第三章-各向异性弹性力学基础

1、2021/3/101 第三章第三章 各向异性弹性力学基础各向异性弹性力学基础 3-1 各向异性弹性力学基本方程各向异性弹性力学基本方程 xyzxyzzyx xyzxyzzyx wvu , , , 应力分量： 应变分量： 位移分量：基本未知量：基本未知量： 2021/3/102 基本方程：基本方程： 1、平衡方程、平衡方程 0 , ijij f)3 , 2 , 1,(ji 分量形式为：分量形式为： 0 Y zyx yzyyx 0 X zyx xz xy x 0 Z zyx z zy zx 2021/3/103 )( 2 1 ,ijjiij uu 2、几何关系（小变形）、几何关系（小变形） 分量形

2、式为：分量形式为： z v y w yz x w z u zx z w z y u x v xy x u x y v y 2021/3/104 xzzx zxxz 2 2 2 2 2 0 , ljkikiljijklklij )3 , 2 , 1,(lkji 变形协调方程：变形协调方程：六个应变分量应该满足的一六个应变分量应该满足的一 个关系，即个关系，即 6个独立等式：个独立等式： yxxy xyy x 2 2 2 2 2 zyyz yz z y 2 2 2 2 2 共有共有81个方程，但只有个方程，但只有6个是不同的，其余的个是不同的，其余的 不是恒等式就是由于不是恒等式就是由于 ij的对

3、称性而都是重复的对称性而都是重复 的。的。 2021/3/105 xzyxzy y zx yzxy 2 2)( zyxzyx x yzxy zx 2 2)( yxzyxz z xy zx yz 2 2)( 前三个分别是前三个分别是xy，yz，zx平面内的平面内的3个应变量间个应变量间 的协调关系；而后三者则分别是正应变和的协调关系；而后三者则分别是正应变和3个切个切 应变之间的协调关系。应变之间的协调关系。 2021/3/106 )( * STn iiij 在 )( * uii Suu在 jijijiji SC及)6 , 2 , 1,(ji jiij CC jiij SS 3、边界条件、边界条

4、件 力边界条件：力边界条件： 位移边界条件：位移边界条件： 4、各向异性本构方程（小变形）、各向异性本构方程（小变形） 刚度矩阵刚度矩阵柔度矩阵柔度矩阵 jiijjiij SCW 2 1 2 1 各向异性体的弹性应变能为：各向异性体的弹性应变能为： 2021/3/107 拉拉-拉耦合拉耦合 （ 泊 桑 效（ 泊 桑 效 应）应） 剪剪-剪耦剪耦 合合 拉 剪 耦拉 剪 耦 合合 66 55 44 33 22 11 C C C C C C 2021/3/108 6165154143132121111 SSSSSS 3-2 各向异性弹性力学的本构方程各向异性弹性力学的本构方程 一、完全各向异性（2

5、1个弹性常数） 其中其中Sij为柔度系数，为柔度系数， 4、 5和和 6即为剪应即为剪应 力力 23、 31和和 12。可见各向异性体一般具有耦。可见各向异性体一般具有耦 合现象：正应力引起剪应变，剪应力也可以合现象：正应力引起剪应变，剪应力也可以 引起正应变；反之亦然。引起正应变；反之亦然。 2021/3/109 二、有一弹性对称面（13个弹性常数） 弹性对称面弹性对称面：沿这些平面的对称方向弹性性：沿这些平面的对称方向弹性性 能是相同的。能是相同的。 材料主轴（或弹性主轴）材料主轴（或弹性主轴）：垂直于弹性对称：垂直于弹性对称 面的轴。面的轴。 2021/3/1010 利用两个方向下材料的

6、应变能密度表达式利用两个方向下材料的应变能密度表达式 应保持不变（即利用两个坐标系计算得到的单应保持不变（即利用两个坐标系计算得到的单 位体积应变能的结果是相同的）可以推得：位体积应变能的结果是相同的）可以推得： 2 44114 2 111 2SSW 0 14 S 41, 设仅有设仅有，即有，即有 41 而而 在在x3变向时要变号，为保证变向时要变号，为保证W相同，相同， 则有则有 2021/3/1011 0 0 56352515 46342414 SSSS SSSS 66 55 4544 3633 262322 16131211 0 0 00 00 00 S S SS SS SSS SSSS

7、 称对 同理：同理： 独立常数减少为独立常数减少为13个，即个，即 2021/3/1012 3361263333 3153232 2343131 ; 0 ; 0 ; SS S S 0 3 如果如果，其余应力分量为零，则有：，其余应力分量为零，则有： 此公式说明：当沿弹性主轴拉伸时，除纵向此公式说明：当沿弹性主轴拉伸时，除纵向 伸长、横向收缩外，还会引起与主轴垂直的伸长、横向收缩外，还会引起与主轴垂直的 面内剪应变，且弹性主轴方向不变。面内剪应变，且弹性主轴方向不变。 2021/3/1013 三、正交各向异性（三、正交各向异性（9 9个弹性常数）个弹性常数） 正交各向异性是指有三个互相正交的弹性

8、主轴正交各向异性是指有三个互相正交的弹性主轴 的情况。（有三个互相正交的弹性对称面）的情况。（有三个互相正交的弹性对称面） 321 ,xxx 取取为三个正交弹性主轴，如图所示：为三个正交弹性主轴，如图所示： 2021/3/1014 0 45362616 SSSS 由由a）、）、b）两坐标系中计算的应变能应该）两坐标系中计算的应变能应该 相同，而在两坐标系下：相同，而在两坐标系下： 12311231 , 6565 ,（即（即）变号，可得：）变号，可得： 即：即： 66 55 44 33 2322 131211 0 00 000 000 000 S S S S SS SSS 称对 2021/3/1

9、015 123123233112321 ,GGGEEE 由此可得由此可得：1）当采用材料主轴来描述正交异性）当采用材料主轴来描述正交异性 体时，没有任何拉剪耦合现象；体时，没有任何拉剪耦合现象；2）在非材料主）在非材料主 轴系里，正交异性材料仍有耦合现象。轴系里，正交异性材料仍有耦合现象。 纤维在横截面内纤维在横截面内 按矩形排列的单向纤按矩形排列的单向纤 维复合材料，宏观而维复合材料，宏观而 言则是一正交异性体。言则是一正交异性体。 共有共有9个弹性常数：个弹性常数： 2021/3/1016 jiij 1轴沿纤维方向，并有轴沿纤维方向，并有，而是，而是 i ji j ij EE ij 即即没

10、有对称性。没有对称性。 ij S可展开为：可展开为： 2021/3/1017 )1 (2 23 2 23 E G 四、横观同性（5个弹性常数） 纤维在横截面内随机排列的，宏观而言，纤维在横截面内随机排列的，宏观而言， 其在横向的所有方向的弹性性能相同，则称为其在横向的所有方向的弹性性能相同，则称为 横向同性。由于横向同性，则在横向同性。由于横向同性，则在2-3平面内应为平面内应为 各向同性，则有各向同性，则有 故只有故只有5个独立常数：个独立常数： 2121 ,EE 12 2312 ,GG 23 （或（或），）， （或（或） 2021/3/1018 66 66 44 222321 232221

11、 121211 00000 00000 00000 000 000 000 S S S SSS SSS SSS 由工程应变形式的展开式为：由工程应变形式的展开式为： 即：即： 2021/3/1019 ,E )(200000 0)(20000 00)(2000 000 000 000 1211 1211 1211 111212 121112 121211 SS SS SS SSS SSS SSS 五、各向同性（2个弹性常数） )1 (2 E G 2021/3/1020 12 31 23 12 31 23 2 1 3 1 3 2 3 2 1 3 2 1 2312 12321 1 )( 1 , G

12、E GGG EEE 2021/3/1021 jiij SW 2 1 0det , , 0 , 0 2221 1211 11 ij S SS SS S 六、弹性常数的取值范围 判定依据是非零应力状态下，材料的弹性判定依据是非零应力状态下，材料的弹性 应变能位正值，应变能应是应变（或应力）的应变能位正值，应变能应是应变（或应力）的 正定二次型。正定二次型。 Wi S为为的正定二次型的充要条件是矩阵的正定二次型的充要条件是矩阵 的所有主要主子式大于零，即：的所有主要主子式大于零，即： 2021/3/1022 0E 2 1 1 2 1 0 1、对于各向同性，可推得：、对于各向同性，可推得： 实际上一般为：实际上一