平面几何的重要定理

1、平面几何中的重要定理平面几何中的重要定理 1 1、梅涅劳斯、梅涅劳斯(Menelauss(Menelauss) )定理定理： .1 AB BC CA AB BC CA 则则 三三点点共共线线，、若若CBA )1( ，且且 点点在在边边的的延延长长线线上上， 有有奇奇数数个个、若若 1 )2( AB BC CA AB BC CA CBA .三三点点共共线线、则则CBA .或或其其延延长长线线上上的的点点、 的的三三边边分分别别是是、设设 ABCABC ABCCBA A BC A B C 2 2、塞瓦、塞瓦(Ceva(Ceva) )定理定理： .上上的的点点、边边 的的三三分分别别是是、设设 AB

2、CABC ABCCBA . 1 AB BC CA AB BC CA 于于一一点点的的充充要要条条件件是是 交交、则则，CCBBAA A BC A B C M 3 3、托勒密、托勒密(Ptolemy)(Ptolemy)定理定理： . )1( BDACADBCCDAB ABCD 则则 为为圆圆内内接接四四边边形形，定定理理：设设 . )2( 四四点点共共圆圆、则则 ， 满满足足：逆逆定定理理：若若四四边边形形 DCBA BDACADBCCDAB ABCD 四四点点共共圆圆时时取取等等号号） 、当当且且仅仅当当 则则为为任任意意四四边边形形边边形形 四四托托勒勒密密定定理理的的推推广广：若若 DCB

3、A BDACADBCCDAB ABCD ( . , )3( A BC D 4 4、西姆松、西姆松(Simson(Simson) )定理定理： (2)(2)逆定理：若一点在逆定理：若一点在 三角形三边所在直线上三角形三边所在直线上 的射影共线，则该点在的射影共线，则该点在 此三角形的外接圆上此三角形的外接圆上. . . . )1( 三三点点共共线线、则则 、垂垂线线，垂垂足足分分别别为为 所所在在直直线线作作、向向三三边边 外外接接圆圆上上一一点点，从从为为设设 NML NML ABCABCP ABCP A B C P L M N 5 5、欧拉、欧拉(Euler)(Euler)定理定理： 1 1

4、 . 3 1 )1( OHOG HGOHGO ABC 三三点点共共线线，且且 、，则则、垂垂心心分分别别为为 的的外外心心、重重心心、欧欧拉拉定定理理：设设 2 2 .2 )2( 2 RrRdd rR ABC ，则则距距离离为为 ，两两圆圆心心之之间间的的，内内切切圆圆半半径径为为为为 的的外外接接圆圆半半径径欧欧拉拉公公式式：设设 . (2 )4( ）是是正正三三角角形形时时等等号号成成立立仅仅当当 当当且且，则则，内内切切圆圆半半径径为为为为 外外接接圆圆半半径径欧欧拉拉不不等等式式：设设 ABC rRrR ABC 4 4 . )5( 点点共共圆圆连连线线段段的的中中点点，这这九九个个 ，

5、各各顶顶点点与与垂垂心心中中点点，各各边边高高线线的的垂垂足足 角角形形各各边边的的九九点点圆圆（欧欧拉拉圆圆）：三三 .2 )3( 22 RrRd dIOrR 圆圆的的充充要要条条件件是是： 外外接接圆圆与与内内切切两两圆圆分分别别是是某某个个三三角角形形 ，则则的的距距离离为为与与，两两圆圆心心、为为 它它们们的的半半径径设设大大圆圆套套在在小小圆圆外外面面， 3 3 6 6、斯德瓦特、斯德瓦特(Stewart)(Stewart)定理定理： BCPCBPAPBC ABPCACBP BCABCP 2 22 边边上上的的一一点点，则则的的是是设设 A BCP a b c 2 222 2 )(

6、: nm mna nm nc nm mb AP nmPCBP ，则则即即：如如果果 222 22 2 1 acbAP BCP 的的中中点点，则则是是特特例例：若若 7 7、拿破仑定理、拿破仑定理： ，则则、 、分分别别向向外外作作等等边边三三角角形形 为为底底，、的的边边以以 CAFBCE ABD CABCABABC 称称为为拿拿破破仑仑三三角角形形） 形形是是等等边边三三角角形形 的的中中心心为为顶顶点点的的三三角角 ）三三个个等等边边三三角角形形（ ； 三三线线共共点点，且且 、 ( . 2 )1( CDBFAE CDBFAE A BC D E F 8 8、牛顿、牛顿(Newton)(Ne

7、wton)定理定理： . . 三三点点共共线线 、求求证证： 、分分别别为为 的的中中点点、 点点，的的延延长长线线交交于于和和 点点，另另一一组组对对边边的的延延长长线线交交于于和和 的的一一组组对对边边已已知知四四边边形形 NML NML EFBDAC FBCAD ECD ABABCD A B C D E F L M N 9 9、蝴蝶定理、蝴蝶定理： 的的为为弦弦中中，设设如如图图，在在圆圆EFPO .PQPR RQ EFAD BCBDAC P 则则 ，、相相交交于于 分分别别与与弦弦 、，连连接接、 作作两两条条弦弦中中点点，过过 A B C D P E F RQ 1010、帕普斯、帕普

8、斯(Pappus(Pappus) )定理定理： . . 12211221 1221 2222 1111 三三点点共共线线、求求证证： 交交于于 和和，交交于于和和 ，交交于于和和的的任任意意三三点点， 上上是是直直线线、的的任任意意三三点点， 上上是是直直线线、图图，设设如如 NML N CBCBMCACA LBABA lCBA lCBA 1111、莫莱定理、莫莱定理： 课后思考：课后思考： . 111 1421 BDACAB BCABC 求求证证： ，中中，、已已知知 A B CD 1 . 2 A ADBDBC DACB ACABABC 求求 ，且且 ，于于点点的的平平分分线线交交 ，中中，、在在 A B D C . 9 1 3 4321 4321 ABCDGGGG SS ABC DABCDABCD GGGGABCD 四四边边形形四四边边形形 求求证证： 的的重