算符 量子力学的量子力学的第三个基本第三个基本假设：假设：力学量（实验上可以

3、观力学量（实验上可以观 测的量）可以用一个算符来表示测的量）可以用一个算符来表示 本征方程本征方程 量子力学的量子力学的第四个基本第四个基本假设：假设：凡是满足本征方程的任凡是满足本征方程的任 何何a值就是力学量值就是力学量A的一个可能取值的一个可能取值 能量本征方程能量本征方程 推广到任意力学量推广到任意力学量 I I。波函数有限条件，要求。波函数有限条件，要求 z z为实数；为实数； IIII。波函数单值条件，要求当。波函数单值条件，要求当转过转过22角角, ,回到原位时回到原位时 波函数值相等，即：波函数值相等，即： 5 5态叠加原理态叠加原理 量子力学的量子力学的第五个基本第五个基本假

4、设：假设：波函数符合线形叠加原理波函数符合线形叠加原理 2 2 若若1 1 ，2 2 ,., ,., n n ,. ,.是体系的一系列可能的状态，是体系的一系列可能的状态， 则这些态的线性叠加则这些态的线性叠加 = C= C1 11 1 + C + C2 22 2 + .+ C + .+ Cn nn n + . + . ( (其中其中 C C1 1 , C , C2 2 ,.,C ,.,Cn n ,. ,.为复常数为复常数) )也是体系的一个可能也是体系的一个可能 状态。状态。 3 3 处于处于态的体系，部分的处于态的体系，部分的处于 1 1态，部分的处于态，部分的处于2 2.， 部分的处于部

5、分的处于n n，. 1 1 物理系统的某种状态物理系统的某种状态，总可以认为是某些其他状态，总可以认为是某些其他状态 （1 1 ，2 2 ,., ,., ）线性叠加而成，即）线性叠加而成，即 = C= C1 11 1 + C + C2 22 2 + .+ C + .+ Cn nn n + . + . 量子力学的量子力学的第六个基本第六个基本假设：假设：代表力学量的代表力学量的 算符算符(可观测量可观测量) 一定是厄密算符一定是厄密算符 6 6 量子力学的第六个基本假设：量子力学的第六个基本假设：代表力学代表力学 量的算符量的算符(可观测量可观测量) 一定是厄密算符一定是厄密算符 1 1 表示力

6、学量的算符表示力学量的算符 （1 1）算符相等）算符相等 线性算符的性质线性算符的性质 （2 2）单位算符）单位算符 算符是指作用在一个函数上得出另算符是指作用在一个函数上得出另 一个函数的运算符号一个函数的运算符号 （3 3）算符之和）算符之和 例如：体系例如：体系Hamilton 算符算符 交换率交换率 结合率结合率 （4 4）算符之积）算符之积 （5 5）对易关系）对易关系 显然二者结果不相等，显然二者结果不相等， 所以所以不对易不对易 若算符若算符、的乘积的乘积仍为算符，即仍为算符，即 ( ) = () =则则 = ，其中其中是任意波是任意波 函数函数 若若 ，则称，则称 与与 对易。

7、若对易。若 ，则，则 称称 与与 不对易。不对易。 （6 6）逆算符）逆算符 定义定义: :设设= ,= ,能够唯一的解出能够唯一的解出, , 则可定义则可定义 算符算符 的逆的逆 -1 -1 为 为: : -1 -1 = = 性质性质 : : 若算符若算符 之逆之逆 -1 -1 存在 存在, ,则则 -1 -1 = = -1 -1 = I , = I , 证证: = : = -1 -1 = = -1 -1 ( ) = ( ) = -1 -1 因为因为是任意函数是任意函数, ,所以所以 -1 -1 = I = I成立成立. . 同理同理, , -1 -1 = I = I 亦成立亦成立. . 算

8、符算符的复共轭算符的复共轭算符* *就是把就是把表表 达式中的所有量换成复共轭达式中的所有量换成复共轭. . 例如例如: : 坐标表象中坐标表象中 （8 8）内积内积 （9 9）转置算符转置算符 利用波函数标准条件利用波函数标准条件: : 当当|x| |x| 时时, 0 0。 证：证： 转置算符定义转置算符定义 所以所以 同理可证同理可证: : 证证: : 转置算符定义转置算符定义 分配率分配率 转置算符定义转置算符定义 函数交换位置函数交换位置 转置算符定义转置算符定义 看作一个波函数 10 10 线形算符线形算符 作用于波函数并且符合下列运算法则的算符称为线作用于波函数并且符合下列运算法则

9、的算符称为线 性算符性算符 例如：例如： 开方算符、取复共轭就不是线性算符。开方算符、取复共轭就不是线性算符。 其中其中c c1 1, c, c2 2是任意复常数是任意复常数,1 1,2 2是任意两个波函数。是任意两个波函数。 注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这 是态叠加原理的反映。是态叠加原理的反映。 11.11.厄密算符厄密算符 性质性质 I: : 两个厄密算符之和仍是厄密算符。两个厄密算符之和仍是厄密算符。即即 若若 + = , + = 则则 ( + +)+ = + = ( + +) 性质性质 II: 两个厄密算符之积一般不是厄密

10、算符两个厄密算符之积一般不是厄密算符, , 除非二算符对易。除非二算符对易。 ( )+ = + + = 仅当仅当 , , 对易时对易时, , ( )+ = 才成立。才成立。 性质性质 ：厄密算符的本征值是实数厄密算符的本征值是实数 厄密算符的对应的任何两个波函数正交厄密算符的对应的任何两个波函数正交 性质性质 : r,p,T,V,H,L等力学量算符都是厄密算等力学量算符都是厄密算 符。符。 厄密算符的本征值是实数厄密算符的本征值是实数 厄密算符的对应的任何两个波函数正交厄密算符的对应的任何两个波函数正交 共轭算符共轭算符 厄米算符厄米算符 动量算符为动量算符为: : 3.2 3.2 动量算符和

11、角动量算符动量算符和角动量算符 相应的本征函数和本征值为相应的本征函数和本征值为: : 1 1、动量算符、动量算符 （1）动量本征方程）动量本征方程 其分量形式：其分量形式： I. 求解求解动量本征方程的解动量本征方程的解 采用分离变量法，令：采用分离变量法，令： 代入动量本征方程代入动量本征方程 且等式两边除以且等式两边除以 p，得：，得： 1. Dirac 函数函数 定义：定义： 或等价的表示为：对在或等价的表示为：对在x=xx=x0 0 邻域邻域 连续的任何函数连续的任何函数 f f（x x）有：）有： 0 x0 x II. 归一化系数的确定归一化系数的确定 函数亦可写成函数亦可写成Fo

12、urierFourier积分积分 形式：形式： 0 x0 x 令令 k=pk=px x/ / , dk= dp, dk= dpx x/ / , , 则则 0 x0 x p53 如果取如果取 |c|2 (2 )3=1则则 p(r)就可归一化为就可归一化为-函数。函数。 2. 归一化系数归一化系数 x y z o L 据上所述，具有连续谱的本征函数据上所述，具有连续谱的本征函数, ,如动量的本征如动量的本征 函数是不能归一化为函数是不能归一化为1 1的，而只能归一化为的，而只能归一化为-函数。函数。 但是，若加上适当的但是，若加上适当的 边界条件，例如把物理边界条件，例如把物理 过程限制在一个边长

13、为过程限制在一个边长为 L L的大箱子里的大箱子里, ,则可以用则可以用 以前的归一化方法来归以前的归一化方法来归 1 1，这种方法称为箱归，这种方法称为箱归 一化。一化。 (2(2）箱归一化）箱归一化 x y z A A o L 在箱子边界的对应点在箱子边界的对应点A, AA, A上加上其波函数相等的条件，上加上其波函数相等的条件， 此边界条件称为周期性边界条件。此边界条件称为周期性边界条件。 周期性边界条件周期性边界条件 x y z o B B L 这表明，动量本征值只能取分这表明，动量本征值只能取分 立值。换言之，加上周期性边立值。换言之，加上周期性边 界条件后，连续谱变成了分立界条件后

14、，连续谱变成了分立 谱。谱。 所以所以 c = L-3/2， 归一化的本征函数为：归一化的本征函数为： 波函数变为波函数变为 这时归一化系数这时归一化系数 c c可由归一化条件来确定：可由归一化条件来确定： 讨论：讨论： （1 1）箱归一化实际上相当于如图所示情况：）箱归一化实际上相当于如图所示情况： (a) A (b) A (c) y x （2 2）由）由 p px x = 2n = 2nx x / L, p / L, py y = 2n = 2ny y / L, p / L, pz z = 2n = 2nz z / L, / L, 可以看出，相邻两本征值的间隔可以看出，相邻两本征值的间隔

15、p = 2p = 2 / L / L 与与 L L 成反成反 比。当比。当 L L 选的足够大时，本征值间隔可任意小，当选的足够大时，本征值间隔可任意小，当 L L 时，本征值变成为连续谱。时，本征值变成为连续谱。 （3 3）从这里可以看出，只有分立谱才能归一化为一，连续）从这里可以看出，只有分立谱才能归一化为一，连续 谱归一化为谱归一化为 函数函数 （4 4） p p(r) (r) exp expiEt/iEt/ 就是自由粒子波函数，在它所就是自由粒子波函数，在它所 描写的状态中，粒子动量有确定值，该确定值就是动量算符描写的状态中，粒子动量有确定值，该确定值就是动量算符 在这个态中的本征值。

16、在这个态中的本征值。 角动量角动量L L的算符表示的算符表示 2 2、角动量算符、角动量算符 球坐标球坐标下的角动量算符下的角动量算符 x z 球球 坐坐 标标 r y 这表明：这表明： r = r (x, y, z) x = x (r, , ) 角动量算符在球坐标中的表达式为：角动量算符在球坐标中的表达式为： 已证：厄密算符的本征值为实数，属于不同本征已证：厄密算符的本征值为实数，属于不同本征 值的两个本征函数相互正交值的两个本征函数相互正交 3.5 3.5 厄密算符本征函数的正交性厄密算符本征函数的正交性 量子力学的量子力学的第六个基本第六个基本假设：假设：代表力学量的代表力学量的 算符算

17、符(可观测量可观测量) 一定是厄密算符，它们的本征一定是厄密算符，它们的本征 函数组成函数组成完全系完全系。 3.6 3.6 算符与力学量的关系算符与力学量的关系 正交归一化条件正交归一化条件 由交归一化条件由交归一化条件 例例: :对于任何归一化的波函数对于任何归一化的波函数 (r),(r),证明粒子动证明粒子动 能的平均值可以表示成能的平均值可以表示成 量子力学中最基本的量子力学中最基本的 对易关系。对易关系。 为了表述简洁，运算便利和研究量子为了表述简洁，运算便利和研究量子 力学力学 与经典力学的关系，人们定义了对易括号与经典力学的关系，人们定义了对易括号 (量子括号量子括号)： 3.6

18、 3.6 量算符的对易关系量算符的对易关系 两个力学量同时两个力学量同时 有确值的条件有确值的条件 不确定度关系不确定度关系 不难证明对易括号满足如下对易关系：不难证明对易括号满足如下对易关系： 1) , = - , 2) ,+ = , + , 3) , = ,+ , 4) ， = , + , 5) , + , + , , = 0 。 和和 , = ,+ ,可得可得 角动量算符的对易关系角动量算符的对易关系 证：证： 和和 , = ,+ ,可得可得 证：证： 和和 , = ,+ ,可得可得 已已证：证： ， = , + , , = ,+ , 两个力学量算符的共同本征值两个力学量算符的共同本征值

19、 如果如果 的一个本征值有的一个本征值有f f个线性独立的本征函数，个线性独立的本征函数， 则称则称 是是f f度简并的度简并的 不确定关系不确定关系 两对易力学量算符则同时有确定值；不对易两力两对易力学量算符则同时有确定值；不对易两力 学量算符，一般来说，不存在共同本征函数，不同学量算符，一般来说，不存在共同本征函数，不同 时具有确定值。时具有确定值。 问 题问 题 两个不对易算符所对应的力学量在某一状两个不对易算符所对应的力学量在某一状 态中究竟不确定到什么程度？态中究竟不确定到什么程度？ 不确定不确定关系关系 : : 测量值与平均值的偏差的大小。测量值与平均值的偏差的大小。 不确定度关系

20、的推导不确定度关系的推导 ( (算符的厄米性）算符的厄米性） （称为测不准关系）（称为测不准关系） 如果如果 不等于零，则不等于零，则 和和 的均方偏差不会同时为的均方偏差不会同时为 零，它们的乘积要大于一正数，这意味着零，它们的乘积要大于一正数，这意味着 和和 不能不能 同时测定。同时测定。 由测不准关系由测不准关系 看出：若两个力学量看出：若两个力学量 算符算符 和和 不对易，则一般说来不对易，则一般说来 与与 不能同不能同 时为零，即时为零，即 和和 不能同时测定（但注意不能同时测定（但注意 的特殊态可能是例外），或者说它们不能有共同本征的特殊态可能是例外），或者说它们不能有共同本征 态

21、。反之，若两个厄米算符态。反之，若两个厄米算符 和和 对易，则可以找对易，则可以找 出这样的态，使出这样的态，使 和和 同时满足，即可同时满足，即可 以找出它们的共同本征态。以找出它们的共同本征态。 故有故有 坐标和动量的测不准关系坐标和动量的测不准关系 或写成或写成 简记为简记为 表明：表明： 和和 不能不能 同时为零，同时为零， 坐标坐标 的均的均 方差越小，方差越小， 则与它共轭则与它共轭 的动量的动量 的均方偏差的均方偏差 越大，亦就越大，亦就 是说，坐标是说，坐标 愈测量准，愈测量准， 动量就愈测动量就愈测 不准。不准。 电子源电子源 感感 光光 屏屏 电子源电子源 感感 光光 屏屏 坐标确定坐标确定, , 动量测不准动量测不准 动量确定动量确定, , 坐标测不准坐标测不准 角动量的测不准关系角动量的测不准关系 当粒子处在当粒子处在 的本征态时的本征态时 不确定性原理是波粒二象性的反映， 与是否测量无关 测不准关系的应用测不准关系的应用 例例1 利用测不准关系估算线性谐振子的零点能利用测不准关系估算线性谐振子的零点能E E0 0 谐振子的能量谐振子的能量