平面向量基本定理

1、 教学目标教学目标 要求学生掌握平面向量的基本定理，能用要求学生掌握平面向量的基本定理，能用 两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分 解为两个向量，了解平面基本定理的证明。解为两个向量，了解平面基本定理的证明。 教学重点教学重点 平面向量基本定理，应用向量基本定理解平面向量基本定理，应用向量基本定理解 决问题。决问题。 教学教学难点难点 对平面向对平面向 量基本定理的理解，应用定理解量基本定理的理解，应用定理解 决平面几何问题决平面几何问题 知识链接知识链接 如图，设如图，设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，是同一平面内两个不共线的向量， 试用试

2、用e1、e2表示向量表示向量, AB CD EF GH 12 23ee AB 12 4CD ee 12 44EF- ee12 25GH ee 设设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，是同一平面内两个不共线的向量， 该平面内给定的向量该平面内给定的向量a能用能用e1、e2来线性表示。来线性表示。 问题：（问题：（1）任何向量）任何向量a是否都可以用含有是否都可以用含有e1、 e2的式子来表示呢？的式子来表示呢？ （2）若向量）若向量a能够用能够用e1、e2表示，这种表示表示，这种表示 是否唯一？请说明理由是否唯一？请说明理由. 平面向量基本定理平面向量基本定理 如果如果e1、e2是平面内的两

3、个是平面内的两个不共线不共线向量，那向量，那 么对于这一平面内的么对于这一平面内的任一任一向量向量a，有且只有有且只有一一 对实数对实数a1、a2，使，使 1 122 aaaee 说明：说明： e1、e2是两个不共线的向量；是两个不共线的向量； a是平面内的任一向量；是平面内的任一向量； a1，a2实数，唯一确定实数，唯一确定. 探究探究: a1e1+a2e2=xe1+ye2, (xa1)e1+(ya2)e2=0 （存在性）（存在性） 唯一性唯一性： 我们把不共线向量我们把不共线向量e1，e2叫做这一平面内叫做这一平面内 所有向量的一组所有向量的一组基底基底，记为，记为e1，e2， a1e1+

4、a2e2叫做叫做向量向量a关于基底关于基底e1，e2的分的分 解式。解式。 例例2. 已知平行四边形已知平行四边形ABCD的两条对角线相交的两条对角线相交 于于M，设，设 ， ，试用基底，试用基底a，b 表示表示 ABa ADb , MA MB MC MD 例例 3. 已知已知A, B是是l上任意两点，上任意两点，O是是l外一点，外一点， 求证：对直线求证：对直线l上任一点上任一点P，存在实数，存在实数t，使，使 关于基底关于基底 的分解式为的分解式为 OP ,OA OB (1).OPt OAtOB 并且，满足该式的点并且，满足该式的点P 一定在一定在l上上 (1) 根据平面向量基本定理，同一

5、平面内任一根据平面向量基本定理，同一平面内任一 向量都可以用两个不共线的向量表示，再由已向量都可以用两个不共线的向量表示，再由已 知可得知可得 OPOAAP OAtAB () OAt OBOA (1) t OAtOB 设点设点P满足等式满足等式 ， 则则 ，即，即P在在l上上 1-OBOPOAt （ t） APABt 令令t= , 点点M是是AB的中点，则的中点，则 1 () 2 OMOAOB 1 2 由此可知由此可知,对直线对直线l上任意一点上任意一点P,一定存在唯一的实数一定存在唯一的实数t 满足向量等式满足向量等式(1);反之反之,对每一个实数对每一个实数t,在直线在直线l上都有上都有

6、唯一的一个点唯一的一个点P与之对应与之对应.向量等式向量等式(1)叫做直线叫做直线l的的向量向量 参数方程式参数方程式,其中实数其中实数t叫做叫做参变数参变数,简称简称参数参数. 与与 的系数之和是的系数之和是1 OA OB 特征：特征： 用途：用途： 判断点判断点P在直线在直线AB上，即是判定上，即是判定 三点共线的依据。三点共线的依据。 达标练习达标练习: 1、给出下面三种说法、给出下面三种说法： （1）一个平面内只有一对不共线的非零向量可）一个平面内只有一对不共线的非零向量可 作为表示该平面所有向量的基底；作为表示该平面所有向量的基底； （2）一个平面内有无数多对不共线非零向量可）一个平

7、面内有无数多对不共线非零向量可 作为表示该平面所有向量的基底；作为表示该平面所有向量的基底； （3）零向量不可作为基底的向量）零向量不可作为基底的向量 其中正确的说法是其中正确的说法是( ) A、(1)(2) B、(2)(3) C、(1)(3) D、(2) B 2.已知平行四边形已知平行四边形ABCD中中,M,N分别是分别是 DC,BC的中点且的中点且 ，用，用 表示表示 . ,AMc ANd , c d ,AB AD D B C A N M 解：设解：设 , ABa ADb 1 2 1 2 cba dab 42 33 42 33 adc bcd 课堂小结课堂小结: 1、平面向量基本定理内容、平面向量基本定理内容 2、对基本定理的理解、对基本定理的理解 （1）实数对）实数对1、 的存在性和唯一性 的存在性和唯一性 （）基底的不唯一性（）基底的不唯一性 （）